绝密★启用前浙江省绍兴市越城区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．函数y=(x+1)2-2的最小值是（ ） A ．1 B ．－1C ．2D ．－22．若23a b =，那么a a b+的值是（ ） A ．25 B ．35C ．32D ．523．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，已知a 和A ，则下列关系式中正确的是（ ）A ．sin c a A =⋅B ．sin a c A =C ．cos c a A =⋅D ．cos ac A= 4．如图，四边形ABCD 内接于O e ，若:5:7A C ∠∠=，则C ∠=（ ）A ．210︒B ．150︒C ．105︒D ．75︒5．在一个不透明的布袋中，有红色、黑色、白色球共40个，它们除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则布袋中白色球的个数可能是（ ）A ．24B ．18C ．16D ．66．一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm 、30cm 、36cm ，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm 、45cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ） A ．0种B ．1种C ．2种D ．3种7．抛物线2y ax bx c =++(0)a ≠上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表：容易看出，()2,0-是它与x 轴的一个交点，那么它与x 轴的另一个交点的坐标为（ ） A ．(6,0)-B ．(4,0)-C ．(3,0)D ．(0,6)8．如图，将AOB ∆的三边扩大一倍得到CDE ∆（顶点均在格点上），如果它们是以点P 为位似中心的位似图形，则点的P 坐标是（ ）A ．(0,2)B ．(0,0)C ．(0,2)-D ．(0,3)-9．如图，AB 是O e 的直径，且4AB =，C 是O e 上一点，将弧AC 沿直线AC 翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O ，取 3.14π≈ 1.41≈ 1.73≈，那么由线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（ ）A ．3.2B ．3.6C ．3.8D ．4.210．小敏打算在某外卖网站点如下表所示的菜品和米饭.已知每份订单的配送费为3元，商家为促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元.如果小敏在购买下表的所有菜品和米饭时，采取适当的下单方式，那么他的总费用最低可为（）A．48元B．51元C．54元D．59元第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．正五边形的一个内角的度数是_________12．已知两个相似三角形的相似比为2︰5，其中较小的三角形面积是4，那么另一个三角形的面积为．∠= 13．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则tan ABC ______.14．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.已知：直线a和直线外一点P.求作：直线a 的垂线，使它经过P . 作法：如图2.（1）在直线a 上取一点A ，连接PA ； （2）分别以点A 和点P 为圆心，大于12AP =的长为半径作弧，两弧相交于B ，C 两点，连接BC 交PA 于点D ；（3）以点D 为圆心，DP 为半径作圆，交直线a 于点E （异于点A ），作直线PE .所以直线PE 就是所求作的垂线. 请你写出上述作垂线的依据：______.15．如图，一抛物线与x 轴相交于A ，B 两点，其顶点P 在折线段CD DE -上移动，已知点C ，D ，E 的坐标分别为(2,8)-，(8,8)，(8,2)，若点B 横坐标的最小值为0，则点A 横坐标的最大值为______.16．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3sin 5B =，将ABC ∆绕顶点C 顺时针旋转，得到11A B C ∆，点A 、B 分别与点1A 、1B 对应，边11A B 分别交边AB 、BC 于点D 、E ，如果点E 是边11A B 的中点，那么1:A D DB =______.三、解答题17．计算：4sin30cos45°+tan 260°． 18．