择样本点, 以提高线性响应面函数对隐式极限状态函 数的拟合能力, 然而该方法极易造成矩阵的病态, 从而 使得算法失败。文[ 8] 提出加权响应面法, 来提高接近 极限状态方程的点在确定响应面函数中的作用, 但是 该文方法选择的权函数也极易使得矩阵病态, 进而使 得算法失效。笔者对文献[ 8] 的方法进行改进后可大 大提高其可操作性。然而值得指出的是, 文献[ 8] 的方 法只适用于线性或非线性程度不太大的隐式极限状态 方程, 或是极限状态方程的非线性程度大但基本变量 的变异性小的情况。针对高度非线性隐式极限状态方 程, 虽然文献[ 9~ 11] 提出了组合或高次响应面法来提 高精度的思想, 但是这些方法中的一些参数较难控制, 而且计算工作量也随变量维数的增加急剧增加。响应 面法虽然对隐式极限状态方程的设计点有一定的逼近
值 yi = g ( xi ) 。 ( 2) 以( L, g ( L) ) 和( xi , g ( x i ) ) 线性插值近似得
本点( E1 是一个接近于 1 的正数, 可取 0. 8) , 这样可以 保证训练出的神经网络能够更好地近似极限状态方程
g ( x ) = 0。
为了使得所选择的样本点能更接近极限状态方程
g ( x ) = 0, 可采取如下自适应重要抽样法, 或近似线性
插值的方法。
2. 2 自适应重要抽样筛选样本点的步骤
X 20050506 收到初稿, 20050609 收到修改稿。国家自然科学基金( 10572117) 和新世纪优秀人才支持计划( NCET-05- 0868) XX 吕震宙, 女 1966 年 10 月生, 湖北黄石人, 汉族。西北工业大学教授, 博士生导师。研究方向为飞行器结构可靠性。
700
机
样本点, 此时将有大量样本点落在 g( x) = 0 附近。
( 3) 若没有 xi I D f , 则将密度函数中心移至 gbest
所对应的点, 构造重要抽样密度函数, 继续抽取样本
点, 直至有样本点落入失效域后, 采用第( 2) 步相同的
方法选取样本点。
( 4) 从所有的样本点中选择按式( 1) 、( 2) 计算的
Journal of Mechanical Strength
2006, 28( 5) : 699~ 702
基于神经网络的可靠性分析新方法X
NEW RELIABILITY ANALYSIS METHOD BASED ON ARTIFICIAL NEURAL NETWORK
吕震宙XX 杨子政 ( 西北工业大学 航空学院, 西安 710072)
LU ZhenZhou YANG ZiZheng ( School of A eronautics , Northwestern Polytechnical University , Xican 710072, China)
摘要 对于大部分工程可靠性分析中的隐 式极限 状态方 程, 建 立一种 基于样 本筛选 的神经 网络 可靠 性分析 方法。 该方法利用具有强大的非线性映射能力的神经网络, 来近似隐式极限状态方程中的输入变量与输出变量的关 系, 从而 使 得隐 式可靠性分析转化为显示可靠性分析问题, 大大减少 了计算失 效概率的工 作量。与已有 的神经网 络可靠 性分析 方 法相比, 所提方法选择近似极限状态方程而不是 近似极限状态函数的 策略, 并通过筛选 训练样本 实现这 一策略, 从而 提 高可靠性分析的精度, 算例结果充分显示所提方 法的优越性。
网络的连接权值和阀值, 这样便得到隐式极限状态方 程的显式表达式。
按上述方法选择训练神经网络的样本, 实际上是
希望在变量空间内近似 y = g( x) , 然而值得指出的
是, 极限状态方程( 也即 g ( x ) = 0) 才是失效概率计算 所必需的, 因此在选择训练神经网络的样本点时, 采用
如下策略, 从均值点附近随机产生的 m 个样本点中寻
BP 网络即误差反向传播网络, 它是应用最为广泛 的一种神经网络模型, 其拓扑结构为分层前向网络, 由 输入层、隐层和输出层组成。BP 网络映射能力的完全 性定理表明, 一个三层网络可以实现以任意精度近似 任何连续函数, 因此可以采用 BP 神经网络来近似隐式 极限状态方程。
一般来说输入随机变量的均值包含有较多输入向 量的分布信息, 因此在训练神经网络时选择的输入样 本 xi ( i = 1, 2, ,, m ) 位于输入随机向量均值附近, 利 用输入变量与输出向量之间的数字关系算得相应的响 应量 yi ( i = 1, 2, ,, m) 。将 m 对输入向量 ) ) ) 响应值 ( x i , y i ) ( i = 1, 2, ,, m) 对网络进行训练、测试, 确定
满足 E1 < gi [ 1 的样本点作为训练神经网络的样本 点。
2. 3 线性插值法筛选样本点的步骤
( 1) 在基 本 随 机 向 量的 均 值 L = ( L1, L2, ,, Ln ) ( Li 为第i 个基本变量xi 的均值) 附近产生 m 个输
入向量的实现 x i ( i = 1, 2, ,, m) , 并算得相应的响应
( 1) 按基本随机变量的联合密度函数 f x( x) 随机
产生 m 个基本随机变量的实现x i ( i = 1, 2, ,, m ) , 算
得相应的响应值 yi = g( xi ) 。
( 2) 若有 x i I D f ( D f = x i g( xi ) [ 0 ) , 则将密 度中心移至该点, 构造重要抽样密度函数后, 继续抽取
械
强
度
2006 年
