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八年级数学等腰三角形专项练习

1.如图,在△ABC中,AB=AC=10,AD=BD,△BCD的周长为17,那么BC的长是()A.5B.7C.12D.以上都不对2.如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,则∠DBC等于()A.∠ABC B.2∠A C.∠A D.∠A3.如图,下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是()A.∠B=∠C B.AD⊥BC,∠BAD=∠CADC.AD⊥BC,BD=CD D.AD⊥BC,∠BAD=∠ACD4.在平面直角坐标系中,点A坐标为(2,2),点P在x轴上运动,当以点A,P、O为顶点的三角形为等腰三角形时,点P的个数为()A.2个B.3个C.4个D.5个5.如图,在△ABC中,已知∠ACB=90°,AB=10cm,AC=8cm,动点P从点A出发,以2cm/s的速度沿线段AB向点B运动.在运动过程中,当△APC为等腰三角形时,点P出发的时刻t可能的值为()A.5B.5或8C.D.4或6.如图,在△MBC中,AB=4,AC=6,∠ABC和∠ACB的平分线交于O点,过点O作BC的平行线交AB于M点,交AC于N点,则△AMN的周长为()A.7B.8C.9D.107.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,D、E两点分别在边AC、BC上,BD平分∠ABC,DE∥AB.图中的等腰三角形共有()A.3个B.4个C.5个D.6个8.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,ED∥BC,已知AB=5,AD=2,则△AED 的周长为()A.4B.5C.6D.79.如图,已知AE平分∠BAC,BE⊥AE于E,ED∥AC,∠BAE=36°,那么∠BED 的度数为()A.108°B.120°C.126°D.144°10.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G,过点G作EF∥BC 交AB于E,交AC于F,过点G作GD⊥AC于D,下列四个结论:①EF=BE+CF;②∠BGC=90°+∠A;③点G到△ABC各边的距离相等;④设GD=m,AE+AF=n,=mn.其中正确的结论有()则S△AEFA.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④11.如图,在等边三角形ABC中,在AC边上取两点M、N,使∠MBN=30°.若AM=m,MN=x,CN=n,则以x,m,n为边长的三角形的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随x,m,n的值而定12.等腰三角形一腰上的中线将其周长分为8和12两部分,则它的底边长是.13.如图,O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点,OD∥AB交BC于D,OE∥AC交BC于E,若BC=17cm,则△ODE的周长是cm.14.如图,若B,D,F在AN上,C,E在AM上,且AB=BC=CD=ED=EF,∠A=20o,则∠FEM=.15.如图,△ABC为等边三角形,∠BAD=15°,∠DAE=80°,AD=AE,则∠EFC=°.16.如图,在△ABC中,AB=BC=4,AC=3,过点A的直线DE∥BC,∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E、D,则DE的长为.17.如图,AD是△ABC的边BC上的高,由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是.①∠BAD=∠ACD;②∠BAD=∠CAD;③AB+BD=AC+CD;④AB﹣BD=AC﹣CD.18.设a、b分别是等腰三角形的两条边的长,m是这个三角形的周长,当a、0b、m满足方程组时,m的值是.19.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为46°,则底角∠B的大小为.20.如图所示,在△ABC中,∠B=∠C,D是BC上一点,E是AC上一点,连接AD、DE,若∠ADE=∠AED,∠EDC=15°,则∠BAD=.21.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BD是∠ABC的平分线,交AC于点D,E是AB的中点,连接ED并延长,交BC的延长线于点F,连接AF,求证:(1)EF⊥AB;(2)△ACF为等腰三角形.22.如图,△ABC中,AB=BC=AC=12cm,现有两点M、N分别从点A、点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1cm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时,M、N同时停止运动.(1)点M、N运动几秒后,M、N两点重合?(2)点M、N运动几秒后,可得到等边三角形△AMN?(3)当点M、N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN?如存在,请求出此时M、N运动的时间.23.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在BC上,且BD=BA,点E在BC的延长线上,且CE=CA.