(同济大学第五版)工程数学线性代数课后答案(很全，最新版)习题解答L利用对角线法则计算卞列三阶行列式:解(1) JMS： = 2x( - 4)X3 + 0x(~l)x( - 1) -hix 1x8-ix(-4)x(-l)-2x(-])x8^oxix3 = -4；(2)原式=acb + bac + cba -一J ■沪~3abc - a" - b3—c3\(3)原式—+ 1' a*t a ~ - l*a*c a=be1 + + ab1—ba1—cb2—ac z=c2(b - a) ab(b - a) - c(b2- = (a - b)(b - c)(c - a)(4)原式*工+ y)y +歼(工+ $”(工+ 4刃_ (工+卅_八丈=-2(x J+ ^3).2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：(1) 1 2 S 4；(2) 4 1 3 2；(3) 3 4 2 I；(4) 2 4 1 3；(5) 1 3 - (2n - [) 2 4 …(6) 1 3 *** (2n -L) {In) (2n ~2)…2.解(1)此排列为自然排列•其逆序数为⑴(2)此排列的首位元素的逆序数为S第2位元素1的逆序数为1 ;第3位元察3的逆序数为1 :末位元素2的逆序数为2,故它的逆序数为0+ 1 +1 + 2 = 4；(3)此排列的前两位元素的逆序数均为0*第3位元素2的逆序数为2■末位元素1的逆序数为3,故它的逆序数为0 + 0 + 2 + 3 = 5;(4)类肌于上面，此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0.0t2, 1*故它的逆序数为0 + 0 + 2+1 = 3；(5)注意到这2卉个数的排列中，前N位元索之间没有逆序对•第討+ 1位元素2与它前面的玲-I个数构成逆序对”故它的逆序数为打- 1;同理，第n+2 倍元素4的逆序数为末位元累2«的逆序数为(L故此排列的逆序数为(« " 1) + (n * 2) + *" + 0 = y w (- 1);(6) 与(5)相仿*此排列的前n + 1位元素没有逆序对：第幵+ 2位元素 (2n - 2)的逆序数为2;第牯十3位元素2牯-4与它前面的2n - 3T 2H ~ l r 2n t 2n-2构成逆序对,故它的逆序为4；-»；末位元素2的逆序数为2(«-1),故此 排列的逆序数为2 + 4 + -+2(M -1) = H («-O ，3・写出四阶行列式中含有因子gm 的项.解 由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行和第4行的某两元累. 而它们又分别位于第2列和第4列，即a 绘和“别或。

脣和盘心注意到排列1324 与1342的逆序数分别为1与2,故此行列式中含有引心袒的项为-5222^3441 2 4 ■ 口 -4r 〕-7 2 --4105 2 0"10r,-15 2 — 200 1 1 7 ■:-，Q 1 141712 02|■12 0 2心1口 01 ■.* 1心 +\Sr 20 117Q — 15 2 一■20 !0 0 17 85o-7 2-4；0 0 9 4522 02 1 2 0 ah 1 ac ae bd ■ cdde bfcf-ef0 0b-1 0 -1 00 1d(1)a与◎ U 日為总羽a42 '4.计算下列各行列式:=0 (因第3.4行成比例)*4 6 362 5 1 5 1 0 2 I0 =0 (因有两行相同”abcdif 7 L 1 1 -1 11 1 -1^^abcdef -1 1■0 0 0 2o i +皿-1 bo -1o o1 卄tib a -1 c0 -112；▼ 1注adcd・■ ii I (1 + fl/?a 0按口KJF i'* 1 (_ [}(_ 1)'-1 c 144> ■0~ld ~Aabcdefi1 +a/j-1ad1 +cd=(1 + a6)(l + cd) + ad5.求解下列方程：■1=0i⑵'1=0,其中a,b t c互不相等”解⑴左式V沽6 + 3}门-(t +3)巾—巧/、-(x + 3)= (x + 3)=(』+ 3)&2 -3)*于是方程的解为：巧二-3,帀=再皿严■厲;(2)注意到方程左式为4阶范德蒙徳行列式，由例12的结果得(■fj a)(jc ~ —c)(a 6) (a —c) (A —= 0.因a.b.c互不相等，故方程的解为；业== =6.证明：= (a-6)(a-c)(a-d)(6^c)(6-J)(c-rf)(a +^ + c + ^);X 0 -10-1…0…<)(5) Q*«出Vn V|««•■•000…J.-1证^1心fj -卩…a2- b2ab-' b1 (1)左式二2( a ~ b)a —b=(a - />)3=右式;(2)将左式按第1列拆开得=a B x" + + *** + a, x + a fl.