变号的次数为特征根在s右半平面的个数!
12
劳斯表出现零行
设系统特征方程为： ① 有大小相等符号相反的
机 解：列劳斯表 S3
1
517
0
械
S2
41.5 1670(1 K ) 0
控
S1
41.5 ´517 1670(1 K ) 0
41.5
制 S0
1670(1 K )
由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的
理 系数必须全为正值。可得：
论
517 40.2(1 K ) 0
1670 (1
K)
0
则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。这
制 种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并 以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯
理 表的排列。这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助 论 方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。
设系统特征方程为： 劳斯表介绍
机
综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种形式，线
械 性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负
控 的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
制
由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充 要条件也可表述为：系统的极点均在s平面的左半平面。
理
系统特征方程：1+G(s)H(s)=0，其解即为特征根
控 撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态或者趋于一个给定
制 的新的平衡状态，则称该系统是稳定的。
理 由此可知：线性系统的稳定性取决于系统的固有特性（结 论 构、参数），与系统的输入信号无关。
第六章 系统的稳定性
2、判别系统稳定性的基本准则
对于一般的反馈系统，系统的传递函数为：
机
(s) Xo (s) G(s) Xi (s) 1 G(s)H(s)
\1 < K <11.9
第六章 系统的稳定性
※ 劳斯判据特殊情况
1. 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或
机 没有余项，这种情况的出现使劳斯表无法继续往下排列。解决的办法
是以一个很小的正数 e 来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完
械 成劳斯表的排列。 控 2.劳斯表中出现全零行
第六章 系统的稳定性
6-1 稳定性
机
6-2 劳斯-胡尔维茨稳定性判据
械
控
6-3 奈奎斯特稳定判据
制
理
6-4 系统的相对稳定性
论
6-5 根轨迹法
第六章 系统的稳定性
6-1 稳定性
1、稳定性的概念
机
械
稳定性：设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬 间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动
论 当有一个特征根在坐标原点时，X0(t)→常数，系统达到新的平衡状态， 仍属稳定。
第六章 系统的稳定性
一般情况下，确定系统稳定性的方法有：
机 1 直接计算或间接得知系统特征方程式的根。
2 确定特征方程的根具有负实部的系统参数的区域。
械
控 应用第一种类型的两种方法是：
制
(1)直接对系统特征方程求解；(2)根轨迹法 应用第二种类型的两种方法是：
械 设输入信号为单位脉冲信号，则有：
控 制
Xo
ห้องสมุดไป่ตู้
(s)
1
G(s) G(s)H(s)
G(s) (s s1)(s s2 )L
(s sn )
理
c1 c2 L cn
n
ci
s s1 s s2
s sn i1 s si
论
n
xo (t) ciesit
<1>
i1
第六章 系统的稳定性
从<1>式可看出，要想系统稳定，只有当系统的特征根s， 全部具有负实部。
s0 7ε
5 分母总是上一行第一个元素
6 一行可同乘以或同除以某正数
7 第一列出现零元素时，
ε 用正无穷小量 代替。 11
劳斯判据
系统稳定的必要条件: 特征方程各项系数
均大于零!
有正有负一定不稳定! 缺项一定不稳定!
-s2-5s-6=0稳定吗？
系统稳定的充分条件:
劳斯表第一列元素不变号!
若变号系统不稳定!
a1a2
a0a3 a1
, b2
a1a4
a0a5 a1
, b3
a1a6
a0a7 a1
sn3 c1 c2 c3 L M
c1
b1a3 a1b2 b1
, c2
b1a5 a1b3 b1
, c3
b1a7 a1b4 b1
…
s2 d1 d2 d3
s1 e1 e2 s0 f1
f1
e1d2
e1
d1e2
3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a0、a1、
理 (1)劳斯-胡尔维茨判据;
(2)奈氏判据
论
第六章 系统的稳定性
6-2 劳斯-胡尔维茨稳定性判据
1、劳斯判据
代数判据
机 当系统特征方程阶次越高，利用胡氏判据时，行列式计
械
算工作量越大，所以高阶时，可用劳斯判据判别系统的 稳定性。
控 劳斯判据步骤如下：
制 1）列出系统特征方程：
理
a0S n a1S n1 a2S n2 an1S an 0 a0 0
检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。
论 可见，ai>0 (i=0,1,2,…,n)，是满足系统稳定的必要条件。
2）按系统的特征方程式列写劳斯表
第六章 系统的稳定性
机 械 控 制 理 论
sn a0 a2 a4 a6 L 表中
s n 1 sn2
a1 b1
a3 b2
a5 b3
a7 L b4 L
b1
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0
s6 1 3 5 7
劳
s5 2 s4 1
4 2
6 77
((61-1(064－)-/614=))//-228==1 2 劳斯表特点
斯 s3 ε0 --88
1 右移一位降两阶
表
ε s2 2ε+8 7ε
s1 -8(2 +8) -7ε2
2 劳斯行列第一列不动 3 次对角线减主对角线 4 每两行个数相等
b1、c1、……的符号相同，则表示系统具有正实部特征根的个数等
于零，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等
于系统具有的正实部特征根的个数。
第六章 系统的稳定性
例 已知一调速系统的特征方程式为
S3 41.5S2 517S 2.3104 0
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
机
械
解：列劳斯表
S3
1
517
0
控
S2
41.5 2.3×104 0
S1
38.5
制
S0
2.3×104
理 由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中
有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。
论
第六章 系统的稳定性
例 已知某调速系统的特征方程式为
S3 41.58S 2 517S 1670(1 K ) 0
求该系统稳定的K值范围。