跟踪演练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数. 解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4， ∴l＝4－2R，根据扇形面积公式 S＝12lR， 得 1＝12(4－2R)·R， ∴R＝1，∴l＝2，∴α＝Rl ＝12＝2， 即扇形的圆心角为2 rad.
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1.若α＝－3，则角α的终边在第 三 象限. 解析 ∵α＝－3 rad＝－3×57.30°＝－171.90°，而 －171.90°为第三象限角， ∴α＝－3为第三象限角.
[预习导引] 1.弧度制 (1)弧度制的定义 长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作
1 rad .用 弧度 作为角的单位来度量角的单位制称为 弧度制 .
(2)任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是 正数 ；负角的弧度数是 负数 ；零角的弧度数 是0.
(3)角的弧度数的计算
)°≈57.30°
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧
度
0
π 180
π 6
π 4
π 3
π 2
2π 3
34π
5π 6
π
3π 2 2π
3.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为r，弧长为l，α(α≤2π)为其圆心角，则
∵r>0，l＝a－2r>0，∴0<r<a2， ∴当 r＝4a时，Smax＝1a62.此时，l＝a－2·4a＝2a，
∴α＝rl＝2.故当扇形的圆心角为 2 rad 时，扇形的面积最 大，最大为1a62 .
规律方法 (1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一 是 S＝12lr＝21|α|r2，二是 l＝|α|r，如果已知其中两个，就可 以求出另一个. (2)当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是 把面积 S 转化为 r 的函数.
β2＝－3π＝－60°，设 γ＝－60°＋k·360°(k∈Z)， 则由－720°≤－60°＋k·360°<0°，得k＝－1，或k ＝0. 故在[－720°，0°)范围内，与β2终边相同的角是－ 420°.
要点三 扇形的弧长及面积公式的应用 例3 已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时， 扇形的面积最大，并求这个最大值. 解 设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.由已 知，2r＋l＝a，即l＝a－2r. ∴S＝12l·r＝12(a－2r)·r＝－r2＋a2r ＝－r－a42＋1a62 .
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的 l
弧度数的绝对值是|α|＝ r .
2.角度制与弧度制的换算
(1)
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝ π rad
π rad＝ 180°
π
1°＝180 rad≈0.017 45 rad
1
rad＝(
180 π
要点二 用弧度制表示终边相同的角 例2 把下列各角化成2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指 出是第几象限角： (1)－1 500°； 解 ∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.
∴－1 500°可化成－10π＋53π，是第四象限角.
(2)236π； 解 ∵236π＝2π＋116π， ∴236π与116π终边相同，是第四象限角.
(1)将 α1，α2 用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的
象限； 解 ∵180°＝π rad， ∴α1＝－570°＝－517800π＝－196π＝－2×2π＋56π， α2＝750°＝715800π＝256π＝2×2π＋π6. ∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限.
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，0°)范围内找出 与它们终边相同的所有角. 解 β1＝35π＝35π×18π0°＝108°， 设θ＝108°＋k·360°(k∈Z)， 则由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k·360°<0°， 得k＝－2，或k＝－1. 故在[－720°，0°)范围内，与β1终边相同的角是－612°和－ 252°.
度量单位类别 α 为角度制
α 为弧度制
扇形的弧长 扇形的面积
l＝1α8π0r
S＝
απr2 360
l＝|α|·r
S＝
1 2l·r
＝12|α|·r2
要点一 角度制与弧度制的换算 例1 将下列角度与弧度进行互化. (1)20°；
解 20°＝2108π0＝π9.
(2)－15°； 解 －15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2； 解 71π2＝172×180°＝105°.
(3)－4. 解 ∵－4＝－2π＋(2π－4)， π2＜2π－4＜π. ∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角. 规律方法 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时， 其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与 弧度制不能混用.
跟踪演练 2 设 α1＝－570°，α2＝750°，β1＝35π，β2＝－π3.
(4)－115π. 解 －115π＝－151×180°＝－396°.
规律方法 (1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系 式：π rad＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的 对应值.
跟踪演练1 (1)把112°30′化成弧度； 解 112°30′＝2225°＝2225×1π80＝58π. (2)把－51π2化成度. 解 －51π2＝－51π2×1π80°＝－75°.
[知识链接]
1.初中几何研究过角的度量，当时是用度来作为单位度量
角的.那么1°的角是如何定义的？它的大小与它所在圆的
大小是否有关？
答
规定周角的
1 360
作为1°的角；它的大小与它所在圆
的大小无关.
2.用度作为单位来度量角的制度叫做角度制，在初中有了 它就可以计算扇形弧长和面积，其公式是什么？ 答 l＝1n8π0r，S＝n3π6r02.
第一章——
三角函数
1.1.2 弧度制
[学习目标]
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关 系. 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
1 预习，个个击破 当堂训练，体验成功