江西省南昌市第二中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理一、选择题（每小题5分，共60分） 1．若S 1＝221x dx ⎰，S 2＝211dx x⎰，S 3＝21x e dx ⎰，则S 1，S 2，S 3的大小关系为（ ）A.S 2<S 3<S 1B.S 2<S 1<S 3C.S 3<S 2<S 1D.S 1<S 2<S 3 2.已知复数z 满足，则z 的共轭复数的虚部是（ ）1- A. i B.1 C.i - D.3.命题p ：，，则命题p 的否定为（ ） A. ， B. ， C.，D.，4．下列正确的是（ ）A. 合情推理得到的结论一定正确B. 类比推理是由特殊到一般的推理C. 归纳推理是由个别到一般的推理D. 演绎推理是由特殊到一般的推理5．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意x ∈R ，'()f x ＞2，则42)(+>x x f 的解集为（ ）A.（-1，+∞）B.（-1，1）C.（-∞，-1）D.（-∞，+∞） 6.已知P 为椭圆短轴的一个端点,,是该椭圆的两个焦点,则的面积为（ ） A. 2B. 4C.D.7.命题p ：x ，，，命题q ：x ，，，则p 是q 的什么条件( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.曲线2y x =与直线3y x =围成图形的面积为( ) A.274 B.272 C. 92D. 9 9．用数学归纳法证明22222222(21)12(1)(1)213n n n n n ++++-++-+++=时，由n k =时的假设到证明1n k =+时，等式左边应添加的式子是（ ）A ．22(1)2k k ++B ．22(1)k k ++C ．2(1)k + D ．21(1)[2(1)1]3k k +++10.函数的图象大致是（ ）A. B. C. D.11.已知抛物线的焦点为F ，抛物线上任意一点P ，且轴交y 轴于点Q ，则的最小值为（ ）A.B.C. 2D. 112．设函数()(sin cos )xf x e x x =-)20210(π≤≤x ，则()f x 的各极大值之和为（ ） A ．πππe e e --1)1(02022 B ．πππe e e --1)1(22022 C ．πππ2202011e e e --）（ D ．πππ2220211e e e --）（二、填空题（每小题5分，共20分）13. 计算定积分的值为）（dx x x ⎰+20sin 3π.14. 已知复数z 满足1=z ，且负实数a 满足0222=-+-a a az z ，则a 的值为 .15. 已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A ，B 两点，且，则双曲线C 的离心率为 .16. 已知函数的最小值是，则)(2sin sin 2)(x f x x x f += .三、解答题（共70分） 17.（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y tx ⎩⎨⎧-=+=33，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点），（30M ，直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ，求MBMA 11+的值．18.（12分）已知函数在其定义域R 上恒成立，对任意，恒成立．（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数m的取值范围．19.（12分）已知函数，曲线过点．（1）求函数解析式．（2）求函数的单调区间与极值．20.（12分）(1)设a，b，，用反证法求证：下列三个关于x的方程，，中至少有一个有实数根． (2)已知，且10≤<ab ，用分析法求证：．21.（12分）已知点A （0，-2），椭圆E ：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的离心率为22，F是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为2，O 为坐标原点． （1）求E 的方程；（2）设过点P （0，3），且斜率为k 的直线l 与椭圆E 交于不同的两M 、N ，且|MN |=728，求k的值．22.（12分）设函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求m，n的值；（2）当时，若k为整数，且，求k的最大值．