第五章：线性粘弹性与非线性粘弹性 第五章：
BUCT
Polymer Rheology
第五章： 第五章：线性粘弹性与非线性粘弹性
BUCT
第二节 线性粘弹理论
一、唯象学处理 4、动态粘弹性与稳态流变性的关系（Cox-Merz关系式） 动态粘弹性与稳态流变性的关系（Cox-Merz关系式 关系式）
& & η* (ω) = ηa (γ ) γ =ω & & G* (ω) = σ12 (γ ) γ =ω & & η' (ω) = ηc (γ ) γ =ω
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第二节 线性粘弹理论 真实材料：上述行为可用如下函数描述： 真实材料：上述行为可用如下函数描述：
R(γ , t ) = G (t )γ + O γ 3
( )
R（γ，t）是应力松弛函数，即一个大小为γ的单阶梯应变 是应力松弛函数，即一个大小为γ 作用之后时刻t的应力； 作用之后时刻t的应力；G（t）为线性应力松弛模量。当t=0+ 为线性应力松弛模量。 时的值G 称为初始模量 t=∞时的值记作 时的值G0，称为初始模量；t=∞时的值记作Ge，表示松弛过程 初始模量； 时的值记作G 完成之后所残余的应力（ Ge γ0 ）,称为平衡模量或残余弹性 称为平衡模量或残余弹性 完成之后所残余的应力（ 模量。 模量。
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第二节 线性粘弹理论 一、唯象学处理 1、应力松弛与松弛函数 当t=0时，使材料在瞬间发生一定量的形变，并维持恒定， t=0时 使材料在瞬间发生一定量的形变，并维持恒定， 即t＜0时，γ=0；t≥0时，γ=γ0=常数。 =0；t≥0时 常数。
第五章：线性粘弹性与非线性粘弹性 粘弹理论
一、唯象学处理 4、动态粘弹性与稳态流变性的关系
G' (ω) N1 lim = lim 2 2 & ω→0 γ →0 2γ & ω
& γ =ω
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第二节 线性粘弹理论
一、唯象学处理 4、动态粘弹性与稳态流变性的关系
& & lim η' (ω) = lim ηa (γ ) γ =ω
ω→0 & γ →0
（ω很小） 很小）
& & η' (ω) < ηa (γ ) γ =ω
t
（C）理想粘性流体
t
理想材料对应力史σ 理想材料对应力史σ(t)= σ 0H(t)的响应 H(t)的响应
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第二节 线性粘弹理论 蠕变函数： 蠕变函数：
C (σ , t ) = J (t )σ + O σ
J（t）：线性蠕变柔量 ）：线性蠕变柔量
粘弹性行为
τ*(t) τ
测量周期性应力 δ
Time γ (t)
t τ“)(
γ (t)
Time
t τ‘)(
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第二节 线性粘弹理论
一、唯象学处理 3、动态粘弹性与复数模量
G* = G' + iG" = G=
* ' 2
σ0 σ cos δ + i 0 sinδ γ0 γ0 = G*
γ (t ) = γ 0 H (t )
式中H 式中H（t）为Heaviside单位阶跃函数 Heaviside单位阶跃函数
0 H (t ) = 1 t<0 t≥0
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第二节 线性粘弹理论
一、唯象学处理 1、应力松弛与松弛函数 理想弹性体—这种形变历史的响应为： 理想弹性体—这种形变历史的响应为： σ=σ0（t） 对形变瞬时作出响应，并立刻达到平衡态， 对形变瞬时作出响应，并立刻达到平衡态，且与形变一样 在继后维持恒定水平的应力。 在继后维持恒定水平的应力。
（高频时） 高频时）
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第二节 线性粘弹理论
σ (t )
σ0
σ (t )
σ0
σ (∞ ) = 0
0
（b）粘弹流体
σ (∞ )
0
（a）粘弹固体
t
t
粘弹固体和粘弹流体对阶跃应变的响应 粘弹固体和粘弹流体对阶跃应变的响应
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第五章： 第五章：线性粘弹性与非线性粘弹性
第五章： 第五章：线性粘弹性与非线性粘弹性
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第二节 线性粘弹理论
γ (t )
