第8章　多样样率数字信号处理
1．图8-1是一个由正交镜像滤波器（QMF）所构成的二带分析/合成系统原理图。

图8-1中的高低通滤波器是一对QMF滤波器。

请利用Z变换知识证明：LPF和HPF的系统
传递函数，必须满足下式条件：[南京邮电大学2001研]
方可做到不失真分带/合带，即合成后的信号y（n）与输入信号s（n）相同。

图8-1
证明：将各信号在图8-2中标出：
图8-2
则有：
为使，则的系数为1，S（－z）的系数为0。

因此有：
按照QMF组中的关系，应是在频域中平移兀角的结果，即：
故：
图8-3
（2）当1T ＝0.01s ，2T ＝0.02s 时，信号y s （t ）、y r （t ）的频谱图如图8-4所示：
图8-4
将（1）时系统的输出记为y 1（t ），将（2）时系统的输出记为y 2（t ）。

比较两图可
知，Y 1（jω）＝2Y 2（j2ω），其时域等价表示为y 1（t ）＝y 2（
2
t ）。

由此可知，当D/A 的频率与A/D 的频率不同时，输出信号将会变化一个尺度因子。

1．以20kHz 的采样率对最高频率为10kHz 的带限信号
采样，然后计算
x （n ）的N ＝1000个采样点的DFT ，即：
（1）求k ＝150对应的模拟频率是多少？k ＝800呢？
（2
）求频谱采样点之间的间隔为多少？[
华南理工大学2007研]
解：（1
）根据数字频率与模拟频率的关系得：N 点的离散傅里叶变换DFT 是对离散信号的傅里叶变换DFT
在N 个频率点上的采样，即：
所以，X （k ）对应的模拟频率为：
所以，当N ＝1000时，序号k ＝150
对应的模拟频率是
f ＝3kHz 。

当k ＝800
时：
当N ＝1000时，，此时对应的模拟频率为：
（2）由N 可得频谱采样点之间的间隔为：
3．已知连续时间信号：
，对
该信号进行抽样，抽样频率为4kHz ，得到抽样序列x[n]
，求x[nJ 的表达式。

[北京大学2005研]
解：已知连续时间信号为：
抽样频率后，直接令t ＝n s T ，代入
x a （t ）得x （n ），即：
4．利用数字系统处理模拟信号的框图如图8-5所示，其中X （jw ）为连续信号x （t ）的频谱，)(Ωj e H 是离散系统h[k]的频率响应。

当抽样间隔s T 40
1=时，试画出信号x[k]、y[k]
、y （t ）的频谱。

[北京交通大学2004研]
图8-5
解：因为抽样间隔为s T 40
1=
，则幅度最大值为1/T ＝40。

信号x[k]的频谱图如图8-6所示
图
8-6x[k]的频谱滤去（－0.75π，0.75π）之间的频谱为y[k]。

则信号y[k]的频谱图如图8-7所示
图8-7
信号y （t ）的频谱如图8-8所示
图8-8
5．利用数字系统处理模拟信号的框图如图8-9所示，其中x （f ）为连续信号x （t ）的频谱，)(Ωj e H 是离散系统h[k]的频率响应。

[北京交通大学2003研]。