南昌二中2020—2021学年度上学期期末考试高二数学试卷 答案1.B S 1＝221x dx ⎰＝13x 321＝73， S 2＝211dx x ⎰＝lnx 21＝ln2， S 3＝21x e dx ⎰＝e x 21＝e 2－e ＝e(e －1)>e>73，所以S 2<S 1<S 3，故选B.2.C 解：，，则z 的共轭复数是⇒ z 的共轭复数的虚部是1，故选：C ．3.D 因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“：，”的否定是，．故选：D ．4.C 对于A ：合情推理得到的结论不一定正确，故A 错；对于B,类比推理是从个别到个别的推理,故B 错；对于Ｃ：归纳推理是由个别到一般的推理，是正确的；对于D ：演绎推理是由一般到特殊的推理，故D 错；因此选Ｃ． 5.A6.D 解：根据条件可得，，则，，则的面积，故选：D ． 7. A 解：如图所示：命题“”对应的图象为半径为的圆的内部，命题“”对应的图象为正方形的内部， 则命题“”是命题“”的充分不必要条件，故选：A ．8．C 由直线3y x =与曲线2y x =，解得0{0x y ==或3{ 3x y ==，所以直线3y x =与曲线2y x =的交点为()0,0O 和()3,3A ，因此，直线3y x =与曲线2y x =所围成的封闭图形的面积是()32233003193|232S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故选C. 9.B n k =时，左边为222(1)(1)k k k +-++-+，1n k =+时，左边为22222(1)(1)(1)k k k k k +-+++++-+，可见左边添加的式子为22(1)k k ++．10. B 解：，，解得，函数的定义域为，当时，，排除选项A ；，，，排除选项C ；，，即在函数的单调递减区间内，排除选项D ．故选：B ．11. A 解：抛物线方程为：，，设，则， ，当时，的值最小，最小值为，故选：A ．12．C 区间端点不能取极值； ∵函数()(sin cos )xf x e x x =-，∴'''()()(sin cos )(sin cos )2sin x x xf x e x x e x x e x =-+-=，∴(2,2)x k k πππ∈+时原函数递增，(2,22)x k k ππππ∈++时，函数递减，故当2x k ππ=+时，()f x 取极大值，其极大值为22(2)[sin(2)cos(2)]k k f k e k k e ππππππππππ+++=+-+=，又π20210≤≤x ，且π2021=x 处不能取极值，∴函数()f x 的各极大值之和为()[]().1111 (2202021010)2201953ππππππππππe ee e e e ee e e S --=--=++++=13.1832+π 14.251- 15. 2 16.233- 17.解.（1）由⎩⎨⎧-=+=ty t x 33消去参数t 可得直线l 的普通方程为：， 由θρcos 4=得曲线C 的直角坐标方程为：，即依题意可得直线l 的参数方程为：()为参数t ty tx ⎩⎨⎧-=+=33，将其代入曲线C 的方程得：，设A ，B 对应的参数为，，则，，则．18.解：若p 为真，则恒成立，所以， 解得，即m 的取值范围为．若q 为真，令，则．因为，所以，所以当且仅当，即时取“”，，故．由题意得：命题一真一假， 则当p 真q 假时，无解，当p 假q 真时，即或，所以实数m 的取值范围为．1119.解：由过点得，，即，所以．由知，，令，，令，， 所以在上单调递增，在上单调递减，极大值为，无极小值．20.证明：（1）假设这三个方程都没有实根，则，即，三式相乘并整理，得，因为，所以同理， 所以，显然与矛盾，所以假设不成立，从而原结论成立．因为，所以;要证，只需证，只需证;因为10≤<ab ，所以，即上式成立，则可得证：．21. 解：（1）由离心率e ==，则a =c ，直线AF 的斜率k ==2，则c =1，a =，b 2=a 2-c 2=1，∴椭圆E 的方程为+y 2=1；（2）设直线l ：y =kx +，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则⎪⎩⎪⎨⎧1=+y 2x 3+kx =y 22，整理得（1+2k 2）()()222k 211k k 14+-+12x 2+4kx +4=0，△=（4k ）2-4×4×（1+2k 2）＞0，即k 2＞1，∴x 1+x 2=22k134- k， x 1x 2=，∴|MN |=== =，即17k 4-32k 2-57=0，解得k 2=3或k 2=（舍去），∴k =±.22.解：1，易知切线方程的斜率为1，且过点，，解得，； 2由1知，，即为，当时，等价于，令，则，令，由得，，函数在上递增，而，，故存在唯一的零点，使得，即存在唯一的零点，使得， 当时，，递减，当时，，递增， ，又，即，故，整数k 的最大值为2．。