护r I(a - b)1 ab - b1 b22b u a " o1 0 01ab b22a a +b 2b—(a- b)3; I11OJ C 十by ay + bzaz ■+bxay + bz az + bx ax + byaz + bx ajc +by ay + bza1Q + 1F(a+ 2)' (tH (6 + 1)2J 心+ 1严d2 (衣 + 1 )*(6 + 2)2(c + 2)2Q + 2尸+ 3尸(6 + 3)2(r + 3)2(£ + 3)23'=(a1 + 戻〉ax ay + bz az + bx by ay + bz az + bx左式=ay az bx ax + by+bz+Z LT ax + by=aDj + bD2 + az ax + by ay + bz bjc ax + by ay + bz其中tryay十6zaz + bxax + by于是ay + bz az + frj"az bx ax + byax + by ay + bzay +bz az十bxax byaz +bxa.r 十byuy +bzz az + bxx aj： byy ayt bz(3)左式JC y zD = aD. + bD2={a^ + f/) y z x二右式* zT y2« +52b I 26+3 26 + 52c + 1 2c + 3 2 c +52d+ 1 24 + 3 2d+ 5J y其中：x = c 1(r + Ha)-(Ar)(£f + a)-£b (^i + ai'^d 1-<i/j) = c(<i + 6 +y = d 2{d a) ~ bd(b + a) = d(a d}(d - b). 1 1(□ + i 4- c) d(a + b + d)=(<-^)(4/ -+ b + d) - c(a + b + c)]=^i)[(£Z — c)(a + b) d 2 - c 2 ]—(c — b)(d b)(d e)(a + Z? + 二十討)*因此，左式—(i^a)(c — a)(^~r n)(r ,_i r >)(d -/i)(J — £：)(3 + ^ + ^+ ^)=右式.(5)证一 递推法•按第1列展开，以彈立建惟公式，=xD. + (-l)1" + ^a = zD - + a 0. 又*归纳基础为：D* = % (注癒不是于是D.*i =工D. + 叫=x ( H D 卄 | + a 1) + fl a= j 2D P(-i + aij + «[j= 十工+…十％龙十％=a （）+幼工十十…十"H 文"■证二按最后一行展开得2a + 1 26 + 1 2c + 1=0 ｛因有两列和同”<4)左式工n -叭ri - arib ac - a bib a) c(c* a)F (F ~ a 2)- J )1 b61 { A + a) r a (c + £1) d 3 (t/ +a)I 110 c ~ b d ~ b Ox jc bd — b甸MT ・{f FS )Fl, —6^ + a ) rg■- 二—'(b - a)(c - a )(</ _ a)=(b - a)(c - a)(d ~ a)d - a— a) 护(护- a 1)1X=(r - b)=2<-/-U=〉：口左=a0 + a t j： + djX14- ■" + a B_i^a~l + 弧工”、7.设n阶咅列式D = <ki（%）,把D上下翻转、或逆时针旋转9叭或依副对轴线翻转、依欧得D t= i: .Di= ；J ,Di= i : TS *■'* 5 «ii '** %i | 纵i (i)证明D严D? = （- 1）业」D，巧=D*证（1）先计算口•为此通过交换行将0变换成D.从而找出0与D 的关系.D｝的最后一行是D的第【行，把它依次与前面的行交换，直至换到第1 行，共诳行茁-1次交做卡这时最后一行是D的第2行，把它依次与旋面的行交换，直至挽到第2行，共进行冲-2次交换¥……，宜至最后一行是D的第卉-1 行，再通过一次交换将它换到第H —I行，这样就把D.变换成D,共进行p1（用-1）十（聲-2〉+ ・- + l-yn（H -1）次交换’故D严（-L）卜"八5.注r上述交换行列式的行（列）的方法，在解题时’经當用到.它的特点是在把盘垢一行换到某一行的同时*歸持其余卅-1个行之间原有的先后次序（但行的序号可能改变）”2*同理把D左右翻转所得行列式为（-1｝卜3小0.（2〉计算注意到D2的第1,2,行恰好嵌衣是D的第"比- 1列，故若把D2上下翻转得B2, M D a的第1,2,…』行依次是D的第1, 2严・小列，即D z = D r.于是由（1）D, = （- 1 ）卜山1>D3 = （- I ）T*i<_u D T= （ -1 ）卜D.（3）计算巧.注意到若把D3逆时针旋转如■得方.则D3的第1,乙…小列恰好是D的第歹叭于是再把D.左右翻转就得到D.