加总
104.62
514.42
DM =(514.42/104.62)=4.92（年）
表 9－1 例题9-1久期的计算
7
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两个常用术语：
PB－－－债券的现行价格，Δ PB－－－债券的价格变动 D－－－债券的久期； Δ i－－－－预期利率的变动
D* DM
(1)
1 i
D*称为修正久期
D**(美元久期)＝ D*(修正久期)×PB
时间的加权值 t×Ct/(1+i)t
9.00 9.00 9.00 9.00 9.00 9.00 100.00
0.93
8.33
0.86
7.72
0.79
7.14
0.74
6.62
0.68
6.13
0.63
5.67
0.63
63.02
8.33 15.43 21.43 26.46 30.63 34.03 378.10
)
di
DM
di
PB
(1 i)PB
(1 i)
9
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因为，
dPB DM di
PB
(1 i)
dPB D*PB di
PB D*PB i D**i
10
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例题9-2：已知某种债券当前的市场价格为125美元，当前的市场年利率为5％， 债券的久期为4.6年， 求：如果市场利率上升40个基点，债券的市场价格将发生 怎样的市场变化？
率的变化
12
五、 凸度
久期实际描述的是债券价格对市场利率的一阶导数关系； 债券价格对市场利率的二阶导数关系即为凸度
PB b
c
a
D E
B G
A
F a’
C b’
i0 c’
-△i
△i
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i
13
五、 凸度
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久期实际描述的是债券价格对市场利率的一阶导数关系；
凸性描述的债券价格对市场利率的二阶导数关系；
(2)
PB D*PBi D**i (3) 8
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PB D*PBi 的推导
因为，
PB
t
Ct (1 i)t
dPB t
di
tCt (1 i)t1
1 (1 i)
t
tCt (1 i)t
t
( dPB
tCt (1 i)t
总现值
M
tPt
＝ t 1 M Pt t 1
5
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M
M
tCt /(1 i)t
tCt M
t1
Ct /(1 i)t
PB
tWt t 1
t 1
Wt
Ct /(1 i)t
M
Ct /(1 i)t

Pt
M
Pt
Pt PB
1
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第一节 麦考利久期 一、债券价格与市场利率的关系 二、麦考利久期（Macaulay Duration）的计算 三、修正久期、美元久期及债券价格变化估计 四、久期的数学解释 五、凸度 第二节 久期与债券到期期限、票息率、及市场利率之间的关系 一、 久期与债券到期期限的关系 二、 久期与市场利率之间的关系 三、 久期与债券票息率之间的关系 第三节 债券的风险免疫 一、 久期与债券的风险免疫 二、 债券组合的久期与免疫资产的组合 三、 免疫债券组合的免疫分析 四、 实践中存在的问题
i 解 ： PB ＝125美元
＝5％
DM＝4.6年
i ＝＋0.004
PB DM PBi 4.6 125 0.004 2.3美元
更加精确的计算结果为：
PB
DM PB (1 i)
i
4.6 125 0.004 1.05
2.19美元
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四、 久期的数学解释
金融工程课程
第九章 债券久期的基本概念
【本章学习要点】 久期是债券投资及其风险管理的重要概念。本章
涉及的其他重要概念有： 麦考利久期、修正久期、美元久期、凸度及风 险免疫等。要求掌握和理解久期的计算及其数学解释、久期与债券到期 期限、票息率、及市场利率之间的关系等；对将久期概念应用到债券组 合资产的风险免疫有一定的理解和认识。
2
第一节 麦考利久期
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一、债券价格与市场利率的关系
（１）较长期限的债券价格变动幅度大于较短期限的债券价格变动幅度。 （２）息票额较大的债券的变动幅度小于息票额较低的债券的变动幅度。
对于各种不同期限、不同票息额的债券，能否找到一种共同具备的特征量 ，由该特征量就可以简单比较出不同债券的价格变化呢？ 答案是存在的，即每一种债券都存在一个叫做“久期”的特征量。“久期”是资 产组合利率敏感性的一个测度，久期相等的资产对于利率波动的敏感性是一致的 。
t 1
t 1
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例题9-1： 一种债券的面值为100元。票息额为每年9元。市场利率为8％。债 券的到期期限为6年。计算该债券的久期。
解： i＝8%
Ct ＝9元 M ＝6
时间 t
1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 6.00
票息额 Ct
折现因子 1/(1+i)t
折现值 Ct/(1+i)t
3
久期的定义及其用途
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（１）当利率发生变化时，迅速对债券价格变化或债券资产组合价 值变化作出大致的估计。
（２）风险管理。
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二、麦考利久期（Macaulay Duration）的计算
（１）麦考莱久期估算法
将久期表述为债券现金流的时间加权现值之和与现金流的总现值 的比率。
D

时间加权现值
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市场利率的波动是债券价格变动的主要原因。如果将债券的价格看成是市场利率 的函数，记为，
PB PB (i)
PB

dPB di
i
PB dPB PB di
PB


i
D* dPB di
PB

PB D* PB i
债券的价格的变化等于债券的修正久期乘以债券的价格再乘以市场利
1 PB (1 i)2
T
t(t 1)Ct (1 i)t
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五、 凸度
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例9-3： 一种债券的面值为100元。票息额为每年9元。债券的到期期限为6年。 计算在不同市场利率情况下以及市场利率增加0.5%，该债券的久期和凸度以及 债券市场价格的估计变化。
PB

dPB di
i

1 2
d 2 PB di2
(i) 2
PB PB

dPB di PB
i
1 2
d 2 PB di2 PB
(i ) 2
d 2 PB
CB
di2 PB
PB PB
D i
1 2
C
B
(i)
2
令CB表示凸度
CB

1 PB
d 2 PB di 2