h
将式(1.2)代入式(1.8)，积分后得
M x D( M y D(
2w 2w ) x 2 y 2 2w 2w ) y 2 x 2 2w xy
(1.9)
M xy D(1 )
再将式(1.9)代入式(1.5)，即可得到薄板微元的运动微分方程为
ua z
w x w va z y wa w (高阶小量)
(1.1)
根据应变与位移的几何关系可以求出各点的三个主要是应变分量为
ua 2w z 2 x x v 2w y a z 2 y y
x
(1.2)
xy
ua va 2w 2 z y x xy
矩形板的横向自由振动的微分方程为
4 2 4w 4w w w D 4 2 2 2 h 0 4 x y y t 2 x
(1.11) 或写成
D4 w m
其中 m h
2w 0 t 2
(1.12)
设解的形式是时间变量和坐标变量可以分离的形式：
胡克定律，从而获得相对应的三个主要应力分量为：
x y
E Ez 2 w 2w ( ) ( ) x y 1 2 1 2 x 2 y 2 E Ez 2 w 2w ( ) ( ) y x 1 2 1 2 y 2 x 2 Ez 2 w 1 xy
(1.34)
W x, y Amn sin 2
m 1 n 1
m x 2 n y sin a b
(1.35)
将上式带入方程(1.14)，整理可得
2 4 4 4 4 2n y 2m x 2n y 2m x A b 4 m4 cos b2 m2 a 2 n2 cos cos mn 4 4 a n cos b a b a m 1 n 1 a b n y 2 m x k 4 sin 2 sin 0 b a
Wx 0 Wx a 0, Wy 0 Wy a 0,
4.1 正弦函数平方的逼近 根据简支的启发，正弦函数的平方满足边界条件。所以设其 W ( x, y) 是如下形式：
(
W W ) x 0 ( ) x a 0 x x W W ( ) y 0 ( ) y a 0 y y
2 2 m 2 m x n x n 4 A k sin 0 sin mn a b a b m 1 n 1 i x j y 将上式两边乘以 sin sin dxdy 并对整个面积进行积分得到： a b
m 2 n 2 4 k a b
则得固有频率为
2 2 D 2 D m n k h h a b
2
mn
Hale Waihona Puke (1.32)因此可得，四边简支矩形薄板在自由振动时的挠度函数为
图 1
薄板模型
根据假定（2） ，板的横向变形和面内变形 u、v 是相互独立的。为此，其弯曲变形可由 中面上各点的横向位移 w( x, y, t ) 所决定。根据假定（4） ，剪切应变分量为零。由薄板经典 理论，可以求得板上任意一点 a( x, y, z ) 沿 x, y, z 三个方向的位移分量 ua , va , wa 的表达式 分别为
M xy M x Qy x y M y M yx Qx x y
由弯矩的计算公式
(1.6)
整理得到
(1.7)
M x x zdz M y 2h y zdz
2 h
h 2 h 2
(1.8)
M xy M yx 2h xy zdz
2
(1.23)
于是变量得到了分离，要满足式(1.14)的三角函数为
sin x X ( x) cos x
类似地也可得出另一个平行的能使分离变量的条件为
(1.24)
sin y Y ( y) cos y
(1.25)
现设 x 方向板的长度为 a， y 方向板的长度为 b， 且当 x=0 和 x=a 边为简支， 则满 足此边界的条件 m / a ，故式(1.24)可写为
D22 44401 45169.
D13 38424 39451
图 3
简支的模态
Abaqus 的计算结果：
表格 2 简支薄板各阶振型 abaqus 实体单元有限元仿真结果
实体有限元模态
频率
D11
13951
23135. D12
D21
33610.
D13
39451
D22
45169.
D14
59868.