由（1）之注及⑵'有6=（-1沪…审严口注本例的结论值得记取’即对行列式D作转置、依副对角蝮翻转、逹转18F所得行列式不变；柞上下翻转、左右翻转、逆（顺】时軒旋转所诣行列式为&卄算下列各行列式（D.^k阶行列式）：a1（1）a= * ，其中对角线上元絮都是s未写出的元素都是51 ◎⑵ D.二.. .;■A- ・■«■a a JC护(a- 1)* ■“ {a -cfT (a- l)>_]■■■ (o - n)*'⑶几产: - Jd口一 1 … a —n] 1 (1)提示：利用范德蒙縊行列式的结杲.■■■U| 仇，其中未写岀的元素都是山(5) D w=dett^),其中也=11 1 + a21 1 *** 1 + Qj,把D“按第一行展开得按第一列麗开解二由倒H)(2) 本题中D…是戟材例8中行列式的一般形式「它是一伞非常有用的行列式■在以后各章中育不少应用.(1)解一1).解利用各列的元索之和相同*提取公因式.=(i + (n - 1 )a ],(3) 解 把所给荷列式上下翻转’即为范德蒙德行列式，若再将它左右翻 转’由于上下翻转与左右翻转所用交换胆数相等，故行列式经上下翻转再左右鞫 转(相当于转昶(T,参看题7)其值不变•于是按范德蒙德行列式的结果，可得1(a - Ji)* (a - n + 1}" '(i) S 本題与例口相苗丫懈法也大致相同，用递推法.H-由屁)…a 右-扒“)-口(旳必-払血)”110 | r -_r|2w-3 w-1 -2 -1 -2 »i•L (血比另一肓面，归纳基础为D 2 ==5£ -们门”利用这些结果,递推得⑸騁12n - 1 n-2 v-3n — +n -2（6）解 将原行列式化为上三角形行列式•为此’从第2行起’各行均减去 第1行’得与例1.3棚仿的行列式1 +尙 1 (1)-叭 衍b 1…1 0伽:匕*:-1 T--i-fl l …耳.°…a.' 1 1其中"17 + 6，*餌（1十衆）于是D —31-129. ^D=[ 3"f ,D 的（f J ）元的代数余子式葩作A,求 20 1 — 1 1-5 3-3A+ 3A JJ ~2A M + 2A^ +解 与例巧相仿Mj 严3/1龙7人刃+2人”警于用13 -2’2暮换D 的第 3行对应元素所得行列式■即 -I 1 3 -17 0 3 0 -1 -1 3 -2 -5 3▼ 1-1 3 10. 用克拉默法则解下列方程组; j| + X J + X J + — 510,=1・xI + 2X 2 E^i + 4工^2;3x, + J ：2 + 2 J's + 1 L T 4 = 0;-7 -2 3 23 0 - 13r t ~2r}-12-3 -7—33 0 -31C - 3心-15 - 1 8 -15 -1 8 1 J 5 1 1 516 =1 2 —2 4 -a0 1 -7 32 ~3—2 -5 -2r0—5•—12-73 10 11r* ~3n0-2—15811 5+ 5rj01-7311—478=i B=--426 00'47 801—291400-29 143 3.5-270 32ri +3r a3-2 -423 0 -22口_ 2心-10-1 9-io-1g32=-142；-3-13-50 1 -2 3r3~2r0 一 5 -3 -7F-3r80 *2-11 1 8(J1II '5 14-2723按巾廉开23'33-1371=-284;4-5111-21400111 151I15 1 2-11 -2 -7 2 3-3n-2ri□厂*5-3 -12 12 0 Io 一 2-1-15由克拉默法则•得= 65i-114,于是 0 = 325 - 114 = 211；=-19 + 180=161i5 6 0 0|5 6 06 0 015 6 0按口展开1 5 6—1 5 60 15 60 1 50 1 50 0 15矿2®1 00 0 11-13 -55 -7-47-29-13-47-S-29fl ；(*由（・）式5 6 06 0 0 15 6—5 6 0 ]o 151 5 665-216= -151;0 6 5 10 0 6 5116 05 0 00 5 6+ 1 6 00 1 50 5 6= 142.6 1 5 0 1 00 1由克拉默法则’得151 一 6亠］616_109 _6_64万-— —— - ~?nt x 4--D - = m .11. 问芯声取何值时，齐欧线性方程组+帀 +^3=0, s j| + 严“ + x 3 =0, ，工［+2中’十工严0有非零解？［Ax| + X 2 + jj —0, ［工［+ Xj — 0*显然x, =l,j ：3 = t-A t ^3=- -1星它的一牛非零解;当A = l,原方程组成为J } + xj + jj *0,w Xj + 牛* + Xj - 0>十 2灼 Xy=Q tJL 然“产-U JTJ =0F Xi= 1是它的一个非零解一 因此，当站=0或A = 1时.