当t 13时,G(t) 0,G(t)单调减少.
可见讲课开始后第13分钟时小学生兴趣 最大.在此时刻之前学习兴趣递增，在此时 刻之后学习兴趣递减.
学习兴 趣增加
学习兴 趣最大
学习兴 趣减少
t 13
知识回顾 Knowledge
Review
祝您成功！
提示与分析：
先建立目标函数，然后再用求最值的方法
求出未知量.
解 (1)由C( x) 25000 200x x2 ,得 40
平均成本C( x) ( 25000 200 x )
x
40
因而 dC dx
25000 x2
1 40
,
令 dC dx
0, 得
舍去
x 1000或 x 1000.
唯一驻点
3)
2,
2( x 2)( x 3)
lim[
2x]
x
x1
2( x 2)( x 3) 2x( x 1)
lim
x
x1
通分
lim 4x 12 4, x x 1
y 2x 4是曲线的一条斜渐近线.
f ( x) 2( x 2)( x 3)的两条渐近线如图 x1
2、利用导数绘制函数的图像 图形描绘的步骤：
(1) 确定函数的定义域； (2) 考察函数的对称性、周期性； (3) 求函数的间断点、驻点、不可导点，把定 义域分成若干个子区间； (4) 列表讨论函数在各个子区间内的增减性、 凹凸性，判断极值点和拐点；
(5) 确定曲线的渐近线； (6) 求曲线上的一些辅助点，比如与坐标 轴的交点； (7) 根据以上讨论，从左到右，把曲线上 的特殊点用平滑曲线连接起来，完成作图.
凸 弧
分界 点
二、利用导数绘制函数的图像
1、曲线的渐近线
定义 当曲线 y f ( x) 上的一动点 P沿着曲
线移向无穷点时, 如果点 P 到某定直线L的距离
趋向于零, 那么直线 L 的渐近线 水平渐近线
斜渐近线
铅直渐近线(垂直于 x 轴的渐近线)
渐近线.
例如 y
1
有两条铅直渐近线
( x 2)( x 3)
x 2, x 3.
两条铅 直渐近 线
y arctan x有两条水平渐近线
π
π
y , y .
2
2
斜渐近线
如果 lim [ f ( x) (ax b)] 0 x
或
lim [ f ( x) (ax b)] 0 (a, b 为常数)
( 2 , ) 2
凹
y 1
2
o
2
2
x
2
三、应用举例
例4 已知某厂生产x件产品的成本为 C( x) 25000 200 x x2 (元)，问： 40
(1)若使平均成本最小，应该生产多少件产品？ (2)若产品以每件500元售出，要使利润最大， 应该生产多少件产品？
这是一道关于最大、最小值的应用题.
f ( x) 0
o
f ( x)的图像为凹弧
切线的斜率 越来越大
y f (x)
x
观察右图：
当x从小变大时，
y
f ( x)从大变小.
切线的斜率越 来越小
f ( x)单调减少 f ( x) 0
y f (x)
o
x
f ( x)的图像为凸弧
二阶导数为正，曲线开口向上，是凹弧； 二阶导数为负，曲线开口向下，是凸弧；二
阶导数为零，且两侧异号，是拐点.
例1 判断曲线 y x3 的凹凸性.
解 y 3x2 , y 6x, D : (, ). 当x 0时， y 0, 曲线 在(, 0]为凸的；
当x 0时，y 0, 曲线 在[0, )为凹的. 注意到点(0, 0)是曲线由凸变凹的分界点.
拐点
凹 弧
y x3
如果 lim f ( x) 或 lim f ( x) 那
x x0
x x0
么x x0 就是 y f ( x) 的一条铅直渐近线.
水平渐近线(平行于 x 轴的渐近线)
如果 lim f ( x) b 或 lim f ( x) b (b 为
x
x
常数)那么 y b 就是 y f ( x)的一条水平
故生产1000件产品可使平均成本最小.
(2)利润函数L( x) 500x (25000 200x x2 )
40
总收入
成本
由
dL dx
300
x 20
0
得
x 6000,
唯一驻点
故生产6000件产品，可使利润最大.
例5 心理学研究表明，小学生对概念的接受 能力G(即学习兴趣、注意力、理解力的某种 量度)随时间t的变化规律为
但 lim[ f ( x) ax] 不存在, x
可以断定 y f ( x) 不存在斜渐近线.
例2 求曲线f ( x) 2( x 2)( x 3)的渐近线. x 1
提示与分析： 铅直渐近线 定义域不存在的点
曲线的渐近线
自变量趋向无穷远
水平渐近线 处，函数的极限
斜渐近线 斜渐近线与水平渐近
线不会同时出现
x
那么 y ax b 就是 y f ( x)的一条斜渐近线.
斜渐近线求法:
f (x)
lim
a, lim[ f ( x) ax] b.
x x
x
y ax b 即为曲线 y f ( x)的一条斜渐近线.
注意：如果 lim f ( x) 不存在， x x
或 lim f ( x) a 存在, x x
解 函数的定义域为D : (,1) (1, ),
2( x 2)( x 3)
lim f ( x) lim
,
x 1
x 1
x1
2( x 2)( x 3)
lim f ( x) lim
.
x 1
x 1
x1
x 1是曲线的铅直渐近线.
又
lim
x
f
(x) x
lim
x
2( x
x
2)( x ( x 1)
第四节
利用导数研究函数的图像
—曲线的绘制
主要内容： 一、函数的凸凹性 二、利用导数绘制函数的图像
在研究函数特性时往往需要 知道函数的直观图形，利用函 数的一阶、二阶导数可以绘制 出函数的较精细的图形.本节将 研究这个问题.
一、曲线弯曲方向—凹凸性
观察右图：
当x从小变大时，
y
f ( x)也从小变大. f ( x)单调增加
2
2
(x) 2xex2 ,(x) 2ex2 4x2ex2 2ex2 (2x2 1).
lim( x) lim e x2 0, 得水平渐近线 y 0.
x
x
列表确定单调区间、凹凸区间及极值、拐点.
x0
( x) 0 ( x) 2
(0, 2 ) 2
( x) 极大值
1
凸
2 2
0
拐点 21 (,) 2e
G(t) 0.1t 2 2.6t 43 t [0, 30].
问t为何值时学生学习兴趣增加或减退？何时
学习兴趣最大？
函数的增减性
最值问题
解 G(t) 0.2t 2.6 0.2(t 13), 由G(t) 0，得t 13. 唯一驻点
所以x 13是G(t)的最大值.
当t 13时,G(t) 0,G(t)单调增加；
例3 作函数 ( x) e x2的图形.
解 定义域为D : (, ), 函数为偶函数，
只需做(0, )的函数图像，
( x) (ex2 ) 2xex2 , 复合函数求导
( x) (2xe x2 ) 2e x2 4x2e x2 .
令 ( x) 0,得驻点 x 0,
令 ( x) 0,得特殊点x 2 , x 2 .