已知抛物线y=12x 2+x ﹣52． （1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；（2）若抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长．19．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，B ACB ∠=∠，点,E F 分别在,AB BC 上，且EFB D ∠=∠．(1)求证：EFB ∆∽CDA ∆；(2)若20AB =，5AD =，4BF =，求EB 的长．20．“红灯停，绿灯行”是我们过路口遇见交通信号灯时必须遵守的规则.小明每天从家骑自行车上学要经过三个路口，假如每个路口交通信号灯中红灯和绿灯亮的时间相同，且每个路口的交通信号灯只安装了红灯和绿灯.那么某天小明从家骑车去学校上学，经过三个路口抬头看到交通信号灯.（1）请画树状图，列举小明看到交通信号灯可能出现的所有情况； （2）求小明途经三个路口都遇到红灯的概率.21．2019年我市在“展销会”期间，对周边道路进行限速行驶.道路AB 段为监测区，C 、D 为监测点(如图).已知C 、D 、B 在同一条直线上，且AC BC ⊥，CD=400米，tan 2ADC ∠=，35ABC ∠=︒.(1)求道路AB 段的长；(精确到1米)(2)如果AB 段限速为60千米/时，一辆车通过AB 段的时间为90秒，请判断该车是否超速，并说明理由.(参考数据：sin350.57358︒≈，cos350.8195︒≈，tan350.7︒≈)22．如图1，O e 的直径4cm AB =，点C 为线段AB 上一动点，过点C 作AB 的垂线交O e 于点D ，E ，连结AD ，AE .设AC 的长为cm x ，ADE ∆的面积为2cm y .小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小东的探究过程，请帮助小东完成下面的问题.（1）通过对图1的研究、分析与计算，得到了y 与x 的几组对应值，如下表：请求出表中小东漏填的数a ；（2）如图2，建立平面直角坐标系xOy ，描出表中各对应值为坐标的点，画出该函数的大致图象；（3）结合画出的函数图象，当ADE ∆的面积为24cm 时，求出AC 的长. 23．已知：△ABC 中，点D 为边BC 上一点，点E 在边AC 上，且∠ADE ＝∠B(1) 如图1，若AB ＝AC ，求证：CEBDCD AC =； (2) 如图2，若AD ＝AE ，求证：CEBDCDAE=； (3) 在(2)的条件下，若∠DAC ＝90°，且CE ＝4，tan ∠BAD ＝12，则AB ＝____________．24．边长为2的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D 是边OA 的中点，连接CD ，点E 在第一象限，且DE DC ⊥，DE DC =.以直线AB 为对称轴的抛物线过C ，E 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点C 出发，沿射线CB 每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒.过点P 作PF CD ⊥于点F ，当t 为何值时，以点P ，F ，D 为顶点的三角形与COD ∆相似？（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1．D【解析】【分析】抛物线y=(x+1)2-2开口向上，有最小值，顶点坐标为(-1，-2)，顶点的纵坐标-2即为函数的最小值.【详解】解：根据二次函数的性质，当x=-1时，二次函数y=(x+1)2-2的最小值是-2.故选D.【点睛】本题考查了二次函数的最值.2．A【解析】【分析】根据23ab=，可设a＝2k，则b＝3k，代入所求的式子即可求解．【详解】∵23ab=，∴设a＝2k，则b＝3k，则原式＝223kk k+=25．故选：A．【点睛】本题考查了比例的性质，根据23ab=，正确设出未知数是本题的关键．3．B【解析】【分析】根据三角函数的定义即可作出判断．【详解】∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠C 的对边为c ，∠A 的对边为a ， ∴sinA ＝a c， ∴a ＝c •sinA ，sin ac A=． 故选：B ． 【点睛】考查了锐角三角函数的定义，正确理解直角三角形边角之间的关系．在直角三角形中，如果已知一边及其中的一个锐角，就可以表示出另外的边． 4．C 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠C ＝180°×757+＝105°． 【详解】∵∠A ＋∠C ＝180°，∠A ：∠C ＝5：7， ∴∠C ＝180°×757+＝105°． 