方程组有非零解. 注 定理占（或定理亍）仅表明齐欧线性方程组聲有非零解，它的系数行列5 6 0 11 5 65 6 015 6 0 拽创6JF0 15十J 5 60 15 00 0 10 1 50 0 11= 5-114= -109?D t =-1 + 65 = 64.0 0 65由（• }式解 由定理5’.此时方程组的系数行列式必须为山故只宿当P =0^X = 1时•方程组才可能有非零解. •当戸三队原方程组磁为式必为零、至于这条件是否充分将在第三章中予以解决•目前还是应验证它有非 零解•下题也是同样情形.12问A 取何值时，齐次线性方程组f (1 ~ A I -2不2 + 4x3 = 0,■*2J ：I + (3-A)I 1+J :5 = 0,+X ： + (1 - A>Jt 3 =0有非零解？解 若方程组有非零解，由定理5S 它的系数行列式D = 0.13 - A -2故D = 0=>A = 0或人=2或A = 3t 并且不难验证;当人=0时’工产-2,Z 2 = l t j ：3 = 1；当；I = 2时严-2口产3*巧=1：当 人=3时口严-1,^=5,^ = 2均是该方程组的非零解*所以当A =0t 2F 3时 方程组有非零解.习题解答1.-A2^-1 C1+ f|1 - A A-3 +A 4-(1-A)1A **3 3A — I-A Il — 14 3 r7351 -2 32 =6 57 0J J> Il 49,解<1)=-A (a -2)(A - 3) +43 J7(1) 1-2 32； (2) (1,2J) 257 0.n丄2 (3) 1 (72)|3」4 0 —0 -^3+ A 4 —1 - A ) 1 - A 一 2 23-A 1 1I.计算下列乘积:ri 3 it14 0 -2J3⑵(1.2,3),^ 2 =(10)1K1 =10；412Xj + fluXjXi + a l2 + a 3I JT Z + a a ^-Ej ++白口工」工i 十a ］』』、a…x? + 血盟h ： + a jj + 2a (J j| x 2 +2a ()Jr, jr 3 + la^XiXt.0 15 242 22'-213 22-15 ]8 — 22-2 = -2 -17 2027.2 -22.,429因A T = A t 即A 为对称阵’故1 12. 设 A= 11 4 - 1求 3AB-2A R A T B.1 2 3 ,B =-1 -2 4.05 LAB =于是 3AB-2A =31-12 -23 4 = 0 05 -58 65 1..2 9 0. 5 8111 15 6 -2 11 -190J-1 L-2(-L2)|1(I = -1 -3 a ll xl+ aIE X 2 + a IJ J-1 1 00 2I'O 5 81A7B = AB= 0 -5 «2 9 Oj3. 已知两个线性变换求从JE|「九到JTj T Ij t的线性变换，解依欢将两个线性变换写忧矩阵JB式:2 0 1 -3 1 (T其中沖=-2 3 2t B =2 0 1分别为对应的系数矩阵；X =115 .0-13」X = AY=A(BZ)^(AB)Z^CZ ・这里矩阵即有Xi = 6z t+ + 3tj* jj = L2z(- 4矶 + 9?jL ij —- 10^| 一十."5； )"(： J 冋(1) 吗？(2) (A + B)l = 42 +2AB + B:n^?(3) (A + B)(A - B) = A2(3 )故心以(2) (>4 + B)J= {A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + i?-T 但由(1), AB^BA，故AB + BA 7^2 AB,从而(A+ B)2^4Z +2AB + B2；y =• 1>1Vl»Z =」•在这些记号下+从到me列的线性变换的矩2 0 11-3 1 0 f 13AE 土-2 3 2 2 0 1 =12 -4 9,415」0-13..-10 - 1 16阵形式为(3) (A + B)(A - B) = A z+ B4 - AB - 由(l)：ABH HA ,故HA -AB^O,从而（A + 0）（4 - - B1.乳举反例说明下列命題是错误的；（1）若A2=O f则4 = 0;（2）若= 则 A = 0 或4 = E;（3）若AX= AY,且A^O t则X= Y.解⑴取A = L J.有d = 0 •但心6⑵取盘叫罪有A1-A,但AHO且AHE*⑶s（：：片（；：）•…彳:帥皿小且市6但X^Y.6,设心=（；:卜求;)(:;卜的・(:\K :H畀)(：m)一般可禍事塞上•当A = 1时，（2.3）式显然成立;设当k = n时江2. 3）式成立，那么当k = n十1时,由归纳法，知£2二）武成立一A 1 07+设A= 0 A 1 .求A".0 0 A.