γ0
σ (t )
σ0
σ (t )
σ (∞ )
t
（a）形变 （b）理想弹性体
t
（C）理想粘性流体
t
理想材料对形变史γ(t)=γ H(t)的响应 理想材料对形变史γ(t)=γ0H(t)的响应
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第二节 线性粘弹理论 一、唯象学处理 2、蠕变与蠕变函数 蠕变是指粘弹物体在应力保持不变的情况下，应变随时间 蠕变是指粘弹物体在应力保持不变的情况下， 的延长而增加的现象。 的延长而增加的现象。 理想弹性体： 理想弹性体： γ (t ) = γ 0 H (t ) 理想粘性流体： 理想粘性流体：
（剪切速率与振荡频率相当时） 剪切速率与振荡频率相当时）
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第二节 线性粘弹理论
第五章：线性粘弹性与非线性粘弹性 第五章：
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第二节 线性粘弹理论
一、唯象学处理 1、应力松弛与松弛函数 2、蠕变与蠕变函数 3、动态粘弹性与复数模量 理想弹性体 理想粘性体 粘弹体 Polymer Rheology
γ(t ) = γ 0 sinωt
σ(t ) = σ0 sin(ωt + δ)
( )
3
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第二节 线性粘弹理论
一、唯象学处理 1、应力松弛与松弛函数 2、蠕变与蠕变函数 3、动态粘弹性与复数模量 理想弹性体 理想粘性体 粘弹体
σ(t ) = σ0 sinωt
σ(t ) λ(t ) = = γ0 sinωt G σ0 λ0 = G
= σ0 sinωt cos δ + σ0 cos ωt sinδ
第五章：线性粘弹性与非线性粘弹性 第五章：
BUCT 施加周期性形变 施加周期性形变
固体（完全弹性）行为 固体（完全弹性） 流体（完全变形）行为 流体（完全变形） 变形
γ
τ*(t)
Time γ (t)
γ (t)
Time
τ*(t)
将粘弹性行为分割成 将粘弹性行为分割成 完全弹性与完全塑性行为 完全弹性与完全塑性行为
线性粘弹性理论：以上述研究为基础，完善于波尔兹曼 线性粘弹性理论：以上述研究为基础， （Boltzmann）叠加原理 Boltzmann）
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第二节 线性粘弹理论 研究线性粘弹行为的四种基本方法： 研究线性粘弹行为的四种基本方法： 维持恒定应变，观察材料内应力随时间的变化； 维持恒定应变，观察材料内应力随时间的变化； 维持恒定应变速率，观察材料内应力随时间的变化； 维持恒定应变速率，观察材料内应力随时间的变化； 在恒定应力作用下，观察材料形变的发展； 在恒定应力作用下，观察材料形变的发展； 观察材料对周期性负荷的响应。 观察材料对周期性负荷的响应。 线性粘弹性理论适用于处理小形变和小应变速率下 的行为
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第五章：线性粘弹性与非线性粘弹性 第五章：
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第二节 线性粘弹理论
一、唯象学处理 1、应力松弛与松弛函数 2、蠕变与蠕变函数 3、动态粘弹性与复数模量 理想弹性体 理想粘性体 粘弹体 Polymer Rheology
dγ(t ) σ(t ) σ0 sin ωt = = dt η η σ0 γ(t ) = = (1 − cos ωt ) ηω cos ωt = sin(90° − ωt )
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Mao Lixin Beijing University of Chemical Technology
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第一节 概 述
经典线性弹性理论： 经典线性弹性理论：受剪切物体的应力与剪切量成正比 牛顿流体：剪切应力与剪切速率成正比 牛顿流体： 多数材料：在适当条件下，既可以观察到弹性，也可以观察到粘 多数材料：在适当条件下，既可以观察到弹性， 这就是所谓的粘弹性 粘弹性。 性，这就是所谓的粘弹性。 理想弹性形变和完全粘性流动只是一种理想化的境界 理想弹性形变和完全粘性流动只是一种理想化的境界，只有在某 理想化的境界， 些极限条件下可以近似地实现。 些极限条件下可以近似地实现。