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形对角互补． 5．C 【解析】 【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率＝频数计算白球的个数． 【详解】∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%， ∴摸到白球的频率为1−15%−45%＝40%， 故口袋中白色球的个数可能是40×40%＝16个． 故选：C ． 【点睛】大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是算出摸到白球的频率．6．B【解析】【分析】先判断出两根铝材哪根为边，需截哪根，再根据相似三角形的对应边成比例求出另外两边的长，由另外两边的长的和与另一根铝材相比较即可．【详解】∵两根铝材的长分别为27cm 、45cm ，若45cm 为一边时，则另两边的和为27cm ，27<45，不能构成三角形，∴必须以27cm 为一边，45cm 的铝材为另外两边，设另外两边长分别为x 、y ，则(1)若27cm 与24cm 相对应时，27x y 243036==， 解得：x =33.75cm ，y =40.5cm ，x +y =33.75+40.5=74.25cm >45cm ，故不成立；(2)若27cm 与36cm 相对应时，27x y 363024==， 解得：x =22.5cm ，y =18cm ，x +y =22.5+18=40.5cm <45cm ，成立；(3)若27cm 与30cm 相对应时，27x y 303624==， 解得：x =32.4cm ，y =21.6cm ，x +y =32.4+21.6=54cm >45cm ，故不成立；故只有一种截法.故选B.7．C【解析】【分析】根据（0，6）、（1，6）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．【详解】∵抛物线2y ax bx c =++经过（0，6）、（1，6）两点，∴对称轴x＝012+＝12；点（−2，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）．故选C.【点睛】本题考查了二次函数的对称性，解题的关键是求出其对称轴. 8．D【解析】【分析】根据位似中心的定义作图即可求解.【详解】如图，P点即为位似中心，则P(0,3)-故选D.【点睛】此题主要考查位似中心，解题的关键是熟知位似的特点. 9．C【解析】【分析】作OE⊥AC交⊙O于F，交AC于E，连接CO，根据折叠的性质得到OE＝12OF，根据直角三角形的性质求出∠CAB，再得到∠COB，再分别求出S△ACO与S扇形BCO即可求解.．【详解】作OE⊥AC交⊙O于F，交AC于E，由折叠的性质可知，EF ＝OE ＝12OF ， ∴OE ＝12OA ， 在Rt △AOE 中，OE ＝12OA ， ∴∠CAB ＝30°，连接CO ，故∠BOC=60°∵4AB =∴r=2，∴线段AB 、AC 和弧BC 所围成的曲边三角形的面积为S △ACO +S 扇形BCO =21602360AC OE r π⨯+⨯⨯=2111226π⨯+⨯⨯23π≈3.8 故选C.【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、圆周角定理，扇形的面积求解，解题的关键是熟知折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 10．C【解析】【分析】根据满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元，即可得到结论．【详解】小宇应采取的订单方式是60一份，30一份，所以点餐总费用最低可为60−30＋3＋30−12＋3＝54元，答：他点餐总费用最低可为54元．故选C.【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，正确的理解题意是解题的关键．11．108°【解析】试题分析：∵正多边形的内角和公式为：（n﹣2）×180°，∴正五边形的内角和是：（5﹣2）×180°=540°，则每个内角是：540÷5=108°．考点：多边形的内角和计算公式12．25【解析】试题解析：∵两个相似三角形的相似比为2:5，∴面积的比是4:25，∵小三角形的面积为4，∴大三角形的面积为25.故答案为25.点睛：相似三角形的面积比等于相似比的平方.13．1 2【解析】【分析】连接AC，根据网格特点和正方形的性质得到∠BAC＝90°，根据勾股定理求出AC、AB，根据正切的定义计算即可．【详解】连接AC，由网格特点和正方形的性质可知，∠BAC＝90°，根据勾股定理得，AC，AB＝，则tan∠ABC＝12 ACAB，故答案为：12．