微积分Calculus
微分方程的基本概念
一问题的提出
一曲线通过点，且在该曲线上任一点处的切线的斜率为，求这条曲线的方程.(,) x y
)2,1(
x2例一
解
2
y =其中1x =时，设所求曲线为()
y y x =x y 2='2y xdx =⎰即2,y x C =+求得1,
C =所得曲线方程为2 1.y x =+
这里是从所建立的含有未知函数导数的关系式x y 2='来解出未知函数的，这种含有未知函数导数的关系式称为微分方程，求解未知函数的过程称为解微分方程．
二微分方程的定义
1定义
凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程;
未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程;
未知函数为多元函数，同时含有多元函数的偏导数的微分方程，称为偏微分方程;
23x y y y e '''+−=2()0t x dt xdx ++=z x y x ∂=+∂22
220
u u
x y ∂∂+=∂∂常微分方程本章仅研究一元函数的常微分方程,简称微分方程.例如
偏微分方程
联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式．
在微分方程中，未知函数及自变量可以不出现，但必须含有未知函数的导数(或微分)
．
实质
三微分方程的阶
微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。

例二
是_________阶微分方程；3是______阶微分方程；2是______阶微分方程；
1阶微分方程的一般形式：n ()(,,,,)0
n F x y y y '=或()(1)(,,,,).n n y f x y y y −'=
四微分方程的解
如果某个函数代入微分方程后使其两端恒等，则称此函数为该微分方程的解．
()(,(),(),,())0n F x x x x ϕϕϕ=且n 设有阶导数，()y x ϕ=()y x ϕ=则为该微分方程的解.
例如
22,(y x y x C C ==+为任意常数)
x
y 2='是该微分方程的解. 可见一个微分方程有无穷多个解．
微分方程解的分类
(1)通解:微分方程的解中含有独立的任意常数,且其个数与微分方程的阶数相同.
阶微分方程n ()(,,,,)0
n F x y y y '=通解的一般形式1(,,,,)0
n x y c c Φ=或1(,,,)
n y y x c c =通解并不一定包含微分方程的所有解.
注意:
微分方程：23dy y dx =通解为：27)
(3C x y +=2
()
9
x C y +'=2
2
333
2
()[]
27()9
x C y x C +=+=0y =显然也是解，但通解中由于找不到一个常数C ，
0y =使得，所以通解中不包含。

0y =
0y =是微分方程的一个奇解。

23dy y dx =不包含在通解中的微分方程的解.
(2) 特解: 微分方程任意确定的解即确定了通解中任意
常数以后的解。

定解条件: 用来确定微分方程特解的条件.
定解问题: 求微分方程满足定解条件的解的问题.
初值条件: 系统处于初始状态时的定解条件.
初值问题: 求微分方程满足初值条件的解的问题.00(,)
x x y f x y y y ='=⎧⎪⎨=⎪⎩一阶:0001
(,,)
,x x x x y f x y y y y y y =='''=⎧⎪⎨'==⎪⎩二阶:
阶微分方程的定解条件一般为：
n (1)
000101
011(),(),,(),,,n n n y x a y x a y x a a a a −−−'===n 为个常数.
当为自变量的初始取值时，上述定解条件
0x x =为初值条件
.
微分方程的通解其图象是平面上一族积分曲线，它的一个特解是这一族积分曲线中的一条积分曲线．微分方程的解可由显函数表示，也可用隐函数表示.
例三
验证:函数12cos sin x C kt C kt =+(0)k ≠是微分方程2
220d x k x dt +=的解. 00,0t t dx x A dt ====的特解.并求满足初始条件
解
12sin cos ,dx
kC kt kC kt dt =−+因为222122cos sin d x
k C kt k C kt
dt =−−212(cos sin )k C kt C kt =−+2
2d x
dt 将和的表达式代入原方程x
22
1212(cos sin )(cos sin )0k C kt C kt k C kt C kt −+++≡12cos sin x C kt C kt =+故是该微分方程的解.
12sin cos dx
kC kt kC kt dt =−+,0cos 0sin 021kC kC +−=.
02=C ,0cos 1C A =A C =1所求特解为cos x A kt
=。