文献综述
数学与应用数学
马尔可夫链预测方法及其一类应用
马尔可夫性是俄国数学家A.A.Mapkov 在1906年最早提出的. 但是, 什么是马尔可夫性呢? 一般来讲,认为它是“相互独立性”的一种自然推广. 设有一串随机事件,...,,...,,121n n A A A A -中（即n A 属于概率空间（P ,,ξΩ）中的σ代数ξ，1≥n ）, 如果它们中一个或几个的发生, 对其他事件的发生与否没有影响, 则称这一串事件是相互独立的（用概率空间（P ,,ξΩ）的符号表示, 即))()(11n m
n m
n n A P A P X I ===, 推广下, 如果在已知,...,1+n n A A 中的某些事件的发生, 与,,...,,121-n A A A 中的事件发生与否无关, 则称这一串事件{1:≥n A n }具有马尔可夫性. 所以说, 马尔可夫性可视为相互独立性的一种自然推广. 从朴素的马尔可夫性, 到抽象出马尔可夫过程的概念, 从最简单的马尔可夫过程到一般的马尔可夫过程, 经历了几十年的发展过程. 它有极其深厚的理论基础, 如拓扑学、函数论、几何学、近世代数、泛函分析. 又有很广泛的应用空间, 如随机分形、近代物理、公共事业中的服务系统、电子信息、计算技术等.
在现实世界中, 有很多过程都是马尔可夫过程, 如软件可靠性测试、传染病受感染的人数、农村剩余劳动力流动趋势预测、液体中微粒所作的布朗运动、产品市场占有率及利润率的变动, 车站排队问题等等, 都可视为马尔可夫过程. 所谓马尔可夫链是指时间连续(或离散)、状态可列、时间齐次的马尔可夫过程. 之所以要研究这种过程, 一方面是由于它的理论比较完整深入, 可以作为一般马尔可夫过程及其他随机过程的借鉴; 二是由于它在自然科学和许多实际问题(如遗传学、教育学、经济学、建筑学、规则论、排队论等)中发挥着越来越大的作用.
自从我国著名数学家、教育家、中科院王梓坤院士在上世纪50年代将马尔可夫理论引入国内以后, 我国数学家对马尔可夫过程的研究也取得了非常好的效果, 在生灭过程的构造和它的积分型泛函的分布、马尔可夫过程的零壹律、Martin 边界与过份函数、马尔可夫过程
与位势理论的关系、多参数马尔可夫过程等方面做了许多开创性地工作, 近年来也不断有新的研究成果推出, 这些都标志着我国数学界对马尔可夫理论的研究达到了世界领先的水平.
就预测方法而论, 现在已知的已经有150多种方法. 然而, 在这些方法中, 具有完整理论基础的主要有五种方法: 即回归分析法、时间序列法、投入产出法、数学归纳法和马尔可夫链预测法. 前面四种方法已经得到了普遍的应用, 可是马尔可夫链预测方法就没前四种那个应用的普遍. 但是由于许多需要预测的信息具有马尔可夫性(无后效性), 如日用商品需求、粮食收成预测、软件可靠性预测等, 以及使用马尔可夫链作为预测模型, 由于无后效性原因, 对历史数据的需求不要求过多, 因此这种预测方法还是具有很多优点的.
马尔可夫链预测的对象是一个随机变化的动态系统, 它是以马尔可夫过程为理论基础,它是满足下面两个假设的一种随机的过程：1、t +1时刻的系统的状态的概率分布只与t 时刻的状态有关, 与t 时刻以前的状态无关. 2、从t 时刻到t +1时刻的状态转移与t 的值没有关系. 任意一个马尔可夫链的基本模型可以表示成：),,(Q P S E =,其各个元素的意义为：i ）S 是系统中所有可能状态所组成的状态集合. 有时也称为系统的状态空间, 它可以是可列的、有限的、或者任意的非空集合. ii ）n n ij p P ⨯=是系统状态转移的概率矩阵, 其中ij p 表示系统在t 时刻处于i 状态, 在下一时刻t+1处于j 状态。

对于,S i ∈∀都有11=∑=N j ij p
. （其中N 是系统所
有可能的状态的个数）iii ）[]
n q q q q Q ,...,32,1=是系统的起始状态概率的分布.
马尔可夫链运用数学模型对定性问题进行预测提供了一种思路, 丰富了预测的内容. 其基本思路是:
首先, 把现象看作成为一个系统, 并对该系统进行科学的划分. 根据系统的实际和需要划分出多个状态, 系统所划分出来的各个状态就是要预测的内容.
其次, 对现象各种状态的状态概率进行统计测定, 也就是判定出系统当前处于什么状态.
然后, 对各系统未来发展的每次转移概率进行预测, 就是要确定出系统是如何转移的. 最后, 根据系统当前的各种状态和转移概率矩阵, 推测出系统经过若干次转移后, 到达各个状态的概率.
如今, 马尔可夫链已经在各个领域都显示出了非常重要的作用, 在各种预测方法中也显示出了很大的优越性, 在以后的经济领域和软件测试方面也会发挥非常重大的作用, 因此研究马尔可夫过程以及马尔可夫链预测方法有着不容忽视的意义, 本文主要探讨了马尔可夫
链的基本概念理论和马尔可夫预测方法以及在经济领域和软件测试领域的应用, 会对以后的经济发展预测和软件开发测试提供了新的研究方法和理论依据.
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