(1)试求∠DAE的度数.(2)如果把原题中“AB=AC”的条件去掉,其余条件不变,那么∠DAE的度数会改变吗?为什么?24.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,D为BC边上一点,∠DAB=45°.(1)求∠DAC的度数;(2)请说明:AB=CD.25.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高线,BE⊥AC于点E,∠BAD=∠CBE.求证:AB=AC.26.现在给出两个三角形,请你把图(1)分割成两个等腰三角形,把图(2)分割成三个等腰三角形.要求:在图(1)、(2)上分割:标出分割后的三角形的各内角的度数.27.如图1,在△ABC中,∠BAC=75°,∠ACB=35°,∠ABC的平分线BD交边AC 于点D.(1)求证:△BCD为等腰三角形;(2)若∠BAC的平分线AE交边BC于点E,如图2,求证:BD+AD=AB+BE;(3)若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E,请你探究(2)中的结论是否仍然成立?直接写出正确的结论.28.如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D在BC所在的直线上,点E在射线AC 上,且AD=AE,连接DE.(1)如图①,若∠B=∠C=35°,∠BAD=80°,求∠CDE的度数;(2)如图②,若∠ABC=∠ACB=75°,∠CDE=18°,求∠BAD的度数;(3)当点D在直线BC上(不与点B、C重合)运动时,试探究∠BAD与∠CDE 的数量关系,并说明理由.参考答案与试题解析一.选择题(共11小题)1.如图,在△ABC中,AB=AC=10,AD=BD,△BCD的周长为17,那么BC的长是()A.5B.7C.12D.以上都不对【解答】解:∵AD=BD,AC=AD+CD,∴BD+CD=AD+CD=AC,=BC+CD+BD=BC+AC=BC+10=17,∴C△BCD∴BC=7.故选:B.2.如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,则∠DBC等于()A.∠ABC B.2∠A C.∠A D.∠A【解答】解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=(180°﹣∠A),∵BD⊥AC,∴∠DBC=90°﹣∠C=90°﹣(180°﹣∠A)=∠A,故选:C.3.如图,下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是()A.∠B=∠C B.AD⊥BC,∠BAD=∠CADC.AD⊥BC,BD=CD D.AD⊥BC,∠BAD=∠ACD【解答】解:A、∵∠B=∠C,∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形,故本选项不符合题意;B、∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,在△ADB和△ADC中∴△ADB≌△ADC(ASA),∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形,故本选项不符合题意;C、∵AD⊥BC,BD=CD,∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形,故本选项不符合题意;D、根据AD⊥BC和∠BAD=∠ACD不能推出△ABC是等腰三角形,故本选项符合题意;故选:D.4.在平面直角坐标系中,点A坐标为(2,2),点P在x轴上运动,当以点A,P、O为顶点的三角形为等腰三角形时,点P的个数为()A.2个B.3个C.4个D.5个【解答】解:如图,当OA=OP时,可得P1、P2满足条件;当PA=PO时,可得P3满足条件;当AO=AP时,可得P4满足条件,故选:C.5.如图,在△ABC中,已知∠ACB=90°,AB=10cm,AC=8cm,动点P从点A出发,以2cm/s的速度沿线段AB向点B运动.在运动过程中,当△APC为等腰三角形时,点P出发的时刻t可能的值为()A.5B.5或8C.D.4或【解答】解:如图,∵在△ABC中,已知∠ACB=90°,AB=10cm,AC=8cm,∴由勾股定理,得BC==6cm.①当AP=AC时,2t=8,则t=4;②当AP=PC时,过点P作PD⊥AC于点D,则AD=CD,PD∥BC,∴PD是△ABC的中位线,∴点P是AB的中点,∴2t=5,即t=;③若AC=PC=8cm时,与PC<AC矛盾,不和题意.综上所述,t的值是4或;故选:D.6.如图,在△MBC中,AB=4,AC=6,∠ABC和∠ACB的平分线交于O点,过点O作BC的平行线交AB于M点,交AC于N点,则△AMN的周长为()A.7B.8C.9D.10【解答】解:∵BO为∠ABC的平分线,CO为∠ACB的平分线,∴∠ABO=∠CBO,∠ACO=∠BCO,∵MN∥BC,∴∠MOB=∠OBC,∠NOC=∠BCO,∴∠ABO=∠MOB,∠NOC=∠ACO,∴MB=MO,NC=NO,∴MN=MO+NO=MB+NC,∵AB=4,AC=6,∴△AMN周长为AM+MN+AN=AM+MB+AN+NC=AB+AC=10,故选:D.7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,D、E两点分别在边AC、BC上,BD平分∠ABC,DE∥AB.