课题：直线的倾斜角和斜率（第一课时）教案江西省吉安市安福县安福中学罗明铁【教学目标】（1）知识目标①让学生经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程，能自然理解倾斜角的概念。

②通过对坡角、坡度概念回顾，经过教学使学生能把此知识迁移到直线的斜率中，并理解斜率的定义。

③经历用代数方法刻画直线斜率的过程，使学生初步掌握过已知两点的直线的斜率坐标公式。

（2）能力目标①通过直线的倾斜角概念学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索、和抽象概括能力，运用数学语言的表达能力，数学交流与评价能力。

②通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，渗透辩证唯物主义思想，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。

（3）情感目标：①通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位。

②通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。

【教学重点】①直线倾斜角与斜率概念；②推导并掌握过两点的直线斜率公式；③体会数形结合及分类讨论思想的作用。

【教学难点】斜率概念的学习和过两点斜率公式的建立过程。

【教学方法】教师启发引导与学生自主探索相结合。

【教学手段】多媒体辅助课堂教学。

【教学过程】创设情境，导入新课利用水上乐园的滑梯这情境，向学生设问坐哪个滑梯更刺激，速度更快？为什么？（学生回答）滑梯的陡峭与平缓反映滑梯的倾斜程度，这一节课我们要学习反映直线倾斜程度的两个几何量——倾斜角与斜率，从而揭示课题。

问题情境，形成概念问题1、在平面直角坐标系内，过两点可以画几条直线？过一点可以画几条直线？问题2、与x轴正方向成30º角的直线有多少条?过定点P且与x轴正方向成30º角直线有多少条？ylpoxy poxlpoy xlpoy xlααα(1) (2) (3)(4)引导学生得出倾斜角的意义和概念。

师生互动，新课探究一、 倾斜角的定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫做直线l 的倾斜角。

规定：当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0º. 思考：把谁旋转，怎样旋转，旋转到什么位置？ 练习：下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )问题3、在平面直角坐标系中，过点P 的直线的倾斜角可分为哪几类？当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0 ，数形结合得出倾斜角的范围是0 ≤α＜180 回顾旧知，迁移应用(1)对于生活中斜坡，我们是用什么量刻画它的倾斜程度？ （坡角与坡度）(2)坡度定义是什么？tan ()αα==铅直高度坡度为坡角水平长度（3）坡度随坡角α变化如何变化？斜坡−−−→迁移平面直角坐标系中的直线 坡角−−−→对应直线的倾斜角 坡度−−−→对应直线的斜率。

二、直线的斜率上图图(1)中倾斜角为锐角，图中横坐标x 从0到1增加一个单位，纵坐标y 从0增加到k(k>0),我们称k 为这条直线的斜率。

tan APk OAα==，右图图(2)中倾斜角为钝角，当横坐标x 从0到1增加1个单位时，纵坐标y 从0减少了k （k>0），我们称－k 为这条直线的斜率。

倾斜角为钝角时，直线的斜率可转化到其补角(180º-α)来求. 思考：倾斜角为0º时，斜率是多少？倾斜角为90º时呢？2、直线的斜率：倾斜角不是90 的直线，其倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率。

斜率通常用k 表示，即k=tan α (0º≤α<90º或90º<α<180º)倾斜角是90 °的直线的斜率不存在。

讨论交流，加深理解问题4、当倾斜角变化时，斜率k 如何变化？（动画演示）新知演练 及时反馈例1 .直线 l 1、 l ２、 l ３ 、 l 4的斜率分别是k 1、 kpoyxlp oyxlαp oyxlαy poxlα直线平行于x 轴或与x 轴重合，此时直线的倾斜角为0°， k =0。

直线的倾斜角为锐角，k >0； 随着直线的倾斜角增大，k 值增大。

垂直于x 轴的直线的倾斜角为90°，但其斜率不存在。

o o90180α<<o o090α<<o90α=o0α=直线的倾斜角为钝角， k <0 ； 随着直线的倾斜角增大，k 值增大。

)180tan(tan APαθ-︒-=-=-=-=OAk k l 则斜率为：,45的倾斜角为例如：直线 l 145tan == k则斜率为：,120的倾斜角为直线 l 360tan 120tan -=-==k２、k ３、 k 4 ，试比较斜率的大小.巩固练习：下列说法正确的是（ D ） A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 ; B 、直线的倾斜角越大，斜率也越大; C 、平行于x 轴的直线的倾斜角是0º或180º; D 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等. 三、过两点的直线斜率计算公式问题5、在平面直角坐标系中，已知直线上两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）且x 1 ≠ x 2，怎样用P 1 、P 2的坐标来表示直线斜率k ？解：设直线P 1 P 2倾斜角为α（≠α90 ）,过点P 1作x 轴的平行线，过点P 2作y 轴的平行线，两线交于点Q ，则点Q 为（x 2，y 1） （1）当α为锐角时，21P QP ∠=α12121221tan tan x x y y Q P QP P QP k --==∠==α （2）当α为钝角时，180θα=-（设21P QP ∠=θ），αtan 0tan(180)tan αθ=--=- 12122112tan x x y y x x y y ---=--=θ 1212tan x x y y --=∴α 即1212x x yy k --= 综上，无论α为锐角或钝角，都有1212tan x x y y --=α，即1212x x y y k --=例2.（1）A （2, 3）,B （6,5） （2）A （－3,5）,B （4,－2） （3）A （3,2）,B （-4,2） （4）A （3，2），B （a ，4）.思考题：已知A （1，－5），B （5，3），C （－4，a ）在同一条直线上，求实数a 的值。

