(xi
x)2
s2 1 n
n1i1
xi x 2
1 n1
n i1
xi2
nx2
ak
1 n
n i 1
xi k
bk
1 n
n i1
(xi
x)k
例1 设总体X 的数学期望和方差分别为
E(X), D (X)2
其样本为
X 1 ,X 2 , ,X n ,求 E ( X ) ,D ( X ) ,E ( S 2 ) .
k1
当 , 2 未知时，
均不是统计量。
X 12X 2 ,X 1 2/ 2
当 , 2 已知时，
均为统计量。
X 12X 2 ,X 1 2/ 2
几个常用的统计量
设
X,X,,X 1 2
是来自总体X 的一个样本，
n
1.样本均值
X
1 n
n k 1
Xk
2.样本方差
S2 1 n n1k1
中国矿业数理统计
§2.1 引言
数理统计问题可以分为两大类：
■如何科学地安排试验，以获取有效的随机数据。 ——描述统计学。 如：试验设计、抽样方法。 ■研究如何分析所获得的随机数据，对所研究的问题进行科学的、合理的估计和推断，尽可能地为采取 一定的决策提供依据，作出精确而可靠的结论. ——推断统计学。如：参数估计、假设检验等。
PxP n Xi2x
i1
2
n e d 2
12in1xi2
x1d
xn
n xi2x
i1
作球坐标变换
x 1
x 2
...
x n
r cos1 r cos1
r sin1
cos2...cosn1 cos2...sinn1
其中
21,2, ,n1 2, n
该变换的Jacobi行列式为
x1 x1 ... x1
212
n
(Xi )2~2(n)
i1
证明 因为
Xi ~N(,2) 所以
Xi~N(0,1), i1,2, ,n.
又 X1, X2 , … , Xn 相互独立，
X1,X2,
,X n
也相互独立。
分 布 由
2
的定义可知
n
i1
Xi2
~
2(n)
12
n
Xi
i1
2
~2(n)
2 分布的性质
（1） 设
X 1~2(n 1 )X ,2~2(n 2)且,X1,X2相
总体
有限总体 无限总体
总体可以用一个随机变量 X 及其分布来描述。
例如，研究某批灯泡的寿命时，
这批灯泡中每个
灯泡的寿命是我们所关心的指标.
此总体就可以用随机变量X或其分布函数
F ( x ) 表示.
F(x)P{Xx}
2.样本 样本：在总体中抽取的部分个体。 样本容量：样本中所含个体的数目n。
(X1,X2, ,Xn)
N (,2),X 1,X 2, ,X n
是X 的样本，
X 和 S 2 分别为样本均值和样本方差，则有
⑴ X ~ N(0,1) / n
⑵ X ~ t(n 1)
S/ n
证明 因为
X
1 n
n i 1
X 是样本 i
X1,X2,
,X的线性组 n
合，故
X~N(,2/n)，标准化后可得
X ~ N(0,1) / n
互独立，则
X 1X 2~2(n 1n2)
这个性质叫 分布的可加性。 2
(2) 若
X ~2(n) 则
E(X)=n, D(X)=2n
证明
XX 1 2X 22X n2 Xi ~N(0,1)
则
E (X i2 ) D (X i) E 2 (X i) 1
D ( X i 2 ) E ( X i 4 ) E 2 ( X i 2 ) 3 1 2
§2.1 引言
应用数理统计方法解决实际问题的基本步骤： （1）确定研究对象、研究目的； （2）数据收集与整理； （3）数据分析； （4）应用数据分析结果解决实际问题。
§2.2总体、样本与统计模型
1.总体
研究对象的某项数量指标值的全体称为总体。
总体中每个研究对象(元素)称为样本。
例如：◆咱们班男生的身高； ◆人的体温； ◆徐州地区下个月的气温； ◆徐州地区下个月的降雨量； ………………
(3) F 分布的分位点
对于给定的正数
,01称满足条件
P F F (n 1 ,n 2 )
的点 F (n1,n2)为 F(n1,n2) 分布的上
分位点.
