1
ck T
T T
2 2
T
(t
)e
jkst
dt
在 t T 2 到 t T 2 期间，T (t) 只在 t 0 出现一个单位脉冲，在其他时间里都为零，
根据脉冲函数的性质有
ck

1 T
T2
T 2 T
(t)e
jkst dt

1 T
0 0
T
(t)e
jkst dt

1 T
0
(t)dt

1
0
T
于是有T
(t)

1 T
k
e
jkst
。根据 e*(t)


e(t)
k 0
(t

kT )
，有
e (t) 1 e(t)e jkst
T k
对上式作拉氏变换，并用复位移定理有
E*(s)

1 T
k
第七章 采样控制系统
典型的计算机控制系统方框图如下图所示。 计算机控制系统中，计算机只能在离散的时间点上测量和处理数据，控制作用也只有在 离散的时间点才进行修改。这种系统中一处或几处的信号仅定义在离散的时间点上的系统被 称为离散时间控制系统或采样控制系统。
r(t) e(t) A/ D
计算机
u(t)
c(t)
E(s
k

jks ) ,
E (
j)

1 T
k
E[
j(

ks
)]
设连续信号 e(t) 的频谱 E( j) 为一带宽有限的连续频谱，如下图（a）所示。而采样信 号 e (t) 的频谱 E ( j) 具有以采样频率 s 为周期的无穷多个频谱分量，如下图（b）所 示，图中 k 0 的分量 (1 T ) E( j) 称为 E ( j) 的主分量，其余 k 0 的分量称为 E ( j) 的补分量，补分量是在采样过程中引进的高频分量。

E*(s) L[e*(t)] L[ e(kT) (t kT)]
k 0
根据拉氏变换的位移定理，有
L(
(t

kT ))

ekTs

0

(t)estdt

ekTs
所以，采样信号的拉氏变换

E*(s) e(nT )enTs
k 0
如果用拉氏变换法研究离散系统，尽管可以得到 eTs 的有理函数， 但却是一个复变量s的超越函数，不便于进行分析和设计。为克 服这一困难，通常采用z变换法研究离散系统。z变换可以把离散 系统的s超越方程，变换为变量z的代数方程。
后一记号是为了书写方便，并不意味着连续信号 e(t) 的 z 变换，而是仍指采样信号 e*(t) 的 z 变换。
应当指出，z 变换仅是一种在采样拉氏变换中，取 z esT 的变量置换。通过这种置换，可将 s 的超越函数 转换为 z 的幂级数或 z 的有理分式。
二、采样定理
要使采样信号能反映连续时间信号的变化规律，采样频率就应足够高。设连

E*(s) e(nT )enTs
k 0
为便与应用，令变量 z esT 式中，T 为采样周期；z 是在复数平面上定义的一个复变量，通常称为 z 变换算子。 则采样信号 e*(t) 的 z 变换定义为
记作

E(z)

E*(s)
s 1 lnz T

e(nT )zn
n0
E(z) Z[e*(t)] Z[e(t)]
后得到采样信号 e (t) ，现在研究一下 e (t) 的频谱函数。如前所述，采样过程可
以理解为一个信号的调制过程，调制波是被采样的信号，载波是单位脉冲串。单
位脉冲串是以采样周期T 为周期的周期信号，可以展开成富氏级数

T (t)
ck e jkst
k
式中s 2 T 为采样频率， ck 为富氏级数的系数，且
T 2T 3T
0
t
e(t)
e (t)
0
T
2T t



e*(t) e(kT ) (t kT ) e(t) (t kT ) e(t) (t kT )
k 0
k 0
k 0
容易看出，物理上的采样开关比理想的采样开关存在一定的差别。
采样信号的拉氏变换
对采样信号 e*(t) 进行拉氏变换，可得
当采样频率 s 2max 时，离散信号 e (t) 的频谱是由无穷多个孤立频谱组成的，其中 k 0 对应的就是被采样的原连续信号的频谱，只是幅度为原来的1 T ，其他各频谱都是由
续信号 e(t) 的频谱是有限的，最高频率分量的频率为max ，若要求采样信号不丢
失连续信号所包含的信息，采样频率s 应满足
s

2
T
2max
即采样频率应大于连续信号最高频率分量频率的 2 倍，这便香农采样定理。下面
是简单的说明。
设连续时间信号 e(t) 的频谱函数为 E( j) 。连续时间信号 e(t) 经过采样开关

e(kT )[1(t kT ) 1(t kT )] k 0
式中，[1(t kT ) 1(t kT )] 表示在 kT 时间出现的高度为 1、宽度为 、面积为 的矩形脉， 可进一步用 kT 时刻强度为 的脉冲函数近似，即
[1(t kT) 1(t kT )] (kT)
把连续时间信号转换成离散时间信号的过程称为采样过程，实现采样的装置称为采样器或 采样开关。
物理上可以实现的采样开关，它的输入、输出关系如下图所示。
e(t)
e (t)
e(t)
பைடு நூலகம்
e (t)
0
t
T
0 TT
t
e*(t) e(0)[1(t) 1(t )] e(T )[1(t T ) 1(t T )] e(2T )[1(t 2T ) 1(1 2T )]
D/ A
被控对象
测量装置
将模拟量到数字量的转换过程用采样器来描述，数字量到模拟量的转换过程用保持器来 描述，则上图所示的计算机控制系统可以抽象为下图所示的采样控制系统的典型结构图。
采样器
r(t)
e(t)
e* (t)
u (t)
u(t)
c(t)
控制器
保持器
被控对象
T
测量装置
§7-1 采样器和保持器 一、采样器
于是有

e(t) e(kT ) t - kT k 0
理想的采样开关，它的输入、输出关系如下图所示，可以理解为一个信号的调制过程，
调制波是被采样的信号 e(t) ，载波是单位脉冲串

T (t) t - kT k 0
e (t)
e (t)
T 载波
调制波