小结：1、直线的倾斜角的定义，范围：0 ≤α＜180 ； 2.直线斜率的定义：k=tan α（0≤α＜180且α≠90°）3．直线斜率的求法：（1）定义法: k=tan α（0 ≤α＜180 且 90≠α）（2）坐标法： 12()x x ≠ 板书设计直线的倾斜角与斜率2121.y y k x x -=-1、倾斜角的定义 范围0 ≤α＜180直线斜率定义：k=tan α（0 ≤α＜180 且 90≠α）3．斜率求法：（1）定义法: k=tan α（0 ≤α＜180 且 90≠α）（2）坐标法：12()x x ≠ 布置作业：课本P63：第1、3、5题说明一、授课内容的数学本质与教学目标定位直线的倾斜角和斜率属于解析几何初步的入门内容，解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何特征，在这一主导思想的指导下，教材突出了代数语气描述的几何对象，将几何问题代数化的过程，正是认识与理解“几何→代数→几何”这一循环上升过程的体现，内容安排上重视几何直观，编排了探索确定直线的几何要素。

直线的倾斜角和斜率知识目标是让学生经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程，能自然理解倾斜角的概念。

通过对坡角、坡度概念回顾，经过教学使学生能把知识迁移到直线的斜率中，并理解斜率的定义，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，使学生初步掌握过已知两点的直线的斜率坐标公式。

能力目标是通过直线的倾斜角概念学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索和抽象概括能力，运用数学语言的表达能力，数学交流与评价能力。

通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，渗透辩证唯物主义思想，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。

情感目标是通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位。

通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，培养学生的数学意识和科学精神。

二、学习本节内容的基础及今后的作用学习本节内容的基础。

高一学生已经学过数轴和平面直角坐标系知识，知道实数和数轴上的点一一对应，平面上的点和有序实数对一一对位。

在此基础上学2121.y y k x x -=-习直线的倾斜角和斜率，对理解直线和倾斜角之间的一一对应关系不是太难。

高一学生的认知水平从形象向抽象，从特殊向一般过渡，思维能力的提高是一个转折期，学生的自主意识强，有主动学习的愿望与能力。

学习本节内容对今后的用处。

首先利用直角坐标系中的不同直线，让学生直观感知确定直线的两个主要几何要素——一个点和一个方向（即倾斜角），并以此为基础引出用解析几何解决问题的基本方法，其次利用代数方法刻画直线的方向，从而定义直线的倾斜角和斜率，最后推导出过两点的直线的斜率的计算公式。

探索确定直线的几何要素的主要意图在于突出解析几何的直观性，让学生在充分把握几何特征的基础上学习如何利用代数方法刻画几何问题。

在给出直线的斜率定义前，利用生活中的实例给出了坡度定义，这样处理的目的有两个，一是考虑到知识所限，学生并没有学习正切函数，不能用倾斜角直接来定义斜率；二是用坡度来定义斜率，反映了当x轴方向上发生单位变化时y的变化，这种定义方式蕴涵了导数的思想，可以为将来导数的学习做铺垫。

斜率随倾斜角的变化规律是今后解决线性规划问题的基础。

在物理学中，研究斜面问题也与倾斜角有关。

所以在本节课的教学中，要注重知识的发生与发展过程，首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何元素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决问题，要通过学生的自主探索活动，使学生理解数学概念，结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法。

三、教学诊断分析学生对确定直线的两个要素比较容易理解，另外高一学生已经学过坡度的概念，所以利用坡度的概念来引出斜率的概念学生比较容易接受，有利于突破本节课的难点，学生容易误解的地方有：1、当直线与x轴平行或重合时，会误以为倾斜角可以为0°或180°。

2、学生容易误解为斜率总是正数。

3、学生对x=a这种直线把斜率不存在，误以为倾斜角也不存在。

4、当倾斜角0°≤α＜90°时，倾斜角越大，直线的斜率越大，当倾斜角90°＜α＜180°时，倾斜角越大，直线的斜率就越大，学生会误以为倾斜角在0°到180°时，倾斜角越大，斜率越大。