能力, 但是其固定不可调的函数形式影响了其普遍适 用性[ 12] ; 而神经网络对函数近似的普 遍适应性, 使得 人们研究了神经网络响应面法, 也即用神经网络函数 近似代替固定函数形式的传统响应面法, 从而提高了 解决非线性隐式极限状态方程可靠性 分析问题的能 力。很显然, 对于一个高维问题采用神经网络进行全 域近似也是十分困难的, 所幸的是对可靠性分析起决 定性作用的是极限状态方程, 而且对失效概率贡献较 大的区域相对整个变量空间来说是一个局部的区域, 因此只要在对失效概率贡献较大的局部区域近似极限 状态方程, 就可以得到失 效概率计算的高精 度结果。 基于此思路, 本文提出基于样本筛选的神经网络可靠 性分析方法。与传统响应面相比, 所提方法不仅思路 简单, 易于编程实现, 而且计算精度有较 大幅度的提 高; 与已有的神经网络可靠性分析方法相比, 所提方法 的计算工作量没有增加, 但计算精度却有显著提高, 因 此可以说所提方法是隐式极限状态方程可靠性分析的 很好的方法。
找响应量绝对值最小值gbest , 然后求得相对于 ggest 的各 样本点对极限状态方程的近似度 gi ( i = 1, 2, ,, m)
如式( 2) 所示。
m
gbest = min( g ( x i ) )
( 1)
i= 1
g best
gi = g ( xi )
( 2)
取满足 E1 < g i [ 1 的样本点作为训练神经网络的样
2 近似隐式极限状态方程的神经网络方法
假设所研究的问题包含的基本变量为 x = ( x 1, x 2, ,, xn ) , 输入变量 与输出响应量 y 的关系是 y = g ( x ) 。如果 y = g( x) 的解析表达式是已知的, 则有很 多成熟的方法来求解失效概率, 然而对大多数工程问 题, g( x) 的解析表达式是未知的, 对这种隐式极限状 态方程的可靠性分析, 最有效的方法是先对 g( x) 进 行解析近似, 然后采用显式极限状态方程的可靠性分 析方 法 进 行 失 效 概 率 的 计 算。本 文 采 用 BP( back propagat ion) 神经网络作为极限状态方程的近似器。 2. 1 神经网络技术
关键词 可靠性 神经网络 失效概率 隐式极限状态方程 中图分类号 TB114. 3 TP183 Abstract For implicit limit state equations in most engineering reliability analysis, a new method is presented on the basis of art-i ficial neural network ( ANN) , where the training samples are appropr iately selected. Due to the powerful tool of function approximation, ANN is employed to obtain the relationship of the input parameters and the output parameters in the implicit limit state equation. The reliability analysis for the implicit limit state is then transformed to that for the explicit limit state, and the computational efforts are greatly decreased. Comparing with available reliability analysis based on ANN, the presented method has a different strategy on selection of the training samples, in which the implicit state equation can be more appropriately approximated. The precision of the presented method is higher than that of the available method, and this advantage is illustrated by examples. Key words Reliability; Artificial neural network; Failure probability; Implicit limit state equation Corresponding author : LU ZhenZhou, E-mail: zhenzhoulu@ nwpu. edu. cn, Tel:PFax : + 86-29- 88460480 The project supported by the National Natural Science Foundation of China( No. 10572117) and the Program for New Century Exce-l lents Talents in University( No. NCET-05-0868) . Manuscript received 20050506, in revised form 2的可靠性分析在工程上是极为 常见的, 对这类问题, 完善的显式极限状态方程失效概 率计算方法很难实施, 为此可靠性研究人员发展了很 多解 决 这类 隐 式 可 靠 性分 析 的 方 法, 诸 如 响 应 面 法[ 1~ 11] 、神经网 络方法[12~ 15] 、Kriging 方法[ 16, 17] 等。其 中关于响应面法的研究最为深入广泛。最初的响应面 法采用二次不含交叉项的多项式来近似输入变量和输 出变量的函数关系, 然后围绕插值中心点选择确定响 应面函数的样本点, 并通过迭代运算保证得到收敛解。 显然确定响应面函数的样本点位置会对结果产生较大 的影响, 文献[ 6] 表明, 不合适的样本点甚至会得到完 全错误的结论。文献[ 7] 提出采用梯度投影的方法选