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理及其逆定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．14．直径所对的圆周角是直角【解析】【分析】由题意知点E在以PA为直径的圆上，根据“直径所对的圆周角是直角”可得∠PEA＝90°，即PE⊥直线a．【详解】由作图知，点E在以PA为直径的圆上，所以∠PEA＝90°，则PE⊥直线a，所以该尺规作图的依据是：直径所对的圆周角是直角，故答案为：直径所对的圆周角是直角．【点睛】本题主要考查作图−尺规作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图及其性质和直径所对的圆周角是直角．15．7【解析】【分析】当点B横坐标的最小值为0时，抛物线顶点在C点，据此可求出抛物线的a值，再根据点A 横坐标的最大值时，顶点在E点，求出此时的抛物线即可求解.【详解】点，当点B横坐标的最小值为0时，抛物线顶点在C(2,8)设该抛物线的解析式为：y=a(x+2)2+8,代入点B（0,0）得：0= a(x+2)2+8，则a=−2，即：B点横坐标取最小值时,抛物线的解析式为：y= -2(x+2)2+8.当A点横坐标取最大值时,抛物线顶点应取E(8,2),则此时抛物线的解析式：y=-2 (x−8)2+2，令y=0，解得x1=7,x2=9∴点A的横坐标的最大值为7.故答案为7.【点睛】此题主要考查二次函数的平移问题，解题的关键是熟知待定系数法求解解析式.16．5 12【解析】【分析】设AC＝3x，AB＝5x，可求BC＝4x，由旋转的性质可得CB1＝BC＝4x，A1B1＝5x，∠ACB＝∠A1CB1，由题意可证△CEB1∽△DEB，可得111.53= 2.55BD BE DE xB C B E CE x===，即可表示出BD,DE，再得到A1D的长，故可求解．【详解】∵∠ACB＝90°，sin B＝35 ACAB=，∴设AC＝3x，AB＝5x，∴BC4x，∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转，得到△A1B1C，∴CB1＝BC＝4x，A1B1＝5x，∠ACB＝∠A1CB1，∵点E是A1B1的中点，∴CE＝12A1B1＝2.5x＝B1E=A1E，∴BE＝BC−CE＝1.5x，∵∠B＝∠B1，∠CEB1＝∠BED ∴△CEB1∽△DEB∴11 1.53=2.55BD BE DE x B C B E CE x === ∴BD=125x ，DE=1.5x, ∴A 1D= A 1E- DE=x, 则1:A D DB =x:125x =512 故答案为：512. 【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，证△CEB 1∽△DEB 是本题的关键．17．4.【解析】【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．【详解】原式214213422=⨯+=-+=． 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（1）顶点坐标为（﹣1，﹣3），对称轴是直线x=﹣1；（2）AB=【解析】【分析】（1）先把抛物线解析式配方为顶点式，即可得到结果；（2）求出当时的值，即可得到结果． 【详解】解：（1）由配方法得y=12（x+1）2 -3 则顶点坐标为（﹣1，﹣3），对称轴是直线x=﹣1；（2）令y=0,则0=12x 2+x ﹣52解得x 1 x 2则A （，0），B （，0）∴AB=（）-（）=19．(1)证明见解析；(2)16.【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案．（2）根据△EFB ∽△CDA ，利用相似三角形的性质即可求出EB 的长度．【详解】(1)∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠，∵//AD BC ，∴DAC ACB ∠=∠，∴B DAC ∠=∠，∵D EFB ∠=∠，∴EFB ∆∽CDA ∆；(2)∵EFB ∆∽CDA ∆， ∴BE BF AC AD=， ∵20AB AC ==，5AD =，4BF =，∴16BE =．【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定.20．（1）详见解析；共有8种等可能的结果；（2）18【解析】【分析】此题分三步完成，每一个路口需要选择一次，所以把每个路口看做一步，用树状图表示所有情况，再利用概率公式求解．【详解】（1）列树状图如下：由树状图可以看出，共有8种等可能的结果，即：红红红、红红绿、红绿红、红绿绿、 绿红红、绿红绿、绿绿红、绿绿绿、（2）由（1）可知P （三次红灯）18=. 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 21．