解把A写成两个矩阵之和A 001 ()I 0A ==0A0+0 0 [==A£+B ( 0A0 DjQ i010 0 1其中三阶矩阵00 1 満足fi-=0 0 0t B^ = O(i>3).卫0 0 e o (2.3)(J Ml ：）于是A K =(AE + B)- = + C l X'1B + -■ + C：B n=O"E +C>"'B +A-C”10 厂十'0nAA1rt(n-l)]2冰lo 0r J.00 X1 .8,设A,强为卑阶矩阵，且A为对称阵，证明B T AB也是对称阵. 证根据矩阵乘积的转證规则•有= = 〈因A为对称阵）「故由定义，知fi T AB为对称阵-9•设都是甘阶对称阵•证明AB是对称阵的充要条杵是证因A T = 故AB为对称阵^{AJ8）T= 4B<=?B T A T=ABUEA = AB t10.求下列矩阵的逆阵：玄0^2…（叭如…％H0〉*Abi,0 a, ）1解（1）由二阶方阵的求逆公式（教材例10）得f1 2f =.1j 5 -2、j 5 7]\2 5) 1 2 \-2-2J2 51 2-1]⑶ 3 45 -4-sin \ _ i ( DOS 0cos 6 / ccs : & & \ — sin 0cos d sin 6 —sin 6 cos 0于是由定理1的推论倔A 可逆「且=（右右…』）•注 本题结论值得记貶，可当作公式用.11.解下列矩阵方程：0 I O'I 0 J1 -431 0 0 X 0 0 1—2 0 -I 、ooi.0 1 0.1 -2 01 2⑶因|A|= 34 5-44 -2Mn=. = -4-4 !「2 =2^a f 故A 可逆，并且 3 Mu- 5M 3I =,KA422 =A42J = 1 -1 =6F51| 12II=-1415 -4M JI = Mj! = 241 3 -1 I-2 =l是有恿义的，井且因AB =diag （a 1宀’…宀）由昭（+舟）= diag （l t l r-J ） =,（4 ）因我L 旳…庄” * ° i 故叫工0门=1 +sin 0 cos 0= ------ AMl=丄-4 2j -136 1-32 140113 ■»■ 2一 16 -Mn%」1 O'3 - Xn 2 1 7…小.于是矩阵B =解 H)因矩阵f J 的行列式=1,不均零+叙它可逆.从而用它的逆矩阵 左乘方程两边"得.T U 1)HJ DC DHo ①(2)记矩阵方程为故A 可逆，用A"右乘方程的两边褂X=PA只.1 / -663\ -2 21-8 15-2)_2 "■ ■ ----@|A|=6^0 JBI =2^0.故均可逆”依次用片“和卅"左乘和右乘方程两边得I 112 12\琳 3 0)= + 0I 1 4\ / 2 0\ 13 t B =,C = 1-J 2\ -1 1/ W(3)记"；),则矩阵方程可写为AXB=C.det A -L ： 1門于是-%0 (4)本题与｛3)相仿個矩阵11 01 (10 1J 1001］的行列式都是-1,故0 ■均是可逆阵■并且0 1 W■ 10】0 1 0 0 -1 1 0 011 0 0 — 1 0 0V0 0 1=0 0 1.0 0 L .0 0 1, 0 1 0. .0 1 0J1 0 X 11 ▼ 4 31 0 0* J故得K = 10 02 0- Ji° 0 1〔）0 1.J -2 oJ toi thL卩-431F 0 0=12 0 -1 c0 1出0 L 111-20i io 1 0；1卩 3 -41F -101 = 1 0 o 2-1 0 = i3 -4,0 01J 111 0 -2-11-2,12-利用逆矩阵醉下列线性方程组：+ 2JT 2 +3=hH - -玄 —(1) 2x ( + 2x r + 5JTJ =2,⑵［2文］* 斗 一 3工严 1 ・3x ( + 5x a + xj = 3;(3X )+ 2x 3 -5x )= 0-解将方程组写作距阵形式Ax = b t这里，A 为系数矩阵山二（4 口的心卩为未知数矩阵』为常数矩阵”12 3,，⑴因M2 2 2 5 =)5^0\故A 可逆*于是3 51I 2 3 -■ rrJT = A '1 fr = 2 25 23 5L工-23 13P fl 1'V1 1513 -8 1 2 1 ~15 041 -2.30 j即有X ］ = U 5X1 = 0*严厂°；1 ⑵因⑷二2 3-1 -1-1 -3 =3^0,故A 可逆，于是1 -1 -r -1 12 Jf si A 1 = 2-1 -3IJ2 -s.即有13.已知线性蛮换工I =2^, +2划 I- y }, w Ji = Sy 亠如+ 5伽， 列=3y +2^ + 3^.求从变量眄花到变量p ，加的线性变换一解 记工=（旳⑷申八厂® 宀心八则线性变换的矩阵影式为工二于是yi = -7T | -4^； + 9J 51 S y t =6x t + -7^3 i [yj = 3j| + 2X 3 "■ 4xj*14”侬A 为三阶距阵JAU 二求K2AL-5A ・I. 