是自反的、对称的和可传递的，则称R为U上的等
价关系。若，(x,y) R 则称x与y有关系，记
为 xRy ；若 (x,y) R ，则称x与y没有关系，记
为x
_
R
y。等价关系的一个重要特点是用它可以构
成U的一个划分。划分即是分类，将研究对象分成
不同的类，这些类之间互不相交，且每一对象均
包含在某一类中。
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❖ 粗糙集方法仅利用数据本身提供的信息，无须任何 先验知识。
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第11章
粗糙集理论: 5
❖ 粗糙集是一个强大的数据分析工具，它能表达和处 理不完备信息；能在保留关键信息的前提下对数据 进行化简并求得知识的最小表达式；能识别并评估 数据之间的依赖关系，揭示出概念的简单模式；能 从经验数据中获取易于证实的规则知识。
❖ 定义11-2 K=(U,R)其中K为知识库，U为全体对象 的集合称为论域，R为论域U上的等价关系(等价关 系与分类的概念等同)，它是一种属性或多种属性 的集合。可以根据不同的R对U进行不同形式的分类。 知识库也被1
❖ 定义11-3 K=(U,P)和M=(U,Q)是两个知识库，若 IND(P)=IND(Q)，则称K和M(或Q和P)是等价的， 记作 P Q (或者)K M。因此，当K和M是同样的基本 范畴集时，知识库K和M中的知识都能使我们确切地 表达关于论域的完全相同的事实。这个概念意味着 可以用不同的属性集对对象进行描述，以表达关于 论域的完全相同的事实。
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第11章
粗糙集理论: 3
❖ 粗糙集在机器学习、决策支持系统、机器发现、归 纳推理、数据库中的知识发现、模式识别等领域都 得到了广泛的应用。
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第11章
粗糙集理论: 4
11.1粗糙集基本概念
❖ 粗糙集应用于数据挖掘领域，能提高对大型数据库 中的不完整数据进行分析和学习的能力，具有广泛 的应用前景和实用价值。
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第11章
粗糙集理论: 8
11.1.1 知识和知识库
❖ 知识是人类通过实践对客观世界的运动规律的 认识，是人类实践经验的总结和提炼，具有抽象和 普遍的特性。
❖ 从认知科学的观点来看，知识来源于人类对客 观事物的分类能力，概念是事物类别的描述或者符 号，知识则是概念之间的关系和联系。任何一个物 种都是由一些知识来描述与分类的，利用物种的不 同属性知识描述来产生对物种的不同分类。
❖ 对于两个知识库K=(U,P)和M=(U,Q)，当 IND(P) IND(Q) 时，称知识库P比知识库Q更精细，或者说Q比P更粗 糙。当P比Q更精细时，我们称P为Q的特化，Q为P的 推广。由以上可知，推广是将某些范畴组合在一起， 而特化则是将范畴分割成更小的单元。
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第11章
粗糙集理论: 12
11.1.2 不可分辨关系
第11章
粗糙集理论: 14
❖ 定义11-5 设U是一个论域，R是U上的等价关系， U/R表示U上由R导出的所有等价类。
❖ [x]R 表示包含元素x∈U的R等价类。一个知识库就是 一个关系系统K ={U ,P}，其中U是论域，P是U上的 一个等价类簇。如果 Q P 且 Q ，则 Q (Q的 所有等价类的交也是一个等价关系)，称Q为不可分 辨关系,记作IND(Q)。
数据挖掘原理与SPSS Clementine应用宝典
元昌安 主编 邓 松 李文敬 刘海涛 编著
电子工业出版社
第11章
粗糙集理论: 1
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第11章 粗糙集理论
本章包括：
粗糙集的基本概念 知识表达 粗糙集在数据预处理中的应用
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第11章
粗糙集理论: 2
❖ 粗糙集理论是由波兰华沙理工大学Pawlak教 授于20世纪80年代初提出的一种研究不完整、 不确定知识和数据的表达、学习、归纳的理 论方法，它是一种刻画不完整性和不确定性 的数学工具，能有效地分析不精确、不一致 ( inconslsteni)、 不 完 整 ( incomPlete) 等 各 种不完备的信息，还可以对数据进行分析和 推理，从中发现隐含的知识，揭示潜在的规 律。
❖ 在粗糙集理论中，“知识”被认为是一种分类的能 力。不可分辨关系的概念是粗糙集理论的基石，它 揭示出论域知识的颗粒状结构。假定关于论域的某 种知识，并使用属性和属性值来描述论域中的对象， 如果两个对象(或对象集合)具有相同的属性和属性 值，则它们之间具有不可分辨关系。
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第11章
粗糙集理论: 13
❖ 定义11-4 设R是非空集合U上的二元系，如果它
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第11章
粗糙集理论: 6
❖ 粗糙集的研究对象是由一个多值属性(特征、症状、 特性等)集合描述的一个对象(观察、病历等)集合， 对于每个对象及其属性都有一个值作为其描述符号， 对象、属性和描述符是表达决策问题的3个基本要 素。
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第11章
粗糙集理论: 7
❖ 粗糙集理论逐渐应用于数据挖掘领域中，并在对大 型数据库中不完整数据进行分析和学习方面取得了 显著的成果，使得粗糙集理论及数据挖掘的研究成 为热点领域。最近几年，粗糙集理论越来越受到众 多研究人员的重视，它的应用研究得到了很大的发 展。
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第11章
粗糙集理论: 15
11.1.3 上、下近似集
❖ 给定论域U，一族等价关系R将U划分为互不相交的 基本等价类U/R。令 XgU为R上的一个等价关系。
❖ 当能表达成某些基本等价类的并集时，称为可定义 的；否则称为不可定义的。R可定义集能在这个知 识库中被精确地定义，所以又称为R精确集。
❖ R不可定义集不能在这个知识库中被精确定义，只 能通过集合逼近的方式来刻画，因此也称为R粗糙 集 (Roughset)。
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第11章
粗糙集理论: 9
❖ 集合上的等价关系和集合上的划分是一一对应，相 互唯一决定的。从数学意义上讲，集合上的等价关 系和集合的划分是等价的概念，即划分就是分类。
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第11章
粗糙集理论: 10
❖ 定义11-1 设U 讨论的对象组成的有限集合，称为 论域(Universe)，对于论域中由等价关系划分出来 的任意子集，都可以称为论域U中的一个概念 (concept)或范畴(category)。为规范起见，认为 空集必也是一个概念。论域U中的任意概念族称为 关于论域的抽象知识，它代表了对论域中个体的分 类，简称为知识。