(1)AB ≈1395 米；(2)没有超速．【解析】【分析】（1）先根据tan ∠ADC ＝2求出AC ，再根据∠ABC ＝35°结合正弦值求解即可（2）根据速度的计算公式求解即可.【详解】解：(1)∵AC ⊥BC ，∴∠C ＝90°，∵tan ∠ADC ＝AC CD ＝2， ∵CD ＝400，∴AC ＝800，在Rt △ABC 中，∵∠ABC ＝35°，AC ＝800，∴AB ＝sin 35AC ︒＝8000.57358≈1395 米； (2)∵AB ＝1395， ∴该车的速度＝139590＝55.8km /h ＜60千米/时，故没有超速．【点睛】此题重点考察学生对三角函数值的实际应用，熟练掌握三角函数值的实际应用是解题的关键.22．（1） 4.0a =；（2）详见解析；（3）2.0或者3.7【解析】【分析】（1）当x ＝2时，点C 与点O 重合，此时DE 是直径，由此即可解决问题；（2）利用描点法即可解决问题；（3）利用图象法，确定y ＝4时x 的值即可；【详解】（1）当2x =时，即ED 是直径，可求得ADE ∆的面积为4.0，∴ 4.0a =；（2）函数图象如图所示：（3）由图像可知，当 4.0a =时， 2.0AC x ==或3.7【点睛】本题考查圆综合题，三角形的面积，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．23 【解析】分析：(1)180,B BAD ADB ∠+∠+∠=︒ 180,ADE CDE ADB ∠+∠+∠=︒∠ADE ＝∠B,可得,BAD CDE ∠=∠ ,AB AC = 根据等边对等角得到,B C ∠=∠△BAD ∽△CDE ，根据相似三角形的性质即可证明.(2) 在线段AB 上截取DB ＝DF ,证明△AFD ∽△DEC ，根据相似三角形的性质即可证明.(3) 过点E 作EF ⊥BC 于F ，根据tan ∠BAD ＝tan ∠EDF ＝12EF DF =，设EF ＝x ，DF ＝2x ，则DE ，证明△EDC ∽△GEC ，求得C G =，根据CE 2＝CD ·CG ，求出CD ＝根据△BAD ∽△GDE,即可求出AB 的长度.详解：(1) 180,B BAD ADB ∠+∠+∠=︒ 180,ADE CDE ADB ∠+∠+∠=︒∠ADE ＝∠B,可得,BAD CDE ∠=∠,AB AC =∴,B C ∠=∠∵△BAD ∽△CDE ， ∴CE BD BD CD AB AC==； (2) 在线段AB 上截取DB ＝DF∴∠B ＝∠DFB ＝∠ADE∵AD ＝AE ∴∠ADE ＝∠AED ∴∠AED ＝∠DFB ，同理：∵∠BAD ＋∠BDA ＝180°－∠B ，∠BDA ＋∠CDE ＝180°－∠ADE ∴∠BAD ＝∠CDE∵∠AFD ＝180°－∠DFB ，∠DEC ＝180°－∠AED ∴∠AFD ＝∠DEC ，∴△AFD ∽△DEC ，∴CE DF BD CD AD AE== (3) 过点E 作EF ⊥BC 于F∵∠ADE ＝∠B ＝45°∴∠BDA ＋∠BAD ＝135°，∠BDA ＋∠EDC ＝135° ∴∠BAD ＝∠EBC （三等角模型中，这个始终存在）∵tan ∠BAD ＝tan ∠EDF ＝12EF DF =∴设EF ＝x ，DF ＝2x ，则DE ，在DC 上取一点G ，使∠EGD ＝45°， ∴△BAD ∽△GDE ，∵AD ＝AE ∴∠AED ＝∠ADE ＝45°， ∵∠AED ＝∠EDC ＋∠C ＝45°，∠C ＋∠CEG ＝45°，∴∠EDC ＝∠GEC ，∴△EDC ∽△GEC ，∴CG EG CECE DE CD == ∴4CG =，5CG = 又CE 2＝CD ·CG ，∴42＝CD ，CD ＝∴2x x +=，解得x = ∵△BAD ∽△GDE∴DE DG AD AB==∴AB ===. 点睛：属于相似三角形的综合题，考查相似三角形的判定于性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.24．（1）212(2)33y x =-+；（2）1t =或52t =时，以点P ，F ，D 为顶点的三角形与COD ∆相似；（3）存在，四边形MDEN 是平行四边形时，1(2,1)M ，1(4,2)N ；四边形MNDE 是平行四边形时，2(2,3)M ，2(0,2)N ；四边形NDME 是平行四边形时，322,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，312,3N ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，可得OA ＝OC ，∠AOC ＝∠DGE ，根据余角的性质，可得∠OCD ＝∠GDE ，根据全等三角形的判定与性质，可得EG ＝OD ＝1，DG ＝OC ＝2，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）分类讨论：若△DFP ∽△COD ，根据相似三角形的性质，可得∠PDF ＝∠DCO ，根据平行线的判定与性质，可得∠PDO ＝∠OCP ＝∠AOC ＝90，根据矩形的判定与性质，可得PC 的长；若△PFD ∽△COD ，根据相似三角形的性质，可得∠DPF ＝∠DCO ，PD DF CD OD =，根据等腰三角形的判定与性质，可得DF 于CD 的关系，根据相似三角形的相似比，可得PC 的长；（3）分类讨论：当四边形NDME 是平行四边形时，四边形MNDE 是平行四边形时，四边形MDEN 是平行四边形时，根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边，可得答案．【详解】解：（1）过点E 作EG x ⊥轴于G 点.∵四边形OABC 是边长为2的正方形，D 是OA 的中点，∴2OA OC ==，1OD =，90AOC DGE ∠=∠=︒.∵90CDE ∠=︒，∴90ODC GDE ∠+∠=︒.∵90ODC OCD ∠+∠=︒，∴OCD GDE ∠=∠.在OCD ∆和GED ∆中COD DGE OCD GDE DC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ODC GED AAS ∆∆≌，1EG OD ==，2DG OC ==.∴点E 的坐标为(3,1).∵抛物线的对称轴为直线AB 即直线2x =，∴可设抛物线的解析式为2(2)y a x k =-+，将C 、E 点的坐标代入解析式，得421a k a k +=⎧⎨+=⎩，解得1323a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴抛物线的解析式为212(2)33y x =-+； （2）①若DFP COD ∆∆∽，则PDF DCO ∠=∠，//PD OC ，∴90PDO OCP AOC ∠=∠=∠=︒，∴四边形PDOC 是矩形，∴1PC OD ==，∴1t =；②若PFD COD ∆∆∽，则PDF DCO ∠=∠， ∴PD DF CD OD=. ∴9090PCF DCO DPF PDF ∠=︒-∠=-∠=∠. ∴PC PD =，∴12DF CD =. ∵22222215CD OD OC =+=+=，∴CD =，∴DF =. ∵PD DF CD OD=，∴52PC PD ===，52t =， 综上所述：1t =或52t =时，以点P ，F ，D 为顶点的三角形与COD ∆相似： （3）存在，①若以DE 为平行四边形的对角线，如图2，此时，N 点就是抛物线的顶点（2，23）， 由N 、E 两点坐标可求得直线NE 的解析式为：y ＝13x ； ∵DM ∥EN ， ∴设DM 的解析式为：y ＝13x ＋b ， 将D （1，0）代入可求得b ＝−13， ∴DM 的解析式为：y ＝13x −13， 令x ＝2，则y ＝13， ∴M （2，13）； ②过点C 作CM ∥DE 交抛物线对称轴于点M ，连接ME ，如图3，∵CM ∥DE ，DE ⊥CD ，∴CM ⊥CD ，∵OC ⊥CB ，∴∠OCD ＝∠BCM ，在△OCD 和△BCM 中BCM OCD CBM COD CO CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△OCD ≌△BCM （ASA ），∴CM ＝CD ＝DE ，BM ＝OD ＝1，∴CDEM 是平行四边形，即N 点与C 占重合，∴N （0，2），M （2，3）；③N 点在抛物线对称轴右侧，MN ∥DE ，如图4，作NG ⊥BA 于点G ，延长DM 交BN 于点H ，∵MNED 是平行四边形，∴∠MDE ＝MNE ，∠ENH ＝∠DHB ，∵BN ∥DF ，∴∠ADH ＝∠DHB ＝∠ENH ，∴∠MNB ＝∠EDF ，在△BMN 和△FED 中MBN EFD BNM FDE MN DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△BMN ≌△FED （AAS ），∴BM ＝EF ＝1，BN ＝DF ＝2，∴M （2，1），N （4，2）；综上所述，四边形MDEN 是平行四边形时，1(2,1)M ，1(4,2)N ；四边形MNDE 是平行四边形时，2(2,3)M ，2(0,2)N ；四边形NDME 是平行四边形时，322,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，312,3N ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了二次函数综合题，（1）利用了正方形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式；（2）利用了相似三角形的性质，矩形的判定，分类讨论时解题关键；（3）利用了平行四边形的判定，分类讨论时解题关键．。