辭 因141=^0,故A 可逆.于是由"=|A f *八及（2A ），昇二 得 （24）_, -5A* =y4'!= -2A'\两端取行列武得\(2A)l -5A\ = |-2A'1l = ('2)J pr l =-16.注 先化简矩阵，再取行列式■往往使计算变得简单.0 3 3115•设1 1 0 t AB = A + 2B,求 R. T2 3jXi = 5, =0i jj =3.4卅碁中A 为它的系数距阵•因d 岂A = 2 2 I3 1 5 J2 3,是从变量£ .孔到变疑汕，旳的线性变换的矩阵形式为 y = A^x.-43 2又 A*1 = - 1-7 6 3「丁=1工0,故A 冕可逆阵，于解 由 AB = A +2B=*(A ~2E)B = A.-23 3 因A~2E=1 - 1 0 ,它的行列式der (A -2E)=2^0,故它是可逆阵.L - 12 L用⑺-2E)J 左乘上式闯边得解 由方程^B + E = A 3 + B.合并含有未卿矩阵B 的项，得<4-£)« = 42-£=(4-£)(4+£),0 0 1]又t A-E= «1 0 ,其行列式det(A - - 1^0,故A-E 可逆，用I 0 0」(A-E)'1左乘上式两边■即得2 0 1B = A + E= 0 3 01 0 2」17.设 A = diag(l 1-2J)M*BA=2BA - 8£,求 E.解 由于所给矩阵方程中含有A 及其伴随阵，因此仍从公式AA^ = lAlE^手.为此•用A 左乘所给方程两边，得^AA ' SA ^2ABA -SA ,又，也1 = -2HQ,故A 是可逆拒阵，用A 右乘上式两边+得|4|B = 24B-8E=><2A + 2E)J3 = 8E=>(A + E)B=4£.注意到 A + £ = diAg (U -2J) +di ag (klj)=diag(2t - 1.2)是可逆矩阵，且(A 十 JE ) z = diag (寺，j —寺)"于是B = 4(A + E)'1 =diae (2, -4,2),is.已知矩阵A 的祥随阵"=dm ft (iaa.8)t 且助" + 3E,求 B,解 先由A*来确定丨4|.由题意知存在■有A* = \ A \ A~* \A' | = |Ar|A-'| = |A|\BSU' t=8T tt|A|| =2.再化简所给矩阵方程ABA'l =BA^ +3E =>(A - E)BA''=3E-2 3 3B = (A -2E)-l A = 1 -1 0! -1 2 1[-1 3 30 3 3 _ 1' 113JI [}1 1 - 1」.-1 2 30 3 3 1 1 0 .-1 23.1 .2 1 0 】6.设A- 0 2 J 010 "目AH + E = A ，+叭求臥6 61 f 04 6 2 Oj2 3 1 O J- E)B^3A =>(E-=由 |Al=2t ft A-'-yJjA' =ydiag(l,ia,8)=diag|y,y.y t 4)tK A 丄=Tiog (壬*寺、乡* …3 )， (E-A-1)-' 二山昭(2,2,2,-£).B V 「)，3血申,22-寺)"叔£石6- 6 -1 -41 1本甌与教材例13相仿■因P ,AP=A,故A =PAP"\ A 11 =PA n P=(■: y 1$ 9?(J 4)=A S (5E -6A + A 2)^111解 因"2 10 -2 = -6^0,故P 是可逆阵.于是尸由AP^ PA.1 -1 1 .^A = PAP'\井且记多项式列工)=卅(5-壮十d),有p(A) = JV (A>P _l .因A 是三阶对角阵’故巒(A ) = diag(卩(-L)會(1).p(5)) ™di<g(12*0»0)»121 1 1 =4111.J I 1.注，由于臥人)除(l J)元外均是队故在求P*时、只需计算P 的仃J)元壮2,1) 元.(3J)于是解于是19.设 P {AP = A t 其中 P = c: ■:)(■;亂;一:)1 i 1 +2bJ 4 + 2H \ /2 731 2 732-1 -4-2"J _ I -683 -68420. 设AP = PA,其中11:11-11 0 -2 L A = 11 -11. •于是-2A H*A 21 * * 「2 M (4-)A ； * 「2元的代数余子式A lt.A21和21-设A^O(k为正豔数)，证E-A可逆，井且其逆矩阵(E-4)-' =E + A + A1+ …十A_」，*证由(E —AjtF+A + 41++** +'4*-1) —E + 4 + ■■■ + 4*~1一A —越‘ ■…一=E- O = E t由定豐2之推论知E-A可逆，且其逆矩阵〈E —= E +A4■…+住判断矩阵B是否为A胸逆矩阵「罐直接、最简单的方法就是验证AB , ^ B .F - . , - ■^ • T ■(或者BA)是否等于单位矩阵，就像判断3是否为+的逆只需验证£ X3是否等于1 一样，下一题及例2.1都是这一思想的应用.22.