εz
=
1 E
[σ
z
−ν (σ x
+ σ y )]
(1.7)
所以体积模量 K (bulk modulus) 可使用下面公式表示。
K = [(σ x + σ y + σ z ) / 3] = E
ΔV /V
3(1− 2ν )
(1.8)
在岩土上使用体积模量K(bulk modulus)和剪切模量G(shear modulus)的概念虽然 不是很准确，但是比E和ν表现得更简单更明确，使用起来更方便。下图说明的是K 和G的物理意义。
83
分析理论手册
84
According to the magnitude of the stress increment
Tangent modulus
1
dσ
tr
ses
dε
S
Δσ
1 Δε
Secant modulus
ε Strain
According to the loading condition z
)
(1.2) (1.3) (1.4) (1.5)
82
第一篇 MIDAS/GTS的分析功能
岩土材料的体积变形率如下：
ΔV V
= εx
+εy
+εz
=
(σ x
+σy E
+ σ z ) (1− 2ν )
(1.6)
且，
εx
=
1 E
[σ
x
−ν (σ y
+ σ z )]
εy
=
1 E
[σ
y
−ν (σ z
+ σ x )]
通过平衡方程式可求得位移向量。这样通过已知荷载和刚度计算位移的方法叫位移 法 (displacement method)。利用求得的位移通过变形协调方程(compatibility equation)可以得到应变，然后通过本构方程(constitutive equation)可获得应 力。
模型发生变形时，模型内部的任意点的坐标(x, y, z)将移动到新的坐标(x+u, y+v, z+w)位置。单元不是刚体时，位移向量(u, v, w)在单元内部是连续变化的，这种 变化可以用x、y、z坐标的函数表现。如下图所示，在任意空间上分别具有微小长 度δx、δy、δz的纤维(fiber)在变形后具有新的方向。
土木领域的大部分问题可以概括为两个问题，一个是“结构在给定的荷载作用下是 否安全？”，一个是“结构到完全破坏前的变形有多大？”。为了获得地基的变形 需要地基的应力-应变关系，但是众所周知岩土材料的本构关系相当复杂，与材料 的构成、孔隙比、应力历程以及加载方式均有关系。
在实际设计中，为了便于计算会将岩土的应力-应变关系简化成一些理想化的本构 关系。虽然仅用弹性模量和泊松比的变化来描述岩土特性不是很准确，但是对模拟 一些特定的岩土材料还是非常有效的。在此要注意的是对弹性模量的定义。
79
分析理论手册
2. 静力分析
2.1 概要
静力分析是指结构不发生振动状态下的分析，一般来说外部荷载的频率比结构的基 本周期的1/3还小时可认为是静力荷载。静力分析的类型如下：
A. 线弹性分析 (linear elastic analysis) B. 非线性弹性分析 (nonlinear elastic analysis) C. 弹塑性分析 (elastoplastic analysis)
泊松比 0.28~0.30
0.30 0.27~0.30 0.26~0.29
0.30 0.26~0.28
0.15~0.20
ห้องสมุดไป่ตู้0.27~0.31 0.23~0.27
0.36 0.27~0.30 0.27~0.30 0.15~0.20 0.12~0.18
0.29 0.12~0.15
0.25 0.15~0.20 0.34~0.36 0.28~0.29
表 1.2 中 的 弹 性 模 量 是 采 用 无 裂 纹 的 小 试 验 体 在 实 验 室 通 过 实 验 获 得 的 完 整 岩 (intact rock)的弹性模量。所以具体设计中使用的弹性模量要考虑尺寸效应、岩 体 内 的 不 连 续 性 等 因 素 应 采 用 折 减 后 的 弹 性 模 量 。 图 1.3 是 各 种 岩 石 质 量 指 标 RQD(Rock Quality Designation)对应的弹性模量实测值图形。RQD是指在包含裂纹 的100cm的钻孔长度内超过10cm长度的岩心的累计长度占总长度比例。即使RQD为 100%也不能视为完整岩，但是RQD值越高，可以认为岩石品质越好。风化越严重， 岩石的RQD值越低。
C. 应力－渗流耦合分析 (stress-seepage coupled analysis)
D. 固结分析 (consolidation analysis) (1) 排水/非排水分析 (drained/undrained analysis) (2) 固结分析 (consolidation analysis)
