式 模 型 （ 一 阶 线 性 常 微 分 方 程 ）。
4）封闭式模型的建立 把动态开模型中的部门加以扩充，使之包含最终需求领域的各项内容。例如把
居民消费作为居民部门，政府消费作为政府部门，进出口作为外贸部门，并把这些
部门列入模型的 n 个部门之内，同时也将 bij 的内容作相应的扩充，则可以得到一个
（13）
定 义 bij
=
dFij (t) dX j (t)
为第 t 年 的投资系 数（资本 系数 ），它代表产出的边际增长与生
产性投资额的边际增长的比率。当 Δt = 1时，（12）式改写为
X
i
(t)
−
n
∑ aij
j =1
X
j
(t)
−
n
∑ bij
j =1
(t)
dX j (t) dt
= Y~i (t),
- 184 -
第十一章 投入产出模型
表1 投入
产出 部门 1
价值型投入产出表 中间产出 部门 2 … 部门 n 小计
消费
积累
净出口
总产 出
部门 1 x11
中
间 部门 2 x21
产
出
M
M
部门 n xn1
中间投入合计
x12
…
x1 n
x 22
…
x2 n
M
Ⅰ
M
xn2
…
x nn
Y1
X1
Y2
X2
Ⅱ
M
Yn
Xn
固定资产折旧
(I − )A −1 = ⎢⎢0.5634 1.2676 0.4930⎥⎥
⎢⎣0.4382 0.4304 1.2167⎥⎦
( ) （2）将 (I − )A −1 及 Y = 45, 150, 110 T 带入公式 X = (I − )A −1Y ，求得该地区 1991
年的总产出向量 X = (136.0,269.7,218.1)T 。
部门之间的技术经济联系。其中 xij (i, j = 1,2,L, n) 表示 i 部门生产的产品分配给 j 部门的 产品数量（价值量），或者说是第 j 部门再生产过程中消耗 i 部门的产品数量；
第Ⅱ象限反映了最终产品及使用方向； 第Ⅲ象限反映了国内生产总值的初次分配情况； 第Ⅳ象限编表时常被省略。
i = 1,2,L, n
（14）
- 188 -
第十一章 投入产出模型
其矩阵形式为
X (t) − AX (t) − BX& (t) = Y~(t)
（14‘）
其中 B = (bij ) m×n 为投资系数阵。 A 和 B 固定不变，称 X (t) − AX (t) − BX& (t) = Y~(t) 为 Leontief 动态投入产出开放
i =1
∑⎡ n
⎢ ai1
0
0
⎤ 0⎥
⎢ i=1
令S
=
⎢ ⎢
0
⎢ ⎢
M
n
∑ ai2 0
i =1
MM
⎥
0
⎥ ⎥
，则（5）式可改写为矩阵形式
M
n
⎥ ⎥
⎢0 ⎢⎣
0
∑ 0
i =1
ain
⎥ ⎥⎦
SX + Z = X
（4） （5）
（5‘）
其中 Z = (z1 , z2 ,L, zn )T 。
( ) 2）由 A = aij n×n 的实际意义和 X = AX + Y 式有 aij ≥ 0(i, j = 1,2,L, n) ，而且
=
xij Xj
可求得直接消耗系数。例如
a11
=
15 100
=
0.15，a21
=
30 100
=
0.3，L
⎡0.15 0.10 0.20⎤ 因此直接消耗系数阵 A = ⎢⎢0.30 0.05 0.30⎥⎥ ，Leontief 逆阵为
⎢⎣0.20 0.30 0.00⎥⎦
⎡1.3459 0.2504 0.3443⎤
j =1
为静态投入产出平衡模型。
2．几点说明 1）从表 1 的列看
n
∑ xij + D j + V j + M j = X j , j = 1,2,L, n
i =1
令zj
=
Dj
+Vj
+M
j
，则有
n
∑
xij
+ zj
=
Xj
，或写成i =1n来自∑ aij x j + z j = X j , j = 1,2,L, n
n
∑ aij < 1, j = 1,2,L, n
i =1
（6）
3）矩阵 (I − A) 和 (I − S ) 均为满秩矩阵。
4）
X = (I − )A −1Y
（7）
X = (I − S )−1 Z
（8）