设方阵A漓足A1-A-2E^=O ・(2.4)证明A及A+2E都可逆"井求A"及(A+2E)^\解先证盘可逆.由(2*4)式得A(A- E)= 2E；, . J 徂就是- E)j=E.由定理2之推论知片是可逆的，且A^ = ^(A-E)i再证A +2E可逆.用例2.1的解法，由(A +2E)(A -3£) = A2 - A - 6E = 2£-6£= -4E,即(A+2更)[#(3E …A) 爲.同理MA^2E可逆,K(A + 2E)^ = l(3JE-4).23,设矩阵A可逆，证明其仲随阵A •也可逆*且(4' = .证AA =\A\E及|AlH(L由定理2的推论知加可逆，且(A)' =7T7tI A I另一方面’因A*](^-'}* = I A'J|E ・用A左乘此式两边得比较上面两个式子’即知结论成立.24.设N阶矩阵A的伴随阵为/T，证明:⑴若Ml二0侧K丨=0；(2)|AJ = |A|*'\证(1}因26. =G:)•沁;卜赵-:)-=(原式二 Au Bn +设"34 0 .0若记"-2 30 -3Ko：原式二A 「:「23 \0 -3) 5 2 -4 0-3 0 0 0 0 22O A 1A 11 ® 11 +®22J)(z-42 -43 -9 2 -4 3-9J■求U 及冒.+则A 咸为一A* A = \A\E tSlAl "时，上式成为A* A = O.要证|A“ I 工山用反证法：设由矩阵可逆的充要条件知，是可 逆矩阵，用(A*)_,左乘上式導号两边•得A^O.于是推得A 的所有旳-1阶子 式，亦即A •的所有元累均为零.这导致/T 此与A •为可逆矩阵矛盾，这 一矛盾说明^141=0时訂於丨=0.(2)分两种情形： 情形li|4|=0.由⑴訂刖结论成立*情形2:|AM0.在(2. 5)式的两边取行列式，得|A*llAI = IA*AHllAl£J = l4lV与教材碉15相同，本题练号分块矩阵乘法■记1 2 1 °卩3 1 0 1 0°L2 -10 2 « 0-23 咼 C 0 30 0 -3J 计算(2.5)于是注 |A*I = W 本题(2)的结果值得记取.-2 0亍分块对角矩阵于是I J 4*I = |A|* = (|A| I Ijijl)"* |A| 1*1 IO 11189乔（:£卜诡点小畑—2（；：）,故心（：看习题6） •代人即得5J Q 0 0 '—0 亍0 0 0 0 24 0 00 24 2*J27.设tt 阶矩阵A 与*阶矩阵M 都可逆，求由分块矩阵乘法规则,(2.6)为此，根据原矩阵的分块悄况■对X 作一样的分块,其中X n ,X （3T X 2（.氐立是未知矩阵（为明矶起见，它们依次是« X X矩阵｝.把上式代人（2飞）武得到 比较上式两端两个矩阵，有必=&口儿=八AX n = O=>X tl = O ；CX i2 + BX 12 ■ E t BX 21 斗 E (=>X 22 - B _l ；CX (I 十 BX a] = O=>BX 21 = - CX tl 二宀 CA'1 =^X 2i = - CA 于是得；）（可齧⑵求（:的逆阵•就是求” + $阶方阵JC 使解U ）因A 和B 均可逆，件分块阵& O \ - O\i^n o Ej \C E 八 X 丹2,|C| = 12,fe B*C 均是可逆阵.由27^(2)的结论，得B D习题解答L 用初等行变换把下列矩阵化为行敖简彩矩阵:1 02 "10 2-3 I 1(1) 2 0 31 « *⑵ 0 3-43 *.3 0 4 3j,0 4-7 - lj1 —1 34 32 3 1 — 33 -3 5-4L1 2 0 -2 -4⑶A f⑷2-2 3 - 23 -2 8 3 0 3一3 4 * 2 -L2 -37 4310 2 …11 Fj -Al 1 02 - I解(1)2 03 1 一J- —0 0 -1 33 04 3. 心0 0~25 2 0 010 0 0 2 10 012 0 0( ⑵0 0 8 3 2 13 0^0 0 5 2-1 2 1 4J求下列矩阵的逆阵: 0(1)将 分块为A 二A 5 2\ , /L 2 l)，Ai=(5lA.I-LlAj-l.故它们均可逆+于是由分块对角矩阵的性质，有1-20 0A ；' O⑵记A，因0 0(D c)***" = (! 