f 1
em
Δ Qm Δ Qm
f 1
em
Δ Pm1 Δ Pm1
f 1
em
Δ U 2 m1
Δ U 2 m1
f 1
em
Δ Pn-1 Δ Pn-1
f 1
em
Δ
U
2 n1
Δ U 2 n1
f 1
em
Δ P1
f m Δ Q1
f m Δ Pm
f m Δ Qm
f m Δ Pm1
f m Δ U 2
m1
f m
Δ Pn-1
f m-1
en-1
Δ Pm1 Δ Pm1
f m-1
en-1
Δ U 2 m1
Δ U 2 m1
f 1m
en-1
Δ Pn-1 Δ Pn-1
f m-1
en-1
Δ
U
2 n1
Δ
U
2 n1
f m-1
en-1
Δ P1
f n-1 Δ Q1
f n-1 Δ Pm
f n-1 Δ Qm
f n-1
Δ Pm1 f n-1
电力系统分析
3.2牛顿－拉夫逊法潮流计算
雅可比矩阵有以下特点： 雅可比矩阵中的诸元素都是节点电压的函数，因此在迭代过程 中，它们将随着各节点电压的变化而不断地改变； 矩阵是不对称的； 由式（19.19）可以看出，当导纳矩阵中的非对角元素Yij为零
时，雅可比矩阵中相对应的元素也是零，即矩阵是非常稀疏 的。
电力系统分析
几何意义:
电力系统分析
图19.2 函数曲线及切线示意图
用同样的方法考虑，给出对n个变量X 1 , X 2 , , X n 的n个方程式
f1 X 1 , X 2 ,, X n 0
f
2
X
1
, X 2 ,, X
n
0
fn X 1 , X 2 ,, X n 0
（19.12）
对其近似解
电力系统分析
3.2牛顿－拉夫逊法潮流计算
方程式（19.15）和（19.16）具备方程组（19.12）的形式：
Δ W -JΔ U
（19.17）
式中
Δ P1
Δ Q1
ΔW
Δ Pm Δ Qm Δ Pm1
Δ U 2 m1
ΔΔUPn2-n1-1
Δe1
Δf 1
Δem
ΔU
X
'' 1
X
' 1
ΔX1,
X
'' 2
X
' 2
Δ X 2
,
,
X
'' n
X
' n
ΔX n
这比
X
' 1
,
X
' 2
,
,
X
' n
进一步接近于真值。这一步骤在收敛到希
望的值以前重复进行。一般要反复计算到满足
max
X
n1
1
X
n
1
,
X
n1
2
X
n
2
,
X
n1
n
X
n
n
ε
时为止。
ε为预先规定的小正数，此处 Xin是 第n次迭代Xi的近似值。
导纳法 阻抗法 牛顿-拉夫逊法（N—R法） 快速分解法（ PQ分解法）
电力系统分析
2 潮流计算的基本方程 2.1节点的分类 2.2基本方程式
电力系统分析
2.1节点的分类
根据电力系统中各节点性质的不同，可把节点分成三种类型。
1.PQ节点
事先给定的是节点功率（P、Q），待求的是节点电压向量 （U、θ）。通常变电所母线都是PQ节点，当某些发电机的出 力P、Q给定时，也可作为PQ节点。PQ节点上的发电机称之
Δ U f i
2 i
2fi
电力系统分析
（19.18）
3.2牛顿－拉夫逊法潮流计算
当 j i 时，矩阵中非对角元素是
Δ
Pi
e j
ΔQ i f j
Gij ei
Bij fi
Δ f
Pi
j
Δ Qi e j
Bij ei
Gij fi
U
2 i
U
2 i
0
e j
f j
（19.19）
j 1 n
Qi fi j1 Gij e j Bij f j
ei Gij f j Bij e j
j 1
电力系统分析
（19.14）
19.3.2牛顿－拉夫逊法潮流计算
PQ节点的有功功率和无功功率是给定的，第i个节点的给定功率设 为Pis和Qis。假定系统中的第1，2，……，m号节点为PQ节点， 对其中每一个节点可列方程
给定的运行参数是U和θ，，而待求量是该节点的P、Q，因
此又称为Uθ节点。 在潮流计算中，这类节点一般只设一个。
关于平衡节点的选择，一般选择系统中担任调频调压的某一 发电厂（或发电机），有时也可能按其它原则选择。
