第1讲 绝对值不等式
1.设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|.
(1)解不等式f (x )＞2；
(2)求函数y ＝f (x )的最小值.
解 (1)法一 令2x ＋1＝0，x －4＝0分别得x ＝－12，x ＝4.
原不等式可化为：
⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，－x －5＞2或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ＜4，3x －3＞2
或⎩⎨⎧x ≥4，x ＋5＞2. 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，x ＜－7或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ＜4，x ＞53
或⎩⎨⎧x ≥4，x ＞－3， ∴x ＜－7或x ＞53.
∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－7或x ＞53. 法二 f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＜－123x －3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ＜4x ＋5 （x ≥4）
画出f (x )的图象，如图所示.
求得y ＝2与f (x )图象的交点为(－7，2)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫53，2. 由图象知f (x )＞2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－7或x ＞53. (2)由(1)的法二图象知：当x ＝－12时，
知：f (x )min ＝－92.
2.(2017·长沙一模)设α，β，γ均为实数.
(1)证明：|cos(α＋β)|≤|cos α|＋|sin β|，|sin(α＋β)|≤|cos α|＋|cos β|；
(2)若α＋β＋γ＝0，证明：|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.
证明 (1)|cos(α＋β)|＝|cos αcos β－sin αsin β|≤
|cos αcos β|＋|sin αsin β|≤|cos α|＋|sin β|；
|sin(α＋β)|＝|sin αcos β＋cos αsin β|≤|sin αcos β|＋
|cos αsin β|≤|cos α|＋|cos β|.
(2)由(1)知，|cos[α＋(β＋γ)]|≤|cos α|＋|sin(β＋γ)|≤|cos α|＋|cos β|＋ |cos γ|，
而α＋β＋γ＝0，故|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.
3.(2016·镇江模拟)已知a 和b 是任意非零实数.
(1)求|2a ＋b |＋|2a －b ||a |
的最小值； (2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，求实数x 的取值范围. 解 (1)∵|2a ＋b |＋（2a －b ）|a |≥|2a ＋b ＋2a －b ||a |＝|4a ||a |＝4，∴|2a ＋b |＋|2a －b ||a |
的最小值为4.
(2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，即|2＋x |＋|2－x |≤|2a ＋b |＋|2a －b ||a |
恒成立， 故|2＋x |＋|2－x |≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|2a ＋b |＋|2a －b ||a |min
. 由(1)可知，|2a ＋b |＋|2a －b ||a |
的最小值为4. ∴x 的取值范围即为不等式|2＋x |＋|2－x |≤4的解集.
解不等式得－2≤x ≤2.
故实数x 的取值范围为[－2，2].
4.(2017·广州二测)已知函数f (x )＝log 2(|x ＋1|＋|x －2|－a ).
(1)当a ＝7时，求函数f (x )的定义域；
(2)若关于x 的不等式f (x )≥3的解集是R ，求实数a 的最大值.
解 (1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|＞7，
①当x ＞2时，得x ＋1＋x －2＞7，解得x ＞4.
②当－1≤x ≤2时，得x ＋1＋2－x ＞7，无解.
③当x ＜－1时，得－x －1－x ＋2＞7，解得x ＜－3.
∴函数f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞).
(2)不等式f (x )≥3，
即|x ＋1|＋|x －2|≥a ＋8，
∵当x ∈R 时，
恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，
又不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a ＋8的解集是R ，
∴a ＋8≤3，即a ≤－5，
∴a 的最大值为－5.
5.设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .
(1)求M ；
(2)当x ∈(M ∩N )时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.
(1)解 f (x )＝⎩
⎨⎧3x －3，x ∈[1，＋∞），1－x ，x ∈（－∞，1） 当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1，
得x ≤43，故1≤x ≤43；
当x <1时，
由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1.
所以f (x )≤1的解集为M ＝{x |0≤x ≤43}.
(2)证明 由g (x )＝16x 2
－8x ＋1≤4得16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34.因此N ＝⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |－14≤x ≤34， 故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |0≤x ≤34.
当x ∈(M ∩N )时，f (x )＝1－x ，于是
x 2f (x )＋x ·[f (x )]2
＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤14. 6.(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2.
(1)解不等式：|g(x)|＜5；
(2)若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围.
解(1)由||x－1|＋2|＜5，得－5＜|x－1|＋2＜5，
所以－7＜|x－1|＜3，
解不等式得－2＜x＜4，
所以原不等式的解集是{x|－2＜x＜4}.
(2)因为对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝f(x)}⊆{y|y ＝g(x)}，
又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|2x－a－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，
解得a≥－1或a≤－5，
所以实数a的取值范围是{a|a≥－1或a≤－5}.。