同理，边界方程的余量为
N R k N T Ta n
2.2 二维稳态温度场有限元-加权余量法
根据加权余量法，控制方程的离散形式如下
W Rd W Rd 0
i i
此处采用伽辽金(Galerkin)法，权系数取 Wi N i ，并写成矩阵形式，得到
N N T N k N d T N k N T T d 0 a n x x y y
T
对前半部分采用分部积分，得到
qz dxdydzdt z
qx k x
T T T , q y k y , qz k z x y z
[
T T T (k x ) (k y ) (k z )]dxdydzdt y x x y y z z
1.2 温度场基本方程
二维情况下，退化为
T T T c (k x ) (k y ) Q 0 t x x y y
二维稳态情况下，退化为 T T (k x ) (k y ) Q 0 x x y y 二维稳态且无热源项，退化为 维稳态且无热源项，退化为 T T ) (k y ) 0 (k x x x y y
1.2 温度场基本方程
常见的边界条件有以下三类： 第一类边界条件 第 类边界条件： 给定物体表面温度随时间的变化关系
Tw f (t )
第二类边界条件： 给出通过物体表面的比热流随时间的变化关系 T q x , y , z , t n 第三类边界条件： 给出物体周围介质温度以及物体表面与周围介质的换热 系数
形函数：温度场形函数的构造与弹性力学有限元中形函数的构造 本质上是 致的 仅由于节点自由度的不同 形函数矩阵形式上 本质上是一致的。仅由于节点自由度的不同，形函数矩阵形式上 有所差异。 以3节点三角形单元为例： 节点三角形单元为例
Ni N 0 0 Ni Nj 0 0 Nj Nm 0 0 Nm
N N i
Nj
Nm

二维弹性力学形函数矩阵 维弹性力学形函数矩阵
Ni
二维温度场形函数矩阵 维温度场形函数矩阵
1 ( ai bi x ci y ) 2A
N i 完全一致
2.2 二维稳态温度场有限元-加权余量法
以伽辽金(Galerkin)法推导二维稳态温度场的有限元离散形式

T T (k x ) (k y ) Q 0 在 内 x x y y 在 1上 在 2上
1.3 基本概念

热能传递的三种基本方式：
热对流：是指由于流体的宏观运动而引起的流体各部分之间发生 相对位移，冷、热流体相互掺混所导致的热量传递过程。热对流 仅能发生在流体中 包括自然对流与强制对流 前者是由于流体 仅能发生在流体中。包括自然对流与强制对流，前者是由于流体 冷、热各部分的密度不同而引起的；后者是由于水泵、风机或其 他压差作用所造成的。 牛顿冷却公式
类似地，y，z方向的净热量： 即传入微元体的净热量为 即传入微元体的净热量为： 由热传导定律：热流密度与温度梯度 成正比 而方向相反 即 成正比，而方向相反，即： 代入上式得传入微元体净热量为： 传

q y
y q q y qz ( x )dxdydzdt x y z
dxdydzdt ,


T ＝ n
T
w
Tf

上述三类边界条件中 以第三类边界条件最为常见 上述三类边界条件中，以第三类边界条件最为常见。
1.3 基本概念

等温面：空间具有相同温度点的组合面。 等温线：某个特殊平面与等温面相截的交线。 温度梯度：对于一定温度场，沿等温面或等温线某法线方 向的温度变化率。温度梯度越大，图形上反映为等温面（ 或等温线）越密集 或等温线）越密集。
T
N N T N N T N k N d T k dT x x n y y
T
2.2 二维稳态温度场有限元-加权余量法
将前半部分与后半部分合并后，得到
N T N N T N T T k d T N N T N Ta d x x y y
2.2 二维稳态温度场有限元-加权余量法
将温度T在单元内离散，写成如下形式
T NT
其中N为形函数， T 为节点上的温度值，代入控制方程，得到余量为
NT R k x x
NT y y
N N k T x x y y
=
传入微元 的 净热量
+
微元内 产生 的热量
1.2 温度场基本方程
设微元在dt内温度升高为： 相应所积蓄的热量增量为：
T dt t T c dxdydz d d d d dt t T T
q q 同一时间内，微元体沿x方向传入和传 qx dydzdt (qx x dx)dydzdt x dxdydzdt 出的热量之差，即净热量为 x x
微元体温度升 高所需的热量 三个方向传入微 元体的净热量 微元体内热源 产生的热量
——物体密度 c ——比热，单位质量物体温度升高1度所需的热 量； k x ,k y , k z —— 热传导系数