电力系统分析
2.2基本方程式
任何复杂的电力系统都可以归结为以下元件（参数）组成： （1）发电机（注入电流或功率）； （2）负荷（负的注入电流或功率）； （3）输电线支路（电阻、电抗）； （4）变压器支路（电阻、电抗、变比）； （5）母线上的对地支路（阻抗和导纳）； （6）线路上的对地支路（一般为线路充电电容导纳）。
电力系统分析
集中了以上各种类型元件的简单网络如图
电力系统分析
节点注入电流和节点电压构成以下线性方程组
I YU
其中
I
II12
In
可展开为如下形式：
U
U U
1 2
U n
Ii n YijU ij 1 , 2 , , n j 1
若 U ZI 可展开如下形式：U i n Zij Ij i 1 , 2 , , n
Bij sinij )
i j
J ii
Qi i
U i
n
U j (Gij cosij
j 1
Bij sinij )
ji
电力系统分析
修正方程为
3.2牛顿－拉夫逊法潮流计算 （19.22）
用分块矩阵的形式简化如下
Pi jQi
n
YijU j i 1 ,2 , ,n
Ui
j 1
（19.5）
式（19.5）是一组共有n个非线性方程组成的复数方程式，如果
把实部和虚部分开便得到2n个实数方程，因此由该方程组可解出
2n个运行参数。
电力系统分析
3 牛顿－拉夫逊法潮流计算
19.3.1牛顿－拉夫逊法概要 19.3.2牛顿－拉夫逊法潮流计算 19.3.3牛顿法的框图及求解过程 19.3.4实例
j 1
式中n为网络节点数
（19.1） （19.2）
电力系统分析
节点功率与节点电流之间的关系为：
~ Si
Pi
jQi
U i
Ii
（19.3）
式中
Pi PGi PLDi Qi QGi Q LDi
PQ节点可以表示为
Ii
Si
Pi - jQi
Ui
Ui
把这个关系式代入式（19.1）中，得
（19.4）
f m Δ U 2
n-1
f m
Δ P1
em1 Δ Q1
em1
Δ Pm
em-1 Δ Qm
em-1 Δ Pm1
em-1 Δ U 2
m1
em-1
Δ Pn-1
em-1 Δ U 2
n-1
em-1
Δ P1 Δ P1
f m1
en-1
Δ Q1 Δ Q1
f m1
en-1
Δ Pm Δ Pm
f m-1
en-1
Δ Qm Δ Qm
电力系统分析
3.2牛顿－拉夫逊法潮流计算
1．采用直角坐标
结点电压和导纳可表示为：
Yij G ij jBij
U i
e i
jf i
将上述表示式代入
Pi
jQi
U i
n
Y ij U j
的右端，
j 1
展开并分出实部和虚部，便得：
Pi
ei
n
j 1 n
Gij e j
Bij
fj
n
fi Gij f j Bij e j
xn
f n
Δ X 1
Δ
X
2
Δ X n
（19.13）
x1 x2
xn
式（19.13）等号右边矩阵的xfij
等都是对于X
' 1
,
X
' 2
,
,
X
' n
的值，这一矩阵称为雅可比（Jacobi）矩阵。
电力系统分析
按上述得到修正量Δ X 1 ,Δ X 2 , ,Δ X n 后，得到如下关系：
Δ U 2
m 1 f n-1
Δ Pn-1 f n-1
Δ
U
2 n1
f n-1
电力系统分析
3.2牛顿－拉夫逊法潮流计算
雅可比矩阵的各元素是对式（19.15）和（19.16）求偏导数
当 j i 时，对角元素是
Δ Pi
ei
n
Gij e j Bij f j
j 1
Gii ei Bii fi
为PQ机（或PQ给定型发电机）。在潮流计算中，系统大部分 节点属于PQ节点。
电力系统分析
2.PU节点 给出的参数是节点的有功功率P及电压幅值U，待求量为该节 点的无功功率Q及电压向量的相角θ。通常选择有一定无功功率 贮备的发电机母线或者有无功补偿设备的变电所母线作PU节点。 PU节点上的发电机称之为PU机（或PU给定型发电机）。 3.平衡节点