(I − )A −1 称为 Leontief 逆阵。
3．静态投入产出模型的应用 1）如果直接消耗系数和各部门的最终需求可用某种方法计算或预测出来，利
用 X = (I − )A −1Y 式可求出各部门的总产出。
- 186 -
第十一章 投入产出模型
例 1 考虑如下的 投入产出简表，假设它 是某地区 1990 年经调 查汇总获得的。
（1）求直接消耗 系数矩阵和 Leontief 逆 阵；
（2）若该地区的 直接消耗系数变化微
表2 产出
投入 1．农 业 1．制造业 3．服务业
2）若需要掌握当某些部门的最终需求发生了某些变化，问对相应的总产出会 发生哪些变化？
例如 由于国内外经济﹑政治环境的变化，导致某些部门的消费和净出口明显 减 少 （ 或 增 加 ）， 要 分 析 它 们 对 各 部 门 总 产 出 的 影 响 ， 亦 可 仿 照 上 述 进 行 分 析 和 计 算。
n
X i (t) = ∑ aij X j (t) + Yi (t), i = 1,2,L, n j =1
（ 11）
∑ 结合 Yi = ΔFi + Y~i 式和 ΔFi = n ΔFij , (i = 1,2,L, n) 式得 j =1
∑ ∑ X i (t) = n aij X j (t) + n ΔFij (t) + Y~i (t)
最 终 净 产 品 ：（ 1 ） 居 民 消 费 品 ； （2）社会集体消费品； （3）新增非生产性固定资产； （4）新增储备产品； （5）净出口产品。
生产性投资产品： （1）新增生产性固定资产（含固定资产更新改造）； （2）新增流动资产产品。
3）开放式模型的建立
静态模型中的最终产品可分为两部分
Yi = ΔFi + Y~i
( ) 其 中 A = aij n×n 为 直 接 消 耗 系 数 矩 阵 ； X = (X1, X 2 ,L, X n )T 为 总 产 出 向 量 ；
- 185 -
第十一章 投入产出模型
Y
( ) =
Y1,Y2 ,L,Yn
T
为最终需求向量。
n
∑
aij
x
j
+ Yi
= X i ,i = 1,2,L, n （或 X = AX + Y ）
j =1
j =1
或
X
i
(t
)
−
n
∑
aij
X
j
(t)
−
n
∑
ΔFij
(t)
=
Y~i
(t),
(i = 1,2,L, n)
j =1
j =1
（12）
由于
ΔFij
(t)
=
Fij
(t
+
Δt) Δt
−
Fij
(t)
⋅ Δt
=
ΔFij (t) Δt
⋅ Δt
≈
dFij (t) dt
Δt
，或
dFij (t) = dFij (t) ⋅ dX j (t) dt dX j (t) dt
（二）难点 1.理解、掌握动态投入产出模型； 2.理解、掌握多目标动态投入产出优化模型。
四、教学内容
第十一章 投入产出模型
§1 问题的描述
投入产出分析是诺贝尔经济学奖获得者 W.Leontief 在 20 世纪 30 年代首先提出的一种 经济计量分析方法，早期主要是用来研究美国的经济结构和宏观经济活动。联合国于 1968 年开始推荐这一分析方法，并把投入产出核算作为新的国民经济核算体系的一个组成部分。 经过各国学者 60 多年的研究和发展，投入产出分析的理论与方法已日趋成熟，并已在 100 多个国家得到了推广和应用，成为研究宏观经济活动﹑进行经济预测和政策分析﹑研究制 定社会经济发展规划的基本工具。
D1
D2
…
Dn
劳动
最
报酬
V1
V2
…
Vn
初
社会
投
纯投入
M1
M2
Ⅲ
Mn
Ⅳ
入 小计
总收入
X1
X2
…
Xn
§3 静态价值型投入产出模型
1．模型的推导
从表 1 横向看，每个部门 i 的中间使用与最终使用的合计应等于 i 部门的总产出，即
n
∑ xij + Yi = X i ,i = 1,2,L, n
j =1
（1）
动态封闭式模型，其方程如下
X (t) − AX (t) − BX& (t) = 0
（15）
5）连续型动态投入产出模型局限性 ① 它把生产的增长视为一个瞬时的连续的过程，而从经济分析和经济计划来