分离变量再两端积分得 N (t) Cert
由N (0) N0得 C N0
代入即得模型的解为 N (t) N0ert
模型检验:
若r 0， 我们有lim N(t) 若r 0， 我们有lim N(t) 0
t
t
这说明模型的使用有一定的局限性。 若要求模型能广泛的使用，
必须改进模型。改进的途径应该首先从假设4着手。 若r能适应某
模型改进:
若将r设定成种群总量N的递减函数, 模型在t 时可
能会有更好的表现力。
例2 :带年龄结构的人口模型
问题分析:
我们的目标是期望得到在任何时刻t, 各年龄段 的人口数分别为多少
五步建模法
• 引自：《数学建模方法与分析》 Mark M.Meerschaert
• 第一步，提出问题 第二步，选择建模方法 第三步，推导模型公式 第四步，求解模型 第五步，回答问题
特定时段， 模型还可用。
模型应用:
由题给数据计算r,然后计算N (20) 605200 e20r
模型评价:
从社会人口发展的历史规律及建立模型时所作的假设看， 如果r选择了某特定时段有代表性的值， 该模型具有较好的 表现力。 其原因在于假定了r为常数， 事实上， 物种数量的 发展在环境制约下， 有一定的自然协调作用。
R(t, t, N) R(t,0, N) R(t,0, N)t o(t) r(t, N )
即有 N r(t, N )N 由假设2有 dN r(t, N )N
t
dt
考虑N (0)
N
应为已知，
0
于是有模型:
dN r(t, N )N dt N t0 N0
模型求解:
所建模型的一个变量可分离的常微分方程。 由假设4， 我们视r(t, n)为常数r.
这些平衡关系是数学建模中常用的依据。
二、 建模实例
例1: 建立模型， 描述人口的增长规律。 若2000年， 西安市人口总数为6052000人， 新生
人口数7058人， 死亡数3257人， 问2020年西安总人
口数约多少？ 分析 : 我们把问题的目标理解为人口数量的增长。
影响人口数量变化的因素很多。如 : 人口基数、 年龄结构、
6. 任何个体的增殖不考虑总体的总数。
符号设定:
t 时刻
B(Nt,(tt),N) t时t刻时所刻考t时虑段区出域生内数的人口总数
D(t, t, N) t时刻t时段死亡数 b(t, t, N) t时刻t时段出生率 d(t, t, N) t时刻t时段死亡率 r(t, N) t时刻的瞬时净增长率
• 第四步，求解模型。 (a)将第二步中所选方法应用于第三步得到 的表达式。 (b)注意你的数学推导，检查是否有错误， 你的答案是否有意义。 (c)采用适当的技术，计算机代数系统，图 形，数值计算的软件等都能扩大你能解决 问题的范围，并能减少计算错误。
五步建模法
• 第五步，回答问题 (a)用非技术性的语言将第四步的结果重新 表述。 (b)避免数学符号和术语。 (c)能理解最初提出的问题的人就应该能理 解你给出的解答。
五步建模法
• 第一步，提出问题. (a)列出问题中涉及到的变量，包括适当的 单位。 (b)注意不要混淆了变量和常量。 (c)列出你对变量所做的全部假设，包括等 式和不等式。 (d)检查单位从而保证你的假设有意义。 (e)用准确的数学表达式给出问题的目标。
五步建模法
• 第二步，选择建模方法 (a)选择解决你的问题的一个一般的求解方 法。 (b)一般地，这一步的成功需要经验、技巧 和对相关文献有一定的熟悉程度。
性别比例、 生育观念、 社会环境、 人口政策、自然环境等等。
为了简化问题， 我们把所有影响因素概括 成一个影响因素 —时间t。
于是， 我们建模的目标是寻找N(t)
模型假设：
1. 忽略人群中的个体差异。
2. 群体的规模很大， 以至于人口随时间的增减变化过程
可认为是连续的、 光滑的。 3. 所考虑的群体是封闭的。 4. 人口繁殖和死亡均考虑大范围内的平均效应。 5. 各时期的增长规律相同。
灵敏性分析
• 考察结果对假设（参数）的敏感程度 • 将灵敏性数据表示成相对改变量或百分比
改变的形式 • S（y,r)=(dy/dr)*(r/y)
稳健性分析
• 一个数学模型称为稳健的，是指即使这个 模型不完全精确，由其导出的结果也是正 确的。也就是说，虽然它给出的答案并不 是完全精确的，但足够近似从而可以在实 际问题中应用。
五步建模法
• 第三步，推导模型公式。 (a)将第一步中得到的问题重新表达成第二 步选定的建模方法所需要的形式。 (b)你可能需要将第一步中的一些变量名改 成与第二步所用的记号一致。 (c)记下任何补充假设，这些假设是为了使 在第一步中描述的问题与第二步中选定的 数学结构相适应而做出的。
五步建模法
平衡原理建模
平衡原理建模
一、平衡原理 我们称研究对象的同一个量在两个不同方面的表现
之间的关系为平衡原理。利用这些平衡关系导出研究对 象的数学关系的过程称为用平衡原理建模。
自然界和社会领域到处充满平衡关系。 “事出有因”
便是对平衡关系的高度概括。 能量守恒、 动量守恒是平衡关系， 收获源于收获前的耕耘，收获量源于收获前耕耘的方式和程度， 物种数量的增加源于该物种繁存量大于死亡量等都是平衡。
N0 初始时刻人口总数
建立模型:ຫໍສະໝຸດ 由假设3， N(t t) N(t) B(t, t, N) D(t, t, N)
由假设4， N(t t) N(t) b(t, t, N) d(t, t, N)N(t)
记 R(t, t, N ) b(t, t, N ) d (t, t, N )
N N (t t) N (t) 考虑R(t, t, N)关于t的Taylor展开式