第2讲 论圆题一：如图所示，放在水平转台上的小物体C 、叠放在水平转台上的小物体A 、B 能始终随转台一起以角速度ω匀速转动。

A 、B 、C 的质量分别为3m 、2m 和m ，A 与B 、B 与转台、C 与转台间的动摩擦因数均为μ，B 、C 离转台中心的距离分别为r 和32r 。

已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g ，则以下说法中正确的是（ ）A ．B 对A 的摩擦力一定为3μmgB ．C 与转台间的摩擦力等于A 、B 两物体间摩擦力的一半C ．转台的角速度一定满足ω≤23gr μ D ．转台的角速度一定满足ω≤grμ题二：如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m 的两个物体A 和B ，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为R A ＝r ，R B ＝2r ，与圆盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（ ）A ．此时绳子张力为3μmgB ．此时圆盘的角速度为2μgrC ．此时A 所受摩擦力方向沿半径指向圆外D ．此时烧断绳子，A 仍相对盘静止，B 将做离心运动题三：一行星与地球运动情况相似，此行星运动一昼夜的时间为a 秒。

用同一弹簧测力计测某物体重力，在赤道处的读数是两极处的b 倍（b 小于1），万有引力常量为G ，则此行星的平均密度为（ ）A ．230Ga b πB ．223Ga b πC ．2230(1)Ga b π-D ．23(1)Ga b π-题四：一宇航员在某一行星的极地着陆时，发现自己在当地的重力是在地球上重力的0.01。

进一步研究还发现，该行星一昼夜的时间与地球一昼夜的时间相等，而且物体在其赤道上好像完全失去了重力，试计算这一行星的半径R （结果保留两位有效数字）。

题五：将一可视为质点的物体b 放在粗糙的水平桌面上，用一质量可忽略不计的轻绳穿过摩擦可忽略的小孔O 与一可视为质点的小球a 连接。

第一次给小球a 一定的初速度使其在水平面内做匀速圆周运动，第二次改变小球a 的速度，使其在水平面内做圆周运动的轨道半径增大，整个过程中物体b 始终处于静止状态。

则（ ）A．第二次轻绳的拉力比第一次小B．第二次小球a的角速度比第一次小C．第二次物体b的摩擦力比第一次大D．第二次物体b所受的支持力比第一次大题六：用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图所示。

设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为F T，则F T随ω2变化的图像是下图中的（）题七：如图所示，有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，MN是通过椭圆中心O 点的水平线．已知一小球从M点出发，初速率为v0，沿管道MPN运动，到N点的速率为v1，所需时间为t1；若该小球仍由M点以初速率v0出发，而沿管道MQN运动，到N点的速率为v2，所需时间为t2。

则（）A．v1＝v2，t1＞t2B．v1<v2，t1>t2C．v1＝v2，t1<t2D．v1<v2，t1<t2题八：如图，在竖直平面内有一内壁光滑的抛物线形圆管道OM，管道内径均匀，上方端点O 切线水平。

直径与管道内径相等的小球从O点无初速度滑入管道，则（）A．小球在管道内做平抛运动B．小球在管道内运动时可能不受管道的弹力作用C．小球在P点受到管道的弹力垂直管壁且沿图中a方向D．小球在P点受到管道的弹力垂直管壁且沿图中b方向题九：如图所示，一半径为R、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平。

一质量为m 的质点自P 点上方高度R 处由静止开始下落，恰好从P 点进入轨道。

质点滑到轨道最低点N 时，对轨道的压力为4mg ，g 为重力加速度的大小。

用W 表示质点从P 点运动到N 点的过程中克服摩擦力所做的功。

则（ ）A ．W ＝12mgR ，质点恰好可以到达Q 点B ．W ＞12mgR ，质点不能到达Q 点C ．W ＝12mgR ，质点到达Q 点后，继续上升一段距离D ．W ＜12mgR ，质点到达Q 点后，继续上升一段距离题十：如图所示，小球从离地高为H 的位置A 由静止释放，从C 点切入半圆轨道后最多能上升到离地面高为h 的B 位置。

再由B 位置下落，再经轨道由C 点滑出上升到离地高为h'的位置，速度减为零，不计空气阻力，则（ ）A ．(H －h )>(h －h ')B ．(H －h )<(h －h ')C ．(H －h )＝(h －h ')D ．不能确定(H －h )与(h －h ')的大小关系题十一：如图所示，一质量m ＝1.0 kg 的小滑块（可视为质点）从水平地面AB 的左侧A 点以v 0＝12 m/s 的初速度水平向右运动，从B 点进入光滑竖直圆形轨道运动一周后，离开圆形轨道继续沿水平地面BD 向右运动，经D 点冲向一倾角θ＝37°的斜面，斜面上固定有与斜面平行的轻质弹簧。

当小滑块运动至E 点时，弹簧被压缩至最短，此时弹簧弹性势能E p ＝38.8 J 。

已知AB 长L 、BD 长L 1均为11.5 m ，圆轨道半径R ＝2.0 m ，小滑块与水平地面和斜面轨道间的动摩擦因数均为μ＝0.10，不考虑小滑块过D 处时的机械能损失。

