2
1 2
2
例6
求 lim sin x
x x
解 令 t x , 则 x 时, t 0
故 lim sin x lim sin(t )
x x t 0
t
lim sin t 1 t0 t
2. 重要极限
lim 1 x
1 x
x
e
1
lim(1 x)x e
x0
特别重要啊！
lim 1 x
xx0
xx0
2 0, 当 0 | x x0 | 2 时, | h(x) a | 当 0 | x x0 | 3 时, | g(x) a | . 即 a g(x) a .
取 min{1,2,3}, 则当 0 | x x0 | 时,
第二章 函数的极限与连续性
第六节 极限存在准则、 两个重要极限
一.夹逼定理 二.单调收敛准则
三.两个重要极限
一.夹逼定理
y
看懂后, 用精确地语言描述它.
y h(x)
y a
y f (x) y a y a
y g(x)
O
x0 x0 x0
x
函数极限的夹逼定理
定理
设 x Uˆ (x0, ) ( | x | X ) 时, 有
lim f (x) sup f (x) .
设在某极限过程中,函数 f (x)单调减少且有下界, 则在该极限过程中函数的极限存在 :
lim f (x) inf f (x) .
一般说成: 在某极限过程中,单调有界的函数必有极限.
二.重要极限
1. 重要极限 limsin x 1 x0 x
2. 重要极限
g(x) f (x) h(x) .
若 lim g(x) lim h(x) a , 则必有
x x0 ( x)
x x0 ( x)
lim f (x) a .
x x0 ( x)
证 只证 x x0 的情形 .
设 g(x) f (x) h(x) x U( x0,1) , 且
lim g(x) lim h(x) a , 则 0 ,
x0
lim sin x 1 x0 x
一般地 lim sin k(x) k (x)0 (x)
其中, k ≠0 为常数.
(x) 0 表示在某极限过程中(x)的极限为零.
例2
求 lim tan x x0 x
解 lim tan x lim sin x 1
x0 x
x0 x cosx
lim sin x lim 1 1 x0 x x0 cosx
a g(x) f (x) h(x) a ,
即 lim f (x) a . xx0
例1 解
证明: lim sin x 0. x0
由sin x的定义, 当0 x 时有
2
0 sin x x,
夹逼定理
而 lim x 0, 所以, lim sin x 0.
x0
x0
例2 解
2
22
2
故当 0 x 时, 1 x 1
2
sin x cos x
即有 cos x sin x 1, x
由sin x 与cos x 的奇偶性可知：
当 0 | x | 时 , cos x sin x 1 成立 .
2
x
由 limcos x 1, lim1 1 及夹逼定理 , 得
x0
1
21！1
1 n
31! 1
1 n
1
2 n
n1! 1
1 n
1
2 n
1
n
n
1
,
类似地, 有
xn1
1
1
n1
n 1
1
1
21！1
n
1
1
31! 1
n
1
11
n
2
1
n1! 1
n
1
11
n
2
1
然后看 y sin x 的图形. x
y
1
y sin x x
2
O
2
x
证 运用夹逼定理, 关键在于建立不等式.
作一单位圆 ,
y
设 AOB x ,
先令 0 x
2 从图中可看出:
AD
sin x tan x
x
1
O
Bx
AOB面积 扇形AOB面积 DOB面积
即 1 sin x 1 x 1 tan x (0 x ) .
1 x
x
e
1
lim(1 x)x e
x0
变量代换 y1 x
下面先证明
lim 1
1 x
e
x x
证明数列
1
1 n
n
收敛.
证 由中学的牛顿二项式展开公式
xn
1
1 n
n
1 n 1 1! n
n(n 2!
1)
1 n2
n(n
1)(n 3!
2)
1 n3
n(n
1)
(n n!
(n
1))
1 nn
1
例3
求 lim sin 5x
x0 x
解 lim sin 5x lim 5sin 5x
x0 x
x0 5x
5lim sin u 5 . (u 5x) u0 u
或直接用公式 lim sin a(x) a (a 0) : (x)0 (x)
limsin 5x 5 . x0 x
例4
求 lim sin 3(x a) xa x a
解 x a 时, (x) = x a 0 ,
故 lim sin 3(x a) 3.
xa x a
例5
求
lim
x0
1
cos x2
x
解
1 cosx
lim
x0
x2
lim
x0
2 s in 2 x2
x 2
1 sin 2 x lim 2 2
x0 x 2 2
1 2
lim x0
sin x
x 2
求
lim
x0
x
2 x
.
由取整函数的定义, 有
故当 x 0 时,
2 x
1
2 x
2 x
,
2 x x2x 2;
当 x 0 时, 2 x x2x 2,
夹逼定理
而
lim(2 x) 2,
x0
所以,
lim
x0
x 2x
2.
二.单调收敛准则
设在某极限过程中,函数 f (x)单调增加且有上界, 则在该极限过程中函数的极限存在 :
lim1 x
1 x
x
e
1. 重要极限 lim sin x 1 x0 x
首先看看在计算机上 进行的数值计算结果：
x 0
0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 0.0000001 0.00000001
sin x 1
x 0.9983341664682815475018 0.9999833334166664533527 0.9999998333333416367097 0.9999999983333334174773 0.9999999999833332209320 0.9999999999998333555240 1.0000000000000000000000