z
⎡u⎤
U
=
⎢ ⎢
v
⎥ ⎥
⎢⎣w⎥⎦
x
y
图 1.1 位移(u, v, w)的定义
81
分析理论手册
εx
=
∂u ∂x
εy
=
∂v ∂y
εz
=
∂w ∂z
γ xy
=
∂v ∂x
+
∂u ∂y
γ yz
=
∂w ∂y
+
∂v ∂z
γ zx
=
∂u ∂z
+
∂w ∂x
在弹性材料上施加单轴应力时，将产生轴向应变。
εz
=
σz E
优秀的岩土分析程序应能真实地模拟现场条件和施工过程，并应为用户提供更多的 材料模型和边界条件，让用户在做岩土分析时有更多的选择。
MIDAS/GTS不仅具有岩土分析所需的基本分析功能，并为用户提供了包含最新分析 理论的强大的分析功能，是岩土和隧道分析与设计的最佳的解决方案之一。
MIDAS/GTS中提供的的分析功能如下：
MIDAS/GTS的线弹性分析(linear static analysis)中使用的基本方程中的平衡方 程式(equilibrium equation)如下。
Ku = p
(1.1)
且 K : 结构的刚度矩阵 (stiffness matrix) u : 位移向量 (displacement vector) p : 荷载向量(load vector)或不平衡力向量(unbalanced force vector)
8.3~11.9 ×106
8.9~11.7 ×106 7.3~8.6 ×106 7.1 ×106
8.7~10.8 ×106 8.7~10.8 ×106 7.9~10.1 ×106
6.5~8.0 ×106 8.0~8.5 ×106 8.2~9.7 ×106
3.5 ×106 7.9~11.2 ×106
5.5~7.6 ×106 20.0 ×106
分析理论手册
1. 概要
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第一篇 MIDAS/GTS的分析功能
岩土分析(geotechnical analysis)与一般的结构分析(structural analysis)有较 大差异。一般的结构分析注重荷载的不确定性，所以在分析时会加载各种荷载，然 后对分析结果进行各种组合，最后取各组合中最不利的结果进行设计。岩土分析注 重的是施工阶段和材料本身的不确定性，所以决定岩土的物理状态显得格外重要。 在岩土分析中应尽量使用实体单元模拟围岩的状态，尽量真实地模拟岩土的非线性 特点以及地基应力状态(自应力和构造应力)，并且尽量真实地模拟施工阶段开挖过 程，这样才会得到比较真实的结果。
图1.2 各种模量
Constrained modulus
M
z
z
=σ ε
第一篇 MIDAS/GTS的分析功能
在左右边界被约束的状态下发生单向变形时，可计算出侧限模量 M (constrained modulus)。特别是当 ε x = ε y = 0 时，水平方向应力和侧限模量的关系如下。
σx
=σy
x
y
σ z Uniaxial loading
ε z
= Young’s modulus
E
σ
z
ε
z
Simple shear
τ xz
γ xz
= Shear modulus
E
σ
z
ε
z
compression Isotropic
σ 0
= Bulk modulus
K
τ
zx
τ zx
Confined compression
从1990年开始，在实际设计中才开始大量使用非线性分析和弹塑性分析。其原因是 非线性分析和弹塑性分析的收敛计算需要较长的时间，无论从硬件还是从软件上都 还不能满足实际设计的需要。随着计算机分析速度的提高以及分析技术的发展，为 非线性分析和弹塑性分析在实际设计中的应用提供了可能。但是线弹性分析以其特 有的计算效率在非线性特点不是很明显的材料的分析中，以及非线性特点明显的材 料的初步分析中还在大量使用。
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第一篇 MIDAS/GTS的分析功能
一般来说，经常使用的弹性模量包括切线模量(Tangent modulus)和割线模量(seca nt modulus)。完全线弹性材料的切线模量和割线模量相同，但是在岩土等非线性 材料中一般使用的是所关心的应力范围内的割线模量，并将其称为变形模量(defor mation modulus)。
第一篇 MIDAS/GTS的分析功能
E. 施工阶段分析 (construction staged analysis) F. 动力分析 (dynamic analysis)