沈阳航空航天大学振动力学课程设计任务书课程设计的内容及要求：（一）基本要求１、学会查阅资料和使用相关设计手册；２、学习运用Matlab等数学软件；３、熟练掌握梁结构弯曲自由振动的分析过程；４、按照课程设计相关规定编写设计说明书。

（二）课设内容(1)设定均匀梁的具体参数（长度；单位体积的质量；抗弯刚度，弹簧刚度）；(2)根据给定的参数运用数学物理方法建立一端固定一端弹簧支承均匀梁的弯曲振动运动微分方程；(3)然后根据振动运动微分方程，通过边界条件求解梁的固有频率和振型；(4)分析弹簧刚度对梁的固有频率和振型的影响；(5)最后写出本次课程设计的总结。

（三）主要参考书（1）、金基铎，王克明，机械振动基础 [M]，沈阳：沈阳航空工业学院，2001年2月；（2）、方同，薛璞，振动理论及应用 [M]，西安：西北工业大学出版社，1998年5月；（3）、蒲俊，Matlab工程数学解题指导 [M]，上海：浦东电子出版社，2001年7月；（4）、罗建军，杨琦，MATLAB教程 [M]，北京：电子工业出版社，2005年7月（四）评语（五）成绩负责教师学生签名振动力学课程设计说明书一端固定一端弹簧支承的均匀梁的弯曲振动特性沈阳航空航天大学2011年1月沈阳航空航天大学课程设计说明书摘要摘要目前，振动分析已成为工程设计与研究中必不可少的环节。

本文采用了理论分析的方法，对一端固定一端弹簧支承均匀梁的振动特性进行研究，求出它的固有频率和主振型，并计算受迫响应，在理论和实用上都具有重要意义。

在本文中，只讨论梁的弯曲振动，讨论了一些参数对梁固有频率和主振型的影响。

关键词一端固定一端弹簧支承均匀梁弯曲自由振动主振型固有频率沈阳航空航天大学课程设计说明书目录目录第1章引言……………………………………………………………………………l第2章固有特性的理论分析 (2)2.1 均匀梁参数设定 (2)2.2 均匀梁的弯曲自由振动的微分方程及解 (2)2.3 赋值求解 (6)2.4 振型函数的正交性 (11)2.5 梁对初始干扰的响应 (13)第3章分析参数对系统的影响 (15)第4章结论 (18)参考文献 (19)沈阳航空航天大学课程设计说明书第1章引言第1章引言机械振动是工程中普遍存在的一种机械运动现象，它不仅影响结构的性能，缩短结构的寿命，甚至会造成重大的事故。

随着现代工程朝着高速、重载、精密、超大型（超小型）方向发展，对机械结构动态性能的要求也越来越高，所提出的振动问题也越来越复杂和多样化，振动分析已成为工程设计与研究中必不可少的环节。

工程中的许多振动问题背景非常复杂，对其进行理论分析是必不可少的，但是随着结构的自由度的增加，计算量也会迅速增大，而且工程上又不总是需要求出振动系统所有各阶的固有特性，再加上在有的情况下，我们并不能求得振动系统的固有特性的精确解答，而只能采用近似的方法去求解。

所以在实际工程中采用近似计算的解法是很重要的，其意义也是很重大的。

本文主要对悬臂梁的弯曲自由振动进行了研究。

梁是工程中普遍存在的结构。

严格地说，它是由质量和刚度连续分布的弹性体组成，其运动需要用无限多个坐标来描述，因而，它实际上是个无限多个自由度系统，其运动方程将是偏微分方程。

为了使问题简单化，我们常常将其离散为有限个自由度的系统来计算，但是在某些情况下，工程设计上要求将结构按弹性体作振动分析，不允许进行离散化处理。

所以，按弹性体理论对梁进行分析在工程设计中也是有很大意义的。

第2章固有频率的理论分析2.1 均匀梁参数设定抗弯刚度设有一端固定，一端以弹簧支承的均匀梁，长度为L，单位体积的质量为为EJ，弹簧刚度为K，如图所示：EJk图2.1 均匀梁系统示意图2.2．均匀梁的弯曲自由振动的微分方程及解均匀梁弯曲自由振动的运动微分方程(a)(b)图2.2对微单元受力分析在梁上距左端为x 处取微段dx ，其受力情况如图2.2(b)所示。

根据达朗伯原理有： 0Q -Q -Q 22=∂∂-∂∂tyAdx dx x ρ 02Q M -M M 22=⋅∂∂-∂∂--∂∂+dx ty Adx dxdx x Q dx dx x ρ （2.1） 略去dx 的二次项，简化后得：022=∂∂+∂∂x Qty A ρ xM∂∂=Q （2.2） 将（2.2）式代入（2.1）式中，得：0M2222=∂∂+∂∂x t y A ρ （2.3）由材料力学知：22yEJ M x∂∂=将上式代入（2.3）式，得：0yEJ 4422=∂∂+∂∂xt y A ρ或0y 44222=∂∂+∂∂xa t y （2.4） 其中，A EJ a ρ/2=。