图中的等腰三角形共有()A.3个B.4个C.5个D.6个【解答】解:∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=36°,∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°,∵DE∥AB,∴∠EDB=∠ABD=36°,∴∠EDC=72°﹣36°=36°,∴∠DEC=180°﹣72°﹣36°=72°,∴∠A=∠ABD,∠DBE=∠BDE,∠DEC=∠C,∠BDC=∠C,∠ABC=∠C,∴△ABC、△ABD、△DEB、△BDC、△DEC都是等腰三角形,共5个,故选:C.8.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,ED∥BC,已知AB=5,AD=2,则△AED 的周长为()A.4B.5C.6D.7【解答】解:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∵ED∥BC,∴∠EDB=∠CBD,∴∠ABD=∠EDB,∴EB=ED,∴△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=7,故选:D.9.如图,已知AE平分∠BAC,BE⊥AE于E,ED∥AC,∠BAE=36°,那么∠BED 的度数为()A.108°B.120°C.126°D.144°【解答】解:∵AE平分∠BAC∴∠BAE=∠CAE=36°∵ED∥AC∴∠CAE+∠DEA=180°∴∠DEA=180°﹣36°=144°∵∠AED+∠AEB+∠BED=360°∴∠BED=360°﹣144°﹣90°=126°.故选:C.10.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G,过点G作EF∥BC 交AB于E,交AC于F,过点G作GD⊥AC于D,下列四个结论:①EF=BE+CF;②∠BGC=90°+∠A;③点G到△ABC各边的距离相等;④设GD=m,AE+AF=n,=mn.其中正确的结论有()则S△AEFA.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④【解答】解:①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G,∴∠EBG=∠CBG,∠BCG=∠FCG.∵EF∥BC,∴∠CBG=∠EGB,∠BCG=∠CGF,∴∠EBG=∠EGB,∠FCG=∠CGF,∴BE=EG,GF=CF,∴EF=EG+GF=BE+CF,故本小题正确;②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G,∴∠GBC+∠GCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°﹣∠A),∴∠BGC=180°﹣(∠GBC+∠GCB)=180°﹣(180°﹣∠A)=90°+∠A,故本小题正确;③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G,∴点G是△ABC的内心,∴点G到△ABC各边的距离相等,故本小题正确;④连接AG,∵点G是△ABC的内心,GD=m,AE+AF=n,∴S=AE•GD+AF•GD=(AE+AF)•GD=nm,故本小题错误.△AEF故选:C.11.如图,在等边三角形ABC中,在AC边上取两点M、N,使∠MBN=30°.若AM=m,MN=x,CN=n,则以x,m,n为边长的三角形的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随x,m,n的值而定【解答】解:将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH.连接HN.∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,∵∠MON=30°,∴∠CBH+∠∠ABM+∠CBN=30°,∴∠NBM=∠NBH,∵BM=BH,BN=BN,∴△NBM≌△NBH,∴MN=NH=x,∵∠BCH=∠A=60°,CH=AM=n,∴∠NCH=120°,∴x,m,n为边长的三角形△NCH是钝角三角形,故选:C.二.填空题(共9小题)12.等腰三角形一腰上的中线将其周长分为8和12两部分,则它的底边长是或4.【解答】解:设等腰三角形的腰长是x,底边是y.根据题意,得:或,解得或.所以它的底边是或4.故答案为:或4.13.如图,O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点,OD∥AB交BC于D,OE∥AC交BC于E,若BC=17cm,则△ODE的周长是17cm.【解答】解:∵BO平分∠ABC,∴∠ABO=∠DBO,又OD∥AB,∴∠ABO=∠DOB,∴∠DBO=∠DOB,∴OD=BD,同理OE=CE,∵BC=17cm,则△ODE的周长c=OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC=17cm.故答案为17.14.如图,若B,D,F在AN上,C,E在AM上,且AB=BC=CD=ED=EF,∠A=20o,则∠FEM=100°.