取重力加速度大小g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。

求：（1）小滑块经过B 点时的速度大小v B ；（2）小滑块经过圆形轨道最高点C 时受到轨道向下的作用力大小F ； （3）小滑块沿斜面上滑的最大距离s DE 。

题十二：如图是翻滚过山车的模型，光滑的竖直圆轨道半径R ＝2 m ，入口的平直轨道AC 和出口的平直轨道CD均是粗糙的，质量m＝2 kg的小车与水平轨道之间的动摩擦因数均为μ＝0.5，加速阶段AB的长度l＝3 m，小车从A点由静止开始受到水平拉力F＝60 N的作用，在B点撤去拉力，取g＝10 m/s2，试问：（1）要使小车恰好通过圆轨道的最高点，小车在C点的速度为多大？（2）满足（1）的条件下，小车能沿着出口平直轨道CD滑行多远的距离？（3）要使小车不脱离轨道，求平直轨道BC段的长度范围。

论圆题一：BC详解：对物体A 受力分析可知，物体A 受重力、支持力及物体B 对A 的静摩擦力。

其中静摩擦力提供物体A 随转台一起做匀速圆周运动的向心力，故有F fA ＝3mω2r ≤3μmg ，选项A 错误；由于物体C 与物体A 、B 转动的角速度相同，故物体C 与转台之间的静摩擦力大小为F fC＝32mω2r ＝12F fA ，选项B 正确；欲使物体A 、B 、C 始终能随转台一起转动，则对物体A 、B 有（3m ＋2m ）ω2r ≤μ（3m ＋2m ）g ，即ω2r ≤μg ；对物体C 有32mω2r ≤μmg ，即ω2r ≤23μg ；对物体A 有：3mω2r ≤3μmg ，即ω2r ≤μg ；以上各式联立求解可得：ω，选项C正确、D 错误。

题二：ABC详解：两物体刚好要发生滑动时，A 受背离圆心的静摩擦力，B 受指向圆心的静摩擦力，其大小均为μmg ，则有F T －μmg ＝mω2r ，F T ＋μmg ＝mω2·2r ，解得F T ＝3μmg ，ω＝2μg r，故A 、B 、C 正确；当烧断绳子时，A 所需向心力为F ＝mω2r ＝2μmg ＞F f m ，F f m ＝μmg ，所以A 将发生滑动，D 错误。

题三：D详解：在赤道处有：21224Mm G G m r r a π=+，在两极有：22Mm G G r =，已知12G b G =，MVρ=，343V r π=，联立可得密度为23(1)Ga b π-。

故D 正确。

综上本题选D 。

题四：1.9×107m详解：设行星的半径为R ，以角速度ω自转，由宇航员在极地的受力分析知，行星对物体m 的引力满足F 引＝mg'＝0.01mg ，即有g'＝0.01g （g 为地球上的重力加速度）。

当该物体位于赤道上时，有mω2R ＝mg'－F N ，F N 为行星表面对物体的支持力，依题意有F N ＝0。

考虑到ω＝2Tπ，有T ＝24×3600 s＝8.64×104 s 。

得R ＝224T πg'＝1.9×107m 。

题五：C详解：对小球a 受力分析如图所示，则拉力T ＝cos mgθ，当轨道越高时，θ越大，cos θ越小，T 越大，A 错误；设绳长为l ，由合力F ＝mg tan θ＝ml sin θ·224Tπ知，周期T＝θ越大，周期T 越小，角速度越大，B 错误；物体b 所受摩擦力等于绳子的拉力，因θ变大时拉力变大，故摩擦力也变大，C 正确；物体b 在竖直方向上对桌面的压力等于重力，D 错误。

题六：C详解：小球角速度ω较小，未离开锥面时，设细线的张力为F T ，细线的长度为L ，锥面对小球的支持力为F N ，则有F T cos θ＋F N sin θ＝mg ，F T sin θ－F N cos θ＝mω2L sin θ，可得出：F T ＝mg cos θ＋mω2L sin 2θ，可见随ω由0开始增加，F T 由mg cos θ开始随ω2线性增大，当角速度增大到小球飘离锥面时，F T ·sin α＝mω2L sin α（α为细线与竖直方向的夹角），得F T ＝mω2L ，可见F T 随ω2的增大仍线性增大，但图线斜率增大了，且该图线经过（0，0）点，综上所述，只有C 正确。

题七：A 详解：由于椭圆形管道内壁光滑，小球不受摩擦力作用，因此小球从M 到N 过程机械能守恒，由于M 、N 在同一高度，根据机械能守恒定律可知，小球在M 、N 点的速率相等，B 、D 项错误；小球沿MPN 运动的过程中，速率先减小后增大，而沿MQN 运动的过程中，速率先增大后减小，两个过程运动的路程相等，到N 点速率都为v 0，根据速率随时间变化关系图象可知，由于两图象与时间轴所围面积相等，因此t 1>t 2，A 项正确，C 项错误。

题八：D详解：由题意，小球从O 点无初速度滑入管道，而平抛运动的物体仅受重力且有一定的初速度，选项A 错误；小球在运动过程中，水平方向的速度逐渐增大，需要下管壁对它有力的作用，因而除了受到重力，还受到管道的弹力，垂直管壁且沿图中b 方向，选项BC 错误、D 正确。

综上本题选D 。

题九：C详解：根据动能定理得P 点动能E k P ＝mgR ，经过N 点时，由牛顿第二定律和向心力公式可得4mg －mg ＝m v 2R ，所以N 点动能为E k N ＝3mgR2，从P 点到N 点，根据动能定理可得mgR －W ＝E k N－E k P ，即克服摩擦力做功W ＝12mgR 。