专题复习――圆与方程教材梳理❖知识点一圆的方程1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(C(a,b)为圆心,r为半径)特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是:x2+y2=r22.圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）D E其中圆心C(-,-)，半径r=22D2+E2-4F2求圆的方程的主要方法有两种：一是定义法，二是待定系数法定义法：是指用定义求出圆心坐标和半径长，从而得到圆的标准方程；待定系数法：即列出关于D,E,F的方程组，求D,E,F而得到圆的一般方程，步骤为：(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(2)根据已知条件，建立关于D,E,F的方程组；(3)解方程组。

求出D,E,F的值，并把它们代人所设的方程中去，就得到所求圆的一般方程．❖知识点二点和圆的位置关系3.点和圆的位置关系给定点M(x,y)及圆C:(x-a)2+(y-b)2=r200①M在圆C内⇔(x-a)2+(y-b)2<r200②M在圆C上⇔(x-a)2+(y-b)2=r200③M在圆C外⇔(x-a)2+(y-b)2>r200❖知识点三直线和圆的位置关系4.设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2；直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)圆心C(a,b)到直线l的距离d=|Aa+Bb+C|A2+B2直线与圆的位置关系判断方法(1)几何法:由圆心到直线的距离d和圆r的半径的大小关系来判断①d=r时，l与C相切；②d<r时，l与C相交；③d>r时，l与C相离.⎧(x-a)2+(y-b)2=r2(2)代数法:由直线与圆的方程联立成方程组⎨⎩Ax+By+C=0消元得到关于x（或y）的一元二次方程,然后由判别式∆来判断①相交⇔∆>0②相切⇔∆=0③相离⇔∆<0知识点四圆和圆的位置关系圆与圆的位置关系判断方法(1)几何法：两圆的连心线长为l，圆C的半径r与圆C的半径r，则判别圆与圆的1122位置关系的依据有以下几点：①当l>r+r时，圆C与圆C相离；②当l=r+r时，圆C与圆C外切；12121212③当l<r+r时，圆C与圆C相交；④当l=r-r时，圆C与圆C内切；12122112⑤当0≤l<r-r时，圆C与圆C内含.2112(2)代数法：由两圆的方程联立消元得到关于x（或y）的一元二次方程,然后由判别式∆来判断①∆=0⇔为外切或内切②∆>0⇔为相交③∆<0⇔为相离或内含题组一圆的方程的求法1.(2009重庆)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是()A.x2＋(y－2)2＝1 C.(x－1)2＋(y－3)2＝1B.x2＋(y＋2)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝1解析：由题意知圆心为(0,2)，则圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.2.(2009辽宁)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为()A.(x＋1)2＋(y－1)2＝2B.(x－1)2＋(y＋1)2＝2C.(x－1)2＋(y－1)2＝2?D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2圆心(－ ，－a)，所以－ ＋a ＋1＝0，解得 a ＝3 或 a ＝－1，x x －0 x直线的斜率．设 ＝k ，则 kx －y ＝0.由＝ 3，得 k ＝± 3， 1＋k x22 则⎨ ⎨ 0⎪ ⎪ ⎩ ⎩|a －(－a)| |a －(－a)－4|解析：由圆心在直线 x ＋y ＝0 上．不妨设为 C(a ，－a)．∴r ＝ ＝ ，2 2解得 a ＝1，r ＝ 2. ∴C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.3.若圆 x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0 关于直线 x －y ＋1＝0 对称，则实数 a 的值为________．解析：依题意知直线 x －y ＋1＝0 经过圆 x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0 的a 2－1 a 2－12 2当 a ＝－1 时，方程 x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0 不能表示圆，所以只能取 a ＝3.题组二4. 若实数 x 、y 满足 ( x －2)2＋y 2＝3 ，则yx与圆有关的最值问题的最大值为________.， 2 x - 3 y 的最大值为________.2 x -3 y 的最大值为________.y y －0 y解析： ＝ ，即连结圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此 的最值即为过原点的直线与圆相切时该y |2k|2y y结合图形可得(x )max ＝ 3，(x )min ＝－ 3.题组三与圆有关的轨迹问题5.点 P(4, -2) 与圆 x 2＋y 2＝4 上任一点连线的中点轨迹方程是 ()A. ( x －2)2＋( y ＋1)2＝1B. ( x －2)2＋( y ＋1)2＝4C. ( x ＋4)2＋( y －2)2＝4D. ( x ＋2)2＋( y －1)2＝1解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则 x 0 ＋ y 0 ＝4，连线中点坐标为(x ，y)，⎧2x ＝x ＋4， ⎧x ＝2x －4， 0 ⎪2y ＝y 0－2⎪y 0＝2y ＋2，代入 x 2 ＋ y 2 ＝4 中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.0 06.从原点 O 引圆 ( x －m )2＋( y －3)2＝m 2＋4 的切线 y ＝kx ，当 m 变化时,切点 P 的轨迹方程是 ()A. x 2＋y 2＝4( x ≠ 0)B. (x －3)2 ＋y 2＝4( x ≠ 0)7.已知以点 C (t, ),( t ∈ R, t ≠ 0) 为圆心的圆与 x 轴交于点 O 、A ，与 y 轴交于点 O 、B ，其中 O 为原点．解：(1)证明：设圆的方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0，由于圆心 C(t ， )，∴D ＝－2t ，E ＝－ ，令 y ＝0 得 x ＝0 或 x ＝－D ＝2t ，∴A(2t,0)，令 x ＝0 得 y ＝0 或 y ＝－E ＝ ，∴B(0， )， ⎧⎪(1－a) ＋(－1－b ) ＝rC. (x －1)2 ＋( y －3)2 ＝5( x ≠ 0)D. x 2＋y 2＝5( x ≠ 0)解析：圆心为 C(m,3)，设点 P(x ，y)(x ≠0)，则|OP|2＋|PC|2＝|OC|2，∴x 2＋y 2＋m 2＋4＝m 2＋32，故所求方程为 x 2＋y 2＝5(x ≠0)．题组四圆的方程的综合问题2t(1)求证: ∆OAB 的面积为定值；(2)设直线 y ＝-2x ＋4 与圆 C 交于点 M 、N ，若 OM ＝ON ，求圆 C 的方程．2 4t t4 4t t1 1 4∴△S OAB ＝2|OA |·|OB|＝2·|2t |·| t |＝4(定值)．(2)∵OM ＝ON ，∴O 在 MN 的垂直平分线上，而 MN 的垂直平分线过圆心 C ，21t 1 ∴k OC ＝2，∴ t ＝2，解得 t ＝2 或 t ＝－2，而当 t ＝－2 时，直线与圆 C 不相交，∴t ＝2，∴D ＝－4，E ＝－2，∴圆的方程为 x 2＋y 2－4x －2y ＝0.8.(2010 青岛)已知圆 M 过两点 A(1,－1)，B(－1,1),且圆心 M 在 x ＋y －2＝0 上．(1)求圆 M 的方程；(2)设 P 是直线 3x ＋4y ＋8＝0 上的动点， P A 、PB 是圆 M 的两条切线, A 、B 为切点,求四边形 P AMB面积的最小值．222 解：(1)设圆 M 的方程为：(x －a)2＋(y －b )2＝r 2(r>0)， 根据题意得：⎨(－1－a)2＋(1－b )2＝r 2⎪⎩a ＋b －2＝0解得：a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆 M 的方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝4.1 1(2)由题知，四边形 P AMB 的面积为 S ＝S △PAM ＋S △PBM ＝2|AM ||P A|＋2|BM||PB|.又|AM |＝|BM|＝2，|P A|＝|PB|，所以 S ＝2|P A|，而|P A|＝ |PM|2－|AM |2＝ |PM|2－4，即 S ＝2 |PM|2－4. 因此要求 S 的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线 3x ＋4y ＋8＝0 上找一点 P ，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝|3×1＋4×1＋8|＝3，所以四边形P AMB面积的最小值为32＋42S＝2|PM|2－4＝232－4＝2 5.专题复习――平面向量考点一：向量的概念、向量的基本定理例1、（2007上海）直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若AB=2i+j,AC=3i+k j，则k的可能值个数是（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4解：如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以k的可能值个数是2，选B点评：本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，体现平面向量中的数形结合思想。

