2
a 0,
v
a
S
a与v方向的夹角：
arctan an
a
讨论
an
a
a
a
3
四、角量与线量之间的数量关系
自然坐标与角坐标 sR
线速度与角速度 vdsRdR
dt dt
线加速度与角加速度
a
dvRdR
dt dt
an
v2 R
2R
a a2 an2 R24
arctan an
a
d dt
d d2
进入夏天，少不了一个热字当头，电扇 空调陆 续登场 ，每逢 此时， 总会想 起
那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村 ，夏季 经常用 的一件 物品。
记忆中的故
乡，每逢进入夏天，集市上最常见的 便是蒲 扇、凉 席，不 论男女 老少， 个个手 持
一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着 “怎么 这么热 ”，于 是三五 成群， 聚在大 树
l x
船速大于绳速
o
x2 x1
x
15
§1-5 质点运动学中的两类基本问题
第一类：
已知 r r ( t ) ,求v ,a ,用微分。
r 微分 v 微分 a
第二类：
已知 a 及初始条件 v 0 、 r 0 , 求v 、 r ， 用积分。
积分
a
v
(v0 )
积分
r
( r0 )
16
对一维运动的第二类问题
dva, dr v;
dt
dt
dsv, dt
dv dt
a;
dv dt a,
dr v; dt
drv,
dv a.
dt
dt
解答：
a d d v t, v d d r t d d r t d d s t, a d d v t d d t v
19
2.一质点作在平面上作曲线运动，其运动方程为
下，或站着，或随即坐在石头上，手 持那把 扇子， 边唠嗑 边乘凉 。孩子 们却在 周
围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听 到“强 子，别 跑了， 快来我 给你扇 扇”。 孩
子们才不听这一套，跑个没完，直到 累气喘 吁吁， 这才一 跑一踮 地围过 了，这 时
母亲总是 ，好似 生气的 样子， 边扇边 训，“ 你看热 的，跑 什么？ ”此时 这把蒲 扇，
k
an
v2 (v0 R
kt)2 R
a
aτ2 an2
(v0 kt)2 (kR)2 R
12
② 令 a = k ，即 a (v0kt)2(kR)2 k R
解得 t v0 / k
③ 当a = k 时，t = v0 /k ，由此可求得质点历经的路 程长度为
s v 0 t k t2/2 v 0 2/2 k
v0 y
l0
hl v
ox
设 t0, ll0，则 l l0 v0t
dl
x
dt v0
14
vx2xh2v0v0 (h/x)21
负号表示沿负x 轴方向。 比较船速v与绳速v0的大小？
由图知：
v0
|l|, t
v|x| t
(t 0)
y
v0
l1
而 x l vv0
（三角形任意两边之差小于第三边）
h l2 v
11
例：一质点沿半径为R的圆周按规律
sv0tkt2/2运动，其中v0、k
为正数。求:
S
① t 时刻质点的总加速度大小；
② t 为何值时，总加速度大小为k；
a
n an P
o
x
R
③ 当总加速度大小为k 时，质点运行的圈数。
解：设 t = 0 时质点位于 s = 0 的P点处。 Nhomakorabea①
dv d2s
a
dt
dt2
圆，轻巧又便宜的蒲扇。 蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨 越了半 个世纪 ，
也走过了我们的半个人生的轨迹，携 带着特 有的念 想，一 年年， 一天天 ，流向 长
长的时间隧道，袅
二讲-圆周运动及其描述-质点运动学
速度 vv
d d n d s d d
加速度 advdvvddv vdn
dt dt dt dt
R
av
an
a
沿法线方向
m
van 法向加速度
r
o
a r v a a n x
y
9
例：一刚体以恒定的角加速度 转动，求其上某质元
A的运动方程。设 t = 0时， =0， =0。
解： d ddt
dt
Ao
x
t
积分： d dt
0
0
得 0t
d dt
d ( 0 t)d t
d
dt dt2
7
五、角量与线量之间的向量关系
角速度与线速度
z
v R r s i n r
v r
角加速度与线加速度
advd(r)
dt dt
cR v
m
r
o
x
y
drdr r v
dt
dt
8
a r v
| r | r s i n R 沿切线方向
ra 切向加速度
z
| v | v s i n 9 0 = v
是那么凉快，那么的温馨幸福，有母 亲的味 道！
蒲扇是中国传统工艺品，在
我国已有三千年多年的历史。取材于 棕榈树 ，制作 简单， 方便携 带，且 蒲扇的 表
面光滑，因而，古人常会在上面作画 。古有 棕扇、 葵扇、 蒲扇、 蕉扇诸 名，实 即
今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六 七十年 代，人 们最常 用的就 是这种 ，似圆 非
dt
dv
dt
v
ds n dt
dv
dt
1
v2naan
a
dv
dt
v2 an n an
切向加速度 法向加速度
a S
a
v v
ds
n
S
d
o
d
dd
d
2
aa
an
dvv2n dt
0 ,
2
a 0,
v
a
a
2 n
a
2
dv dt
2
v2
2
90 , a 0, v c o n st
,
此时它已运行的圈数：
S
n s v02
2 R 4 Rk
a
n an P
o
x
R
13
01-3
例：在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸。 若人以匀速率v0收绳，求船在离岸边 x 远处时的速率。 解：由图中几何关系得（忽略船高和滑轮高）
x l2h2
vdx l dl x2h2dl
dt l2h2dt
x dt
0
0t(0t)dt
运0动方程0t：1 2t2
两式消去t 得另一关系式： 20 22(0)
10
匀变速圆周运动与匀变速直线运动公式对照
（为常量）
（a为常量）
0 t v v 0 a t
0 0 t 1 2t2 s s 0 v 0 t 1 2 a t2
2 0 2 2 ( 0 )v 2 v 0 2 2 a ( s s 0 )
★当 a a(t) dva(t)dt
a dv dt
★当 aa(v)
v
t
dv a(t)dt
v0
t0
dv dt a(v)
v dv
t
dt
v0 a(v) t0
17
★如果 aa(x) 则 dvdvdxvdva(x)
dt dxdt dx
v
x
vdv a(x)dx
v0
x0
18
课堂练习
1.质点作任意曲线运动，试判断下列各式的对错：