0 2
2 0
0 0
2
0
1 2
1 2
0
0
0 1
0
1 0
0 0
……6 分
2．
A2
1 0
0 1
E
，则
A4
( A2 )2
E
，所以
……3 分
B 2008
2 A2
P1( A4 )502 P
2 A2
P1EP
2 A2
E
2 A2
3
0
0
3
……6 分
1 0 3 1 1 0 3 0
3．
A
1
,
2
4．当 取何值时，非齐次线性方程组
3xx11
x2 x3 2 4x2 2x3
2x1 3x2 x3 1
有无穷多解，并求出此时线性方程组的通解.
5．设
A
1 2
2
1
，求一个正交矩阵U
，使得U
1 AU
，其中
为对角矩阵.
6．设实二次型 f (x1, x2 , x3 ) x12 2x22 tx32 2x2 x3 为正定二次型，求常数 t .
1
1
7．设向量1 1 与2 1 正交，则 t
.
1
t
8．二次型 f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 x32 2x1x2 2x1x3 2x2 x3 的矩阵的秩是
.
三．计算题（6 分+6 分+10 分+8 分+7 分+5 分=42 分）
0 0 2
1．设
A,
B
为三阶矩阵，已知
（A）充分但非必要条件
（B）必要但非充分条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分也非必要条件
二．填空题（每空 3 分，共 38 24 分）
（D）4
1 101 1
1． 2 202 2
.
3 203 2
0 1 0
2．设
A
0
0
2
，则
A1
.
3 0 0
3．设 A 为 n 阶正交阵，且 A 0 ，则 A
R(
A)
（
）.
（A）1
（B）2
（C）3
7．在线性方程组 AX b 中，方程的个数小于未知量的个数，则有（
）.
（A） AX b 有无穷多解
（B） AX b 有惟一解
（C） AX 0 有非零解
（D） AX 0 只有零解
8． n 阶矩阵 A 有 n 个不同的特征值是 A 与对角矩阵相似的（ ）.
2 3
6
2 3 1 1 0 0 3 3
……10 分 ……4 分
线性方程组有无穷多解 R( A) R(B) 2 3 3 ，且
……6 分
1 0 10 5
B
(
Ab)
r
0
1
7
3
0 0 0 0
则线性方程组的通解为 X k 10, 7,1T (5, 3, 0)T , k 是任意常数.
.
4．设向量组1 1, 1, 2,2 2, k,5,3 1, 6,1 线性相关，则 k
.
1 1
5．设三元非齐次线性方程组
AX
b，
R( A)
2 ，且1
1
,2
1 是其两个不同的解，则该方程组的通解是
0
1
X
.
6．设三阶方阵 A 有特征值1, 2, 3 ，且 A 与 B 相似，则 B
.
1 1 2 , 2 2 3, 3 3 4 , 4 4 1
必线性相关； （3）由以上结论，请你归纳出相应的结论，并证明之.
浙江理工大学 2007~2008 学年第一学期
《线性代数 A》期末考试试题(A 卷)参考答案与评分标准
一．单项选择题
1．(D) 2．(B)
二．填空题
3．(D)
4．(C) 5．(A)
（D）若 A 可逆，则 A E
（C）乘以奇异矩阵 （D）乘以非奇异矩阵
5．若向量组1, 2 ,, m 线性相关，则向量组内（
）可由向量组其余向量线性表示.
（A）至少有一个向量 （C）至多有一个向量
（B）没有一个向量 （D）任何一个向量
1 2 3 4
6．设矩阵 A 11
2 10
4 1
5 2
，其秩
）.
(D) 1或 5
（A） E A A2 （B） E A A2
（C） E A A2
（D） E A A2
3．设 A 为 n 阶矩阵，且 A2 A ，则（ ）成立.
(A) A O 4．矩阵 A 在（
（A）转置
（B）若 A 不可逆，则 A O
）时，其秩改变. （B）初等变换
(C) A E
AB
2
A
B
，且
B
0 2
4 0
0 0
，求
A
E
.
2．设
A
0 1
1
0
，
B
P 1
AP
，求
B 2008
2
A2
.
1 0 3 1
3．设有向量组 1
1 2
,
2
3 1
,
3
0 7
,
4
2
2
，求该向量组的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量
4
2
14
0
用该极大线性无关组线性表示.
0
0
3
.
四．证明题（10 分） 向量组1 与向量组 1 1 有相同的线性相关性；给定向量组1,2 ，显然向量组 1 1 2 , 2 2 1 线性
相关；
（1）证明：向量组1,2 ,3 与向量组 1 1 2 , 2 2 3, 3 3 1 有相同的线性相关性；
（2）给定向量组1,2 ,3,4 ，说明向量组
……8 分
5． A 的特征多项式 A E ( 1)( 3) ，则 A 的特征值为
1 1, 2 3
……3 分
对应于
1
1 的单位特征向量是
1 2 1
；
2
……4 分
1
对应于 2
3 的单位特征向量是
2
1
2
……5 分
令正交矩阵U
1 2
1
2
1
2 1
，则U 1AU
1
浙江理工大学 2007~2008 学年第一学期《线性代数 A》期末考试试题(A 卷)
三
题号 一
二
四
总分
1
2
3
4
5
6
得分
签名
一、单项选择题(每小题 3 分,共 38 24 分)
1．若行列式 1 4
2 3
0,
则
(
).
(A) 1
(B) 5
(C) 1且 5
2．若 A 为 n 阶矩阵，且 A3 0 ，则矩阵 (E A)1 （
6．(B) 7．(C)
8．(A)
0 0 1 3
1．0
2．
1ห้องสมุดไป่ตู้
0
0
3．1
4．3
0 1 2 0
5． 1,1, 0T k(0, 0,1)T , k 为任意常数
6．6
7．-2
8．1
三．计算题
1．由 AB 2A B ，得
A E 2(B 2E)1
……3 分
0 0 2 1
0
0
1
2
0
0 1
2
,
3
,
4
1 2
3 1
0 7
2
r
0
1
1
0
，则
2 0 0 0 1
4 2 14 0 0 0 0 0
……4 分
R 1,2 ,3,4 3 ，
……6 分
1,2 ,4 为所求的一个极大线性无关组，且
……8 分
3 31 2
1 1 2 1 1 2
4．
B
(
Ab)
3
4
2
r
0
1