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(2)方法:设Sn=a1b1+a2b2+…+anbn①, 则qSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1②, ①-②得:(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+…+bn)-anbn+1,就转化为根据公 式可求的和.
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4.其他求和方法
名称 分解法
分组法
倒序 相加法
含义 分解为基本数列 求和 分为若干组整体 求和
{
Sn n
}
数列的前10项的和为( )
A.120
B.100
C.75
D.70
【解析】选C.因为等差数列{an}的通项公式为an=2n+1,
所以Sn=
n a1 an =n(n+2),所以 S n
2
n
=n+2.
故 S1 S2 S10
12
10
=3+4+5+…+12= 10 3 12 =75.
2
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2.数列{an}的前n项和为Sn，若
an
n
1，
n 1
则S5等于(
)
A .1 B .5 C .1 D .1
6
6
3 0
【解析】选B.因为an=
1
nn1
1 1 , n n1
所以S5=a1+a2+…+a5
1111 15. 223 6 6
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3.等差数列{an}的通项公式为an=2n+1,其前n项的和为Sn,则
4.数列 11 2 ， 31 4 ， 51 8 ， 71 1 6 ， ， 2 n 1 2 1 n， 的前n项和Sn的值等于
()
A.n2 121n
B.2n2 n121n
C.n2 121n1
D.n2 n121n
【解析】选A.该数列的通项公式为an=(2n-1)+
1 2n
,
则Sn=[1+3+5+…+(2n-1)]+ (1 22 1 2 2 1 n)n212 1 n.
其中正确的是( )
A.①②③
B.②③④⑤
C.①②③⑤
D.①④⑤
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【解析】选C.①正确.根据等差数列求和公式以及运算的合理 性可知. ②正确.根据等比数列的求和公式可知. ③正确.直接验证可知正确. ④错误.需要分a=0,a=1,以及a≠0且a≠1三种情况求和. ⑤正确.根据周期性可得.
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1 ,则a1a2+a2a3+…+anan+1等于( )
4
A.16(1-4-n)
B.16(1-2-n)
C. 3 2 (1-4-n)
3
D. 3 2 (1-2-n)
3
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(2)(2013·重庆高考)设数列{an}满足:a1=1,an+1=3an,n∈N*. ①求{an}的通项公式及前n项和Sn; ②已知{bn}是等差数列,Tn为其前n项和,且b1=a2,b3=a1+a2+a3,求 T20.
所以an=2×2n-1=2n,所以
1 an2
(1 )n, 4
即数列 { 1 } 是首项为 1 ,公比为 1 的等比数列,
a n2
4
4
所以
1 a12
a122
a1n2 14(11141n)13(141n).
4
答案:2
1 3
(1
1 4n
)
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考点1 公式法求和
【典例1】(1)(2014·舟山模拟)已知{an}是等比数列,a2=2,a5=
n a1 an
2
较为合理;
②如果数列{an}为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和Sn=
a 1 a n1 ; 1 q
③当n≥2时, n2111 2(n11n11);
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④求Sn=a+2a2+3a3+…+nan之和时只要把上式等号两边同时乘以 a即可根据错位相减法求得;
⑤如果数列{an}是周期为k的周期数列,那么Skm=mSk(m,k为大于 1的正整数).
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【解题视点】(1)先利用等比数列的通项公式求出an,再证明数 列{anan+1}成等比数列,最后利用等比数列的前n项和公式求解. (2)①先证明数列{an}成等比数列,再利用通项公式及前n项和 公式; ②先解出等差数列{bn}的首项与公差,再利用前n项和公式求T20.
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【规范解答】(1)选C.设数列{an}的公比为q,
因为a2=2,a5=a2·q3= 1 ,
4
所以q= 1
2
,所以a1=4,
所以an= 4(1)n1 (1)n3,
22
所以an·an+1= (1)2n5 8(1)n1,
第四节 数列求和
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【知识梳理】
1.公式法
(1)使用已知求和公式求和的方法.
(2)数列求和常用公式:
等差数列前 n项和公式
Sn=_n_a_1___n_n_2__1__d_=__n__a_12__a_n__
等比数列前 n项和公式
a 1 1 q n
Sn= ____1___q____a11aqnq,q1
把求和式倒序后 两和式相加
简单示例
an=2n+(2n-1),求Sn
an=(-1)nn,求S2n 函数f(x)图象关于点(1,1)对 称,求f(-1)+f(0)+f(1)+f(2) +f(3)
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【考点自测】
1.(思考)给出下列命题:
①如果已知等差数列的通项公式,则在求其前n项和时使用公式
Sn=
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5. 123
248
2nn 等于(
)
2n n1 A. 2n
C. 2n
n1 2n
2n1 n2 B. 2n
D.2n1

n2 2n
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【解析】选B.方法一:令 Sn1 2222233 2nn, ①
则
1 1 2 n 1 n 2S n2 22 32 n 2 n 1,
②
①-②得,
1 2Sn1 22 122 13 2 1n2n n11 2[1 1 (1 1 2)n]2n n1，
2
所以
Sn
2n1
n 2n
2.
方法二:取n=1时, n
2n
1, 2
代入各选项验证可知选B.
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6.已知{an}是公比为2的等比数列,若a3-a1=6,则a1=
;
1 a12
a122
a1n2
=
.
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【解析】因为{an}是公比为2的等比数列,且a3-a1=6,
所以22a1-a1=6,解得a1=2,
精_n _品a _1课,q件1
前n个 正整数之和
前n个 正奇数之和
前n个正整 数平方和
前n个正整 数立方和
n n 1
1+2+…+n=_____2 ____ 1+3+5+…+(2n-1)=_n_2
12+22+…+n2= nn12n1
6
13+23+…+n3= [ n n 1 ]2
2
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2.裂项相消法 把数列的通项拆分为两项之差,使之在求和时产生前后相互抵 消的项的求和方法. 3.错位相减法 (1)适用的数列:{anbn},其中数列{an}是公差为d的等差数 列,{bn}是公比为q≠1的等比数列.