4 、固支边界条件振动微分方程的解 四边固支矩形薄板的自由振动边界条件为
X ( x) sin
令 (1.27) 代入式(1.14)有
m x ,0<x<a,m=1,2 a m x Wm ( x,y) Ym (y)sin a
(1.26)
(
即为
m 4 m x m 2 m x m x m x +sin -k 4 sin ) sin Ym -2( ) sin Ym Ym Ym 0 a a a a a a
图 2
薄板应力示意图
p(x, y, t)=P(x, y)f(t)为具有变量分离形式的外载荷集度，沿 z 轴方向。应用动静法计算时， 沿 z 轴负方向有一虚加惯性力 h 有
2w dxdy ，根据 Fz 0 ， M y 0 ， M y 0 则 t 2
F
z
0 Qy x dydx Qx dy Qy dx Qx dydx Qy dx y
4w 4w 4w 2w D 4 2 2 2 4 h 2 P( x, y ) f (t ) x y y t x
这是一个四阶的线性非齐次的偏微分方程。其中 D
(1.10)
Et 3 为薄板的抗弯刚度。 12(1 v 2 )
3 、 矩形板横向振动微分方程的解
(1.28)
-2( Ym
上式的解为
m 2 m 2 - ) Ym k 4 -( ) Ym 0 a a
(1.29)
Ym (y)=C1mch(1m y)+C2msh(1m y)+C3mcos(2m y)+C4msin(2m y)
式中
(1.30)
m 2 ) , a m 2 2m k 2 ( )2 a 再由 y=0 及 y=b 的边界条件，由式(1.30)可求得 Cim (i=1,2,34)的齐次方程组， 再令其系数
(1.4)
Qx dy
P( x, y ) f (t )dydx h
整理后，可得
2w dydx 0 t 2
Qx Qy 2w P( x, t ) f (t ) h 2 x y t
(1.5)
M
x
0 M y
Qy 1 dydx) Qy dx dy (Qy dx dydx) y 2 y M xy M xy dy ( M xy dy dydx) 0 x My 0 M y dx ( M y dx ( M x dy M yx Mx dxdy ) M x dy ( M yx dx dxdy ) M yx dx x y Q 1 1 (Qx dy x dxdy ) dx Qx dy dx 0 x 2 2
4 X ( x) 4X 4 x 2 X ( x) 2 X x 2
(1.17)
(1.18)
现讨论式(1.17)中，首先要满足边界条件，设
(1.19)
根据上两式，有
4 X ( x) 2 X 4 X x 4
则 4 4 ，故有
(1.20)
w( x, y, t ) Amn sin
m 1 n 1
m x n x sin cos mnt a b
(1.33)
将上述结果用 MATLAB 求出：
表格 1 简支的固有频率计算结果
频率 计算结果 仿真结果
D11 11100 13951
D12 21347 23135
D21 34155 33610
21m k 2 (
行列式为零，可得到固有频率方程式，从而求出固有频率。
四边简支矩形薄板的自由振动边界条件为
2W 2W ) ( ) x a 0 x 0 x 2 x 2 (1.31) 2W 2W Wx 0 Wx a 0, ( 2 ) x 0 ( 2 ) x a 0 x x m x n y 设 W x, y Amn sin 则满足边界条件。将上式代入方程(1.14)，得 sin a b m 1 n 1 Wx 0 Wx a 0, (
w( x, y, t ) W ( x, y)cos t
将式(1.13)代入式(1.12)）可得
(1.13)
4W k 4W 0 h 2 k4 D
下形式： W ( x, y) X ( x)Y ( y) 将上式代入式(1.14)中，可得
(1.14) (1.15)
再根据板的边界条件来求解固有频率，式(1.14)可用分离变量法来求解。假定解具有如
Y ( y)
4 X ( x) 2 X ( x) 2Y ( y) 4Y ( y) 2 X ( x ) k 4 X ( x)Y ( y) 0 x 4 x 2 y 2 y 4
(1.16)
上式可改写为
( (
4 X ( x) 4 2 X 2Y 4Y k X ) Y 2 X 0 x 4 x 2y 2 y 4 4Y ( x) 4 2 X 2Y 4 X k Y ) X 2 Y 0 y 4 x 2y 2 x 4