【解答】解:∵∠A=20°,AB=BC,∴∠A=∠ACB=20°,∠CBD=∠A+∠ACB=20°+20°=40°;∵BC=CD,∴∠CBD=∠CDB=40°,∴∠ECD=∠A+∠CDA=30°(外角定理);∵CD=DE,∴∠DCE=∠DEC=60°,∴∠EDF=∠A+∠AED=80°;又∵DE=EF,∴∠EDF=∠EFD=80°,∴∠FEM=∠A+∠EFD=20°+80°=100°.故答案为100°.15.如图,△ABC为等边三角形,∠BAD=15°,∠DAE=80°,AD=AE,则∠EFC=85°.【解答】解:∵△ABC是等边三角形,∠BAD=15°,∠DAE=80°,∴∠CAE=∠BAE﹣∠BAC=15°+80°﹣60°=35°∵∠DAE=80°,AD=AE,∴∠ADE=∠E=(180°﹣80°)=50°,∵∠EFC是△AEF的外角,∴∠EFC=∠CAE+∠E=35°+50°=85°.故答案为85.16.如图,在△ABC中,AB=BC=4,AC=3,过点A的直线DE∥BC,∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E、D,则DE的长为7.【解答】解:∵DE∥BC,∴∠E=∠EBC.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,∴∠E=∠ABE,∴AB=AE.同理可得:AD=AC,∴DE=AD+AE=AB+AC=4+3=7,故答案为:717.如图,AD是△ABC的边BC上的高,由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是②③④.①∠BAD=∠ACD;②∠BAD=∠CAD;③AB+BD=AC+CD;④AB﹣BD=AC﹣CD.【解答】解:应添加的条件是②③④;证明:②当∠BAD=∠CAD时,∵AD是∠BAC的平分线,且AD是BC边上的高;则△ABD≌△ACD,∴△BAC是等腰三角形;③延长DB至E,使BE=AB;延长DC至F,使CF=AC;连接AE、AF;∵AB+BD=CD+AC,∴DE=DF,又AD⊥BC;∴△AEF是等腰三角形;∴∠E=∠F;∵AB=BE,∴∠ABC=2∠E;同理,得∠ACB=2∠F;∴∠ABC=∠ACB,即AB=AC,△ABC是等腰三角形;④△ABC中,AD⊥BC,根据勾股定理,得:AB2﹣BD2=AC2﹣CD2,即(AB+BD)(AB﹣BD)=(AC+CD)(AC﹣CD);∵AB﹣BD=AC﹣CD①,∴AB+BD=AC+CD②;∴①+②得:,2AB=2AC;∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形故答案为:②③④.18.设a、b分别是等腰三角形的两条边的长,m是这个三角形的周长,当a、0b、m满足方程组时,m的值是5或.【解答】解:①若a是腰长,b是底边,则2a+b=m,∵a、b、m满足方程组,把b=m﹣2a代入解得:m=4,a=1,b=2,∵a+a=1+1<2=b,不符合三角形任意两边之和大于第三边,∴m=4舍去;②若b是腰长,a是底边,则2b+a=m,∵a、b、m满足,把a=m﹣2b代入解得:m=5,b=.③若a=b,则a、b是腰,则,解得m=,a=,+>2,符合三角形的三边关系.故答案为:5或.19.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为46°,则底角∠B的大小为68°或22°.【解答】解:(1)当AB的中垂线MN与AC相交时,∵∠AMD=90°,∴∠A=90°﹣46°=44°,∵AB=AC,∴∠B=∠C==68°;(2)当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时,∴∠DAB=90°﹣46°=44°,∵AB=AC,∴∠B=∠C=∠DAB=22°.故答案为:68°或22°.20.如图所示,在△ABC中,∠B=∠C,D是BC上一点,E是AC上一点,连接AD、DE,若∠ADE=∠AED,∠EDC=15°,则∠BAD=30°.【解答】解:∵∠AED=∠C+∠EDC=∠C+15°,∠ADE=∠AED,∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=∠C+30°.又∠ADC=∠B+∠BAD,∠B=∠C,∴∠BAD=30°.故答案为30°.三.解答题(共8小题)21.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BD是∠ABC的平分线,交AC于点D,E是AB的中点,连接ED并延长,交BC的延长线于点F,连接AF,求证:(1)EF⊥AB;(2)△ACF为等腰三角形.【解答】证明:(1)∵AB=AC,∠BAC=36°,∴∠ABC=72°,又∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=36°,∴∠BAD=∠ABD,∴AD=BD,又∵E是AB的中点,∴DE⊥AB,即FE⊥AB;(2)∵FE⊥AB,AE=BE,∴FE垂直平分AB,∴AF=BF,∴∠BAF=∠ABF,又∵∠ABD=∠BAD,∴∠FAD=∠FBD=36°,又∵∠ACB=72°,∴∠AFC=∠ACB﹣∠CAF=36°,∴∠CAF=∠AFC=36°,∴AC=CF,即△ACF为等腰三角形.22.如图,△ABC中,AB=BC=AC=12cm,现有两点M、N分别从点A、点B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1cm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时,M、N同时停止运动.(1)点M、N运动几秒后,M、N两点重合?