7 形量
ΔlT
= Δl
=
FRBl EA
⇒ αl ⋅ ΔT ⋅l
=
FRBl EA
⇒FRB = E⋅αl ⋅ΔT⋅ A⇒ σT (热应力)
=
FRB A
= αl ⋅ E ⋅ ΔT
P188 P188
附录 I：截面的几何性质
∫ 1
静矩
SZ =
ydA
A
2 形心
∫ yc =
A ydA = SZ
A
A
3
组合截 面形心
;
Wt
= πd3 16
空心圆轴： I p
=
π D4 32
(1−α 4 ) ;Wt
=
π D3 16
(1−α 4 )
圆 轴 5扭 转 角
等 截 面 圆 ϕ = Tl
轴
GI p
等截面薄 ϕ = Tl
壁圆管
2Gπ R03δ
式中：(1) GI p ---抗扭刚度；(2)
此式若长度单位用 mm，则 G
单位用 MPa
=
3T hδ 2
；ϕ
=
3Tl Ghδ 3
P75
开口薄壁杆 扭转切应力
τ max
=
3Tδ max
n
∑ hiδ
3 i
i =1
11
开口薄壁杆 扭转角
ϕ=
3Tl
n
∑ G
hiδ
3 i
i =1
式中： hi、δi ---狭长矩形长、
厚度。
P77
闭口薄壁杆 扭转切应力
τ max
=
T 2 A0δmin
12
闭口薄壁杆扭转 ϕ = Tl
G=
E （2 1+
μ）⇐
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
εx=ε y=0
γ
xy
=τ G
⎫⎪⎬⇒ε
⎪⎭
450
σ1=τ σ3=−τ
⎫⎪⎬⇒ε
⎪⎭
450
=
γ =−
xy
=
−
τ
...( a )
2 2G
1 E
(σ
3
−
μσ1
)=−
(1+μ
G
)τ
...(b)
式中：G --切变模量 E—弹性模量 μ--泊松比
杆件轴向拉 压应变能
Vε
3(1− 2μ )
--体积弹性模量；σ m
=
1 3
(σ
1
+σ2
+σ3)
---主应力平均值。
vε
=
1 2
σ
1ε1
+
1 2
σ
2ε
2
+
1 2
σ
3ε
3
应变能密度（弹 12 性比能）
=
1 2E
⎡⎣σ12
+ σ 22
+
σ
2 3
−
2μ
(σ1σ 2
+ σ 2σ3
+ σ3σ1 )⎤⎦
( ) = 1 2
σ xε x + σ yε y + σ zε z +τ xyγ xy +τ yzγ yz +τ zxγ zx
γ xy εx −εy
( ) ( ) εx
=1 Ε
σ x − μσ y
→ εα
=1 Ε
σα
μσ −
−（900 -α）
L P234
9
ε、γ、σ 间的
关系
γx
= τ xy G
→ τ xy
= G ⋅γ xy
=
E 2(1 +
μ
)
⋅
γ
xy
( ) σ x
=
Ε 1− μ2
ε x + με y
→
σ1
=
Ε 1− μ2
角、许用扭转角
GIt
[θ ] = T GIt
∫ 式中： It
=
4 A02 ds
→ (等厚薄壁圆杆)
=
4 A02 s
=
4Ω2δ S
δ
δ
其中：Ω ---所围截面的面积；S---沿截面中心线长度。 P80
第四章：弯曲应力
σ σ
= =
E ⋅ε My
=
Ey ⎫
ρ
⎪⎪ ⎬
⇒
⎪
1 弯曲正应力
IZ
⎪⎭
1=σ = M ； ρ Ey EIz
+εy 2
+
εx
−εy 2
cos 2α −
γx 2
sin 2α
7 应变
γα =
ε x − ε y sin 2α + γ x cos 2α
L
2
2
2
P233
8
最大/最小应 变、方向角
εmax = ± ε min
⎛εx ⎜ ⎝
−εy 2
⎞2 ⎟ ⎠
+
⎛ ⎜ ⎝
γ xy 2
⎞2 ⎟ ⎠
； tan 2α0
=
−
= vv + vd
-5-
材料力学公式汇总
体积改变能密 度
vv
=
1− 2ν 6E
(σ1
+σ2
+σ3 )2
形状改变能密 度
vd
= 1+ν 6E
⎡⎣(σ1
−σ 2 )2
+ (σ 2
−σ3 )2
+ (σ3
−
σ
1
)2
⎤ ⎦
P229
第一强度理论 （最大拉应力理论）
σ r1 = σ1 ≤ [σ ]
铸 铁 等 脆 性 P230
P116
2
最大弯曲正 应力
σ max
=
Mymax IZ
=M WZ
其中：WZ
=
IZ ymax
=
bh2 、π d3 、π D3(1−α 4) 6 32 32
应用条件：a、各向同性线弹性 材料；b、小变形。
P117
3
弯曲切应力
矩形：τ (y) =
3FS
(1 −
4y2 )
；
2bh h2
τ max
= τ (y=0) =
；
τ1 =ντ max
9
式中：τ max ---最大切应力，发
生在截面长边 h 的中点处；
τ1 ---短边 b 中点处切应力； αν ---与比值 h/b 有关的系数。
矩形截面轴扭转 ϕ = Tl = Tl
切角
GIt Gβ hb3
P74
狭长矩形截面轴
10
（当 h/b≥10 时， α、β≈⅓）
τ max
→ I yo = I y − Ab2
第三章：扭转
P327
1
功率与扭力矩的 转换
{ } M e N⋅M
{P} = 9549 {n} KW
{P}
=
159.2
KW
{n}
r / min
r/s
M e ×ω(rad / s) =
M
e
×
2π
×
n 60
=
1000P
P55
2
薄壁圆筒扭转切 τ = M e
应力
2π R02δ
=W
=
1 2
FΔl
=
FN2l 2EA
6
应变能密度 （单位体积
v = 1 σε = 1 Eε 2 = σ 2
22
2E
应变能）
⎛⎜⎝Q Δl
=
FN L EA
⎞ ⎟⎠
P23
单Байду номын сангаас：
J m3
；总应变能
∫ Vε = V vε dv
P23
杆 件 温 度 变 ΔlT = αl ⋅ ΔT ⋅ l
式中：αl 为材料线胀系数
第七章：应力和应变分析、强度理论
1 薄壁圆筒
纵截面应力（周向）：σt =
pD 2δ
= σ1
横截面应力（轴向）：σx
=
pD 4δ
=σ2
径向应力：
σr = − p ≈ 0 = σ3
P215
-4-
材料力学公式汇总
斜截面上的应
σα
=
σx
+σ y 2
+σx
−σ y 2
cos 2α
− τ xy
sin 2α
2力
∫ y xy =
xydA
A
P322 P323
-1-
材料力学公式汇总
圆形截面： Iz
=
Iy
=
1 2
Ip
=
πd4 64
矩形截面： Iz
=
bh3 12
∫ 5
惯性矩
Iz =
y2dA
A
空心截面：
Iz
=
π D4 64
(1−α 4 )
三角形：
Iz
=
bh3 36
6
平行移 轴定理
I y = I yo + Ab2
7 惯性矩和惯性轴的转轴公式
+τ xy2
=
± σ1 −σ3 2
= ±R
最大切应力 τ max 所
在 平 面 与 主 应 力 P220
6 应力圆方程
⎛ ⎜
σ
α
⎝
−
σx
+σ 2
y
⎞2 ⎟ ⎠
+τα2
=
⎛ ⎜
σ
x
⎝
−σ y 2
⎞2 ⎟ ⎠
+ τ xy2