河南科技大学第三届高等数学竞赛
三、解答题（本大题共8个题，满分为100分）
21． （本题满分10分） 求极限21lim sin cos x x x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝
⎭ 解：
22． （本题满分15分）
设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.
(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式;
(Ⅱ)问k 为何值时,
()f x 在0x =处可导.
【详解】
23.(本题满分10分)
求通过点()1,1的直线()y f x =中，使得()2
220
x f x dx ⎡⎤-⎣⎦⎰为最小的直线方程。

解：
24． (本题满分10分)
求曲面z =夹在二曲面2222,
2x y y x y y +=+=之间的部分的面积。

解：
25． （本题满分15分）
计算()()3222AB x c dx ydy I x c y -+=
⎡⎤-+⎣⎦⎰ ()0c >，其中AB 是沿着椭圆22221x y a b +=的正向从 (),0A a 到()0,B b 的一段弧。

解：
26． （本题满分10分）
设)(x f 为可微函数，且2)0(,0)0(='=f f
，试求2220lim .t x y t +
→+≤⎰⎰ 解：
27． (本题满分10分)
设)(x f 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导()0a b <<，证明存在),(,21b a ∈ξξ使
).(2)(')('2
21b a f f +=ξξξ 【证明】
28． （本题满分20分）
已知曲线L 的方程为221,(0),4x t t y t t ⎧=+≥⎨=-⎩
（Ⅰ）讨论L 的凹凸性； （Ⅱ）过点（-1，0）引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （Ⅲ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积。

解：。