1.2 温度场基本方程
整理得到温度场的基本方程如下：
c
T T T T (k x ) (k y ) (k z ) Q 0 t x x y y z z
为常数，则控制方程简化为
T ( x , y , t ) T (1 , t ) k T (Ta T ) n
为方便起见，不考虑内部热源项，并假设 k x k y k
T T k y 0 x x y
1.2 温度场基本方程

稳态热传导问题，温度场不随时间变化，仅仅是空间坐标的 关系 类似于力学问题中的弹性静力学问题 关系，类似于力学问题中的弹性静力学问题。
T f x , y , z

瞬态热传导问题，温度场不仅在空间上变化，还随着时间变 化 这种在空间域有限元离散后 得到的是一阶常微分方程 化。这种在空间域有限元离散后，得到的是一阶常微分方程 组，不能对它直接求解。


简 成 简写成 其中
KT P

不同的边界条件，此 项形式有所不同
K K1 K 2
K 2 N T NT d 边界单元温度刚度阵
N T N N T N 其中K 1 k d 即为内部单元温度刚度阵， x x y y

焊接
1.1 典型加工方法中的传热问题

铸造
1.1 典型加工方法中的传热问题

锻压
冷冲
热冲
1.1 典型加工方法中的传热问题

传热问题广泛出现在材料加工领域 温度场与宏观力学性能和微观组织变化关系密切
1.2 温度场基本方程

一般三维问题，物体各点的温度 是坐标和时间变化的，即
T T ( x, y , z , t )
第五讲 温度场的有限元分析

传热基本原理 稳态热传导问题有限元 瞬态热传导问题有限元 热应力的计算
1.1 典型加工方法中的传热问题

汽车各个典型部件的加工方法
焊接 注塑
冲压 铸造
1.1 典型加工方法中的传热问题
注塑 焊接
铸造
锻压
1.1 典型加工方法中的传热问题

注塑
1.1 典型加工方法中的传热问题
设微元体内有热源，其热源密度为Q(x,y,z,t)，则该热源在dt内所共给的 热量为：
Qdxdydzdt
据热平衡得一般热传导微分方程：
T T T T c dxdydz dt [ (k x ) (k y ) (k z )]dxdydzdt Qdxdydzdt t x x y y z z
q hT
h 为表面换热系数，不仅取决于流体物性，以及表面形状等，
还与流体速度有密切关系。
1.3 基本概念
1.3 基本概念

热能传递的三种基本方式：
热辐射： 物体通过电磁波来传递能量的方式称为辐射。物体会 因各种原因发出辐射能，其中因热的原因而发出辐射能的现象称 为热辐射。 为热辐射 Stefan-Boltzmann定理
q q z z dz z
qy
q y y
dy
qx dx x

热平衡原理：任一dt时间内，物 qx 体内任一微元体所积蓄的热量（ d 即温度升高所需的热量）等于传 z 入该微元体的热量与微元体内热 z y 源所产生的热量之和。 y
qx
qy
• Q d x
qz
x
d y
微元温度 升高 所需热量
N N k NT dT y x x y N N N T N N T N k N y dT k x x y y dT x
以平面三角形单元为例（在前文中已经介绍）
N i bi x 2A
N i ci y 2A
注意到采用三角形单元后，温度刚度阵各个部分均与坐标变量无关，即在单元内为常数。 将上述公式代入刚度阵后，得到
2.2 二维稳态温度场有限元-加权余量法
bi 2A b j bi K 1 kA 2A 2A b k 2A bi2 ci2 k 4A ci 2A c j ci bk 2A 2A 2A ck 2A bi bk ci ck b j bk c j ck 2 bk2 ck ck 2A