例2、（2007陕西）如图，平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与O A与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°,且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝23，若OC＝λOA+μOB（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为.解：过C作OA与OC的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90°角AOC=30°，OC=23得平行四边形的边长为2和4，λ+μ=2+4=6点评：本题考查平面向量的基本定理，向量OC用向量OA与向量OB作为基底表示出来后，求相应的系数，也考查了平行四边形法则。

考点二：向量的运算例3、(2008湖北文、理)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=（）A.(－15,12)B.0C.－3D.－11解：(a+2b)(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6)，(a+2b)·c=(-5,6)⋅(3,2)=-3，选C点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，() = 25a 解： 5a - b = 5a - b- 10a • b + b 2 = 25 ⨯12 - 10 ⨯1⨯ 3 ⨯ - ⎪ + 32 = 49 ， 5a - b = 7(1)求 f ( x ) 的最小正周期;(2)当 x ∈[ π 6 ) .(2) 由 f ( x) = 1,得 sin 2 x + = ，6 ⎭ 2 例 7、（2007 湖北）将 y = 2cos + ⎪ 的图象按向量 a = - ，- 2 ⎪ 平移，则平移后所得图象的解析式Ａ． y = 2cos + ⎪- 2Ｂ． y = 2cos - ⎪ + 2还考查了向量的数量积，结果是一个数字。