F (n1,n2)
F1(n1,n2)F(n12,n1)
证明: 设
F~F(n1,n2)
由定义
1 P F F 1 (n 1 ,n 2 )
N(1,
1 2),N( 2,
) 2 的样本，并且这两个样
2
本相互独立，记
1 n1
X
n1
i 1
Xi,
Y
1 n2
n2
Yi ,
i1
S12
1 n1 n11k1(Xk
X)2
S22
1 n2
n2
1k1(Yk
Y)2
则有
⑴
S12/12 S22/22
~F(n1
1,n2
1)
⑵ 当
2 1
2 2
2时
X Y (1 2) ~ N(0,1) 11
定义 为了准确地进行判断，对抽样有所要求：
① 代表性：样本的每个分量 分布函数；
X 与总体X 有相同的 i
② 独立性：
X,X, ,X 1 2
为相互独立的随机变量，
n
满足以上条件的样本
(X1,X2,
,X)称为来自总体 n
X 的容量为n 的一个简单随机样本（简称样本）。
样本的一次具体实现 联合分布函数为
Xk
X
2
1 n1
n k1
X2k
nX2
3. 样本标准差 4.样本k 阶原点矩
S S2 n11i n1(Xi X)2 Ak 1 ni n1Xik k1,2, ,n.
5.样本k 阶中心矩
它们的观察值分别为：
x
1 n
n i 1
xi
Bk1 ni n1(Xi X)k, k1,2,
s
1n n1i1
g(X1,X2, ,Xn)为一个统计量。
g(x1,x2,,xn)为 g(X1,X2, ,Xn)的观测值。
注： g(X1,X2, ,Xn)仍为随机变量。
g(x1,x2,,xn) 是一个数。
例如 总体 则
X~N(,2), X1,X2,,Xn是一个样本，
n
2X1X2, X2nX21,
X 均为统计量。 k
P
x
Cn
0
x
r2
e2
rn1dr
其中 C n 2 2 2 n 2D 1 ,2 , ,n 1d1 dn 1
22
由 P1得
1Cn
r2
e2
rn1dr
tr2,r
0
2
2t
Cn 0et2n 21tn 21dt
n1
22 Cn
ettn21dt
0
1
2n21Cn
n 2
PF1 F1(1n1,n2)
PF 1F1(1n1,n2)
又因为
1/F~F(n2,n1)
所 以P F 1F(n2,n1)
故
F(n2,n1)F1(1n1,n2)
例1 设总体X , Y 相互独立
X~N (0,32),Y~N (0,32),
其样本为
X 1 ,X 2 , ,X 9和 Y 1 ,Y 2 , ,Y 9 ,试求统计量
X 1,X 2, ,X 15,求 Y2X X 1 2 1 2 1 X X 1 2 0 1 2 5的 分 布 .
解 由已知得
Xi ~N(0,4)
所以 UX1 2X2 2 X1 2 0~2(10)
4
VX1 2 1X1 2 2 X1 2 5~2(5)
4
故 YU/10 X1 2 X1 2 0 ~F(10,5). V/5 2X1 2 1 X1 2 5
服从自由度为
n1及 n2 的F分布，
记作 F ~ F ( n1,n2)。
性质 (1) 由定义可知， (2) 若X ~ F(n1,n2)，则
1 Y n2 ~ F(n2,n1) F X n1
E(X )
n2
,
n2 > 2
n2 2
D(X) n2 2(2n12n2 4) , n2>4 n1(n2 2)2(n2 4)
记作 T～t (n)。
t 分布的概率密度为
n1
f x;nnn1n/221xn2 2
t 分布的 性质 （1）设T~t(n)，则 E(T) = 0, D(T) = n / (n-2), n >2
（2）t 分布的概率密度关于x = 0 对称 当 n 充分大时，其图形类似于标准正态分布 概率密度的图形。 但对于较小的 n，t 分布与N (0,1) 分布相差
所以
E(2)nE(Xi2)n
D (2)nD (Xi2)2n
2 分布的分位点
对于给定的正数
, 0 1称满足条件
P2 2(n)
的点
2
(n)
为
2 (n) 分布的上
分位点.
2
(n
)
2. t 分布
设X～N(0,1) , 则称变量
(n) Y～
2
, 且X与Y相互独立，
T X Yn
所服从的分布为自由度为 n 的 t 分布.
X1 X2 X9 服从什么分布？