（2.4）式就是梁做弯曲振动的运动微分方程。

下面用分离变量法来求解。

设其解为：)()(),(y t T x Y t x = （2.5） 将（2.5）式对t 取二次偏导数，对x 区四次偏导数，然后代入（2.4）式中，得：44222)()()(T(t)1dx x Y d x Y a dt t T d ⋅-=⋅ （2.6）（2.6）式两边应等于同一个负常数，设其为-2ω，则得：0)(T )(222=+x dt t T d ω （2.7） 0)()(2244=-x Y adx x Y d ω （2.8） 由（2.7）式得梁弯曲自由振动的规律为：t B t A t ωωcos sin )(T += （2.9） 令224a ωβ-=则（2.8）式可改写为：0)()(444=-x Y dxx Y d β （2.10） 按n 阶常系数齐次微分方程的解法，设其解为：rx e x Y =)( 代入（2.10）式中，得特征方程为:0r 44=-β （2.11） 特征方程的四个根为：β±=2,1r βi r ±=4,3 于是（2.10）式的解为：x i x i x x e D e D e D e D x Y ββββ--+++=4321)( （2.12）因为：x sh x ch e x βββ±=±x i x e x i βββsin cos ±=±所以（2.12）可写成如下的常用形式：x ch C x sh C x C x C x Y ββββ4321cos sin )(+++= （2.13） 其中4321C C C C 、、、是待定常数将（2.9）式和（2.13）式代回（2.5）式，得偏微分方程（2.4）的解为：)cos sin )(cos sin (),(4321t B t A x ch C x sh C x C x C t x y ωωββββ++++= （2.14）其中ω、、、、、、B A C C C C 4321都是待定常数，由边界条件和初始条件决定。

一端固定的边界条件.梁的挠度和转角等于零()00==x x Y ， ()00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x dx x dY ()022=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=l x dx x Y d ，()()l x l x x KY dx x Y d EJ ===⎥⎦⎤⎢⎣⎡33将上述边界条件代入（2.13）式及其对x 的一、二、三阶导数中得：()()()xsh C x ch C x C x C x Y x ch C x sh C x C x C x Y xsh C x ch C x C x C x Y ββββββββββββββββββββββββ34333231242322214321sin cos cos sin sin cos +++-='''++--=''++-='()得由00=Y ： 042=+C C 即 24C C -=()得00='Y ： 031=+C C 即 13C C -= ()得0=''l Y ：()()0cos sin 0cos sin 4324232221=+++=++--C l ch l C l sh l l ch C l sh C l C l C ββββββββββββ即：()()l ch C l sh C l C l C EJ Kl sh C l ch C l C l C l Y ββββββββββββ434334333433cos sin sin cos ++--=++-='''令EJKh =，则有：0)](cos )sin [()](sin )cos [(334333=-+-+-++l ch l h l l sh C l sh l h l ch l C ββββββββββββ要使43C C 、具有非零解，必须有：0cos sin sin cos cos sin 3333=-+--++++lhch l h l l sh l hsh l h l ch l lch l lsh l ββββββββββββββββ将此行列式展开并整理，得： ()l lch l lsh EJ Kl lch βββββββsin cos 1cos 3--=+ （2.15） 这就是梁的频率方程2.3 赋值求解令K=4000Nm,E=210Gpa,l=1m,J=64/3×10^-84m ,梁的横截面边长a=4cm ，337.910/kg m ρ=⨯。

则频率方程就可以转化为：()l lch l lsh l lch βββββββsin cos 5651cos 3--=+ （2.16）图2.3.方程（2.16）的求解示意图 再以l β为横坐标，作]156)sin (cos 5[3l ch lch l lch l lsh βββββββ+--和l βcos 曲线，如图所示。

两曲线的各交点的横坐标就是频率方程的特征根。

从图可以清楚的看出各特征根的分布规律和粗略值。

再用数值法求出满足一定要求的各特征值，前几个l i β值：l 1β l 2β l 3β 1.89504.88508.1400l β由224/a ωβ=，可以求得各固有频率为： AEJi i ρβω2=（i=1、2、3…）； （2.17）其振型图如下：)]cos()[cosh()sin()sinh()(111111x x a x x x Y ββββ---=图2.4.第一阶振型图)]cos()[cosh()sin()sinh()(222222x x a x x x Y ββββ---=图2.5.第二阶振型图图2.6.第三阶振型图 求解固有频率： AEJi i ρβω2=（i=1、2、3…） 根据已知条件可得：46.394453.5926.6626.6658.142053.5986.2386.2371.21353.5959.359.3232221=⨯===⨯===⨯==A EJlA EJl A EJl ρωρωρω 画出前三阶振型的程序： x=0.01:pi/100:1;y=-cos(1.895*x)+cosh(1.895*x)+0.7342*(sin(1.895*x)-sinh(1.895*x));*x)-sinh(2.2091*x)); plot(x,y) grid on ylim([0 5])x=0.01:pi/100:1;y=(-cos(4.8850*x)+cosh(4.885*x))+1.02*(sin(4.89*x)-sinh(4.89*x)); plot(x,y) grid on ylim([-5 5]) x=0.01:pi/100:1;y=(-cos(8.14*x)+cosh(8.14*x))+(sin(8.14*x)-sinh(8.14*x)); plot(x,y) grid on ylim([-5 5]) x=0.01:pi/100:1;y=(-cos(8.14*x)+cosh(8.14*x))+(sin(8.14*x)-sinh(8.14*x)); plot(x,y) grid on ylim([-5 5])2.4 振型函数的正交性讨论多自由度系统的振动时，我们曾证明过系统的主振型是正交的。