2)'C=(10 0 2 -50 0-3 " 8-_ 12 - 1 2 .D--^\B\ =B 1 O-C 1 Cr2x (-l ) P 02 0 -2|1 02 0 -2■' J r1 -1 -1 -1 n+rj 0 I -1 03 內+B 皓0 0 1 4 nF0 0 01 4 r* +7 J140 0c-1 -2 -32 3 2 071 2 3 4 10 (T r l "2r i 1 2 3 4 1 0 0 解(A,E) =2 3 4 5 0 I 0乌-5r (0 -1-2 -3 -2 1 03 4 3 2 0 0.0 —6-12-18-5 0 1」5 •求一个可逆阵P,便PA 为行堆简形.2」K 0 2-3(2) 0 3-4 0 4-71 一］ 3 ⑶1 3 -3 5 2-2 3374广i~2r t Io3]-310L010fl10-I1] ro 2 X2? ° 2 J |o or a x ( - U-3-20巾6 * r t --31OJ -33121 -3,5 3 ; 02 0 -2 _4】 *1 11 L -8 8 9 12 -7 78 1E 12 3 £ 设 A~ 2 3 45 4 3 -4 4 -2 -20 0 0721 0 -1-2 ft p=2 -1 0 •井且A 的行最简形为=0 13• 7 -6 ij0 0u左设A =；L (1)求一个可逆阵巴使PA 为行量简形'(2)求一个可逆阵C.ffi QA 7为行最简形.-52 1 0 01 0 12 0*⑵(A\E) =3 -1010 ri *2" 3-1 0 1 C,1 10 0 1」J10 0 1.4.试利用矩阵的初導变换，求下列方阵的逆阵:解记所给的矩阵为A.10 0-110 -10 1.(1) 3 3 .3 2 1 1 5 *2 3] 「2L 00 2 -3 20 0r a -r(-2) n-9nrx * 4n72 1■ ” r y2 -i9 1T2 12\⑴人斫「；4 ；O ' ]门 + 3r (1 0 4 1' ------\2 -1 1 0r t x( -1)lo4 1 3\7 2 5/于是P 二(U为A 的行摄简形;于是Q =n巧 10 1 2 0 r? *( - 1) 1 0 1 2 00 -1 -3-5 0 -— ■ 0 1 3 5 0 o ~ n ,0 1 1 - 2 1 J乃■ ri 0 0 -4 -71 2 0 j 013 「4-7 1J1为山丫的押最简形.0 0 5 0，并且“丁二 3 210 0 1J r,^n to 0 22-I丄因由定理1之推论”知A可逆，且(3 -2-2-2I T J01J()302=322-20010]10 0 0 17 10 0 010 10 0-1 -2 -3-2 001010001510-30—10!0 -2000!2'10 0 01110—3 -41010-2-0 0 - 1 10-10 1 ID 0 1-1046 _2 06910-3 -4 2 1 一6-10-因由定理1之推论，知A 可逆，并且解 ⑴与教材例3相仿*若A 是可逆矩阵，则可求得矩阵方程的解为X =A'\B t 而判断A 是否可逆和求解可適过（A,E ）的行最简形一起解决：即若IA-EM A 可逆，并且初等行变换把A 变为E 的同时、把B 变为A"'B-10 2 于是A 可逆，且-15 -3‘ 12 4.（2）可以仿照教材中的方迭，用初等列变换求BA \但通常习惯用初導行 窘换求X.因X4^B=>A T X T =B T =>X T = （A T ）Jj B T r 与题仃）相同，可用初等行变换 先求得从而得K.计算如下：2 2 -1 -3 3 1 2 2' -3 n**rj I 0 3 -7 -411 3 -4 1 -5J 3 -4 31 rj ~2r t .02 -3 1 2.⑵设“1 1 -1-2 0 3 -6 6 -1641-211-32 2 1 ,B = 22 .3 1 1」,3 _10 2 -313 _4. t B = \24 1 -2 I "3 2 2 1 2 2.3 1 -1 3 -ljj 0 -1-2 1・・0 2 3 6 G _3rj.0 1 2 9I 0 * 1 -2 -2a 2 2L 2 23 1 -1 3 一5. (I)设 A 二 ，求* 使 A¥ = B; 2-1 7 -1 01 -I P A¥ = 2X +X-0 1 "AX = 2X + A^(A -2E)X=A.欲解此方程，需要(i)判断A~2E 为可逆矩阵;(ii)进一步求X = (A-2E)^l A.这两件事可由(A -2EM )的行最简形一起解决.-1-1 0 1 -1 0 F| x{- 1}1 1 0-1 1 O' (A -2E t A) = 0 -1 -1 0 1 -1 H - r 3 +— 0 1 1 0 -1 1-1 0 -I -1 0 1. K 7 .0 1 -1 -2 I L4 0 T ■ 1 2 -1 ■R(-2) 1 0 0 0 1 -— 1 C - r 2 0 1 1 0 -1 1 -- rj卜 0 1 0 -1 01 心-r t 0 0 -2 -2 2 Q J rj ▼ r, ,0 0 r 1 -I0.上述结果表明A-2E-E t 故A -2E 可逆，且[0 1 -11 I' ,X=(A -2£)~'A =10 1..1-1 》7+衽秩是r 的矩阵中，有没有等于。