(2)点M、N运动几秒后,可得到等边三角形△AMN?(3)当点M、N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN?如存在,请求出此时M、N运动的时间.【解答】解:(1)设点M、N运动x秒后,M、N两点重合,x×1+12=2x,解得:x=12;(2)设点M、N运动t秒后,可得到等边三角形△AMN,如图①,AM=t×1=t,AN=AB﹣BN=12﹣2t,∵三角形△AMN是等边三角形,∴t=12﹣2t,解得t=4,∴点M、N运动4秒后,可得到等边三角形△AMN.(3)当点M、N在BC边上运动时,可以得到以MN为底边的等腰三角形,由(1)知12秒时M、N两点重合,恰好在C处,如图②,假设△AMN是等腰三角形,∴AN=AM,∴∠AMN=∠ANM,∴∠AMC=∠ANB,∵AB=BC=AC,∴△ACB是等边三角形,∴∠C=∠B,在△ACM和△ABN中,∵,∴△ACM≌△ABN,∴CM=BN,设当点M、N在BC边上运动时,M、N运动的时间y秒时,△AMN是等腰三角形,∴CM=y﹣12,NB=36﹣2y,CM=NB,y﹣12=36﹣2y,解得:y=16.故假设成立.∴当点M、N在BC边上运动时,能得到以MN为底边的等腰三角形AMN,此时M、N运动的时间为16秒.23.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在BC上,且BD=BA,点E在BC的延长线上,且CE=CA.(1)试求∠DAE的度数.(2)如果把原题中“AB=AC”的条件去掉,其余条件不变,那么∠DAE的度数会改变吗?为什么?【解答】解:(1)∵△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,∵BD=BA,CE=CA.∴∠BAD=(180°﹣45°)÷2,∠CAE=45°÷2,∴∠DAE=90°﹣∠BAD+∠CAE=45°.(2)不变.∠DAE=90°﹣+∠ACB=(∠B+∠ACB)=45°,从上式可看出当AB和AC不相等时,∠B+∠ACB也是定值为90°.所以不变.24.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,D为BC边上一点,∠DAB=45°.(1)求∠DAC的度数;(2)请说明:AB=CD.【解答】(1)解:∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∵∠C+∠BAC+∠B=180°,∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°,∵∠DAB=45°,∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°=75°;(2)证明:∵∠DAB=45°,∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°,∴∠DAC=∠ADC,∴DC=AC,∵AB=AC,∴AB=CD.25.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高线,BE⊥AC于点E,∠BAD=∠CBE.求证:AB=AC.【解答】证明:∵在△ABC中,AD是BC边上的高线,BE⊥AC于点E,∴∠ADB=∠BEC=90°.∴∠ABC+∠BAD=∠C+∠CBE=90°.又∵∠BAD=∠CBE,∴∠ABC=∠C.∴AB=AC.26.现在给出两个三角形,请你把图(1)分割成两个等腰三角形,把图(2)分割成三个等腰三角形.要求:在图(1)、(2)上分割:标出分割后的三角形的各内角的度数.【解答】解:如图所示:27.如图1,在△ABC中,∠BAC=75°,∠ACB=35°,∠ABC的平分线BD交边AC 于点D.(1)求证:△BCD为等腰三角形;(2)若∠BAC的平分线AE交边BC于点E,如图2,求证:BD+AD=AB+BE;(3)若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E,请你探究(2)中的结论是否仍然成立?直接写出正确的结论.【解答】证明:(1)如图1,在△ABC中,∠BAC=75°,∠ACB=35°,∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=70°,(2分)∵BD平分∠ABD,∴∠DBC=∠ABD=35°,(3分)∴∠DBC=∠ACB=35°,∴△BCD为等腰三角形;(4分)(2)证法一:如图2,在AC上截取AH=AB,连接EH,由(1)得:△BCD为等腰三角形,∴BD=CD,∴BD+AD=CD+AD=AC,(6分)∵AE平分∠BAC,∴∠EAB=∠EAH,∴△ABE≌△AHE,∴BE=EH,∠AHE=∠ABE=70°,(8分)∴∠HEC=∠AHE﹣∠ACB=35°,∴EH=HC,∴AB+BE=AH+HC=AC,∴BD+AD=AB+BE;(10分)证法二:如图3,在AB的延长线上取AF=AC,连接EF,由(1)得:△BCD为等腰三角形,且BD=CD,∴BD+AD=CD+AD=AC,∵AE平分∠BAC,∴∠EAF=∠EAC,∴△AEF≌△AEC,∴∠F=∠C=35°,(8分)∴BF=BE,∴AB+BE=AB+BF=AF,∴BD+AD=AB+BE;(10分)(3)正确结论:BD+AD=BE﹣AB,理由是:如图4,在BE上截取BF=AB,连接AF,∵∠ABC=70°,∴∠AFB=∠BAF=35°,∵∠BAC=75°,∴∠HAB=105°,∵AE平分∠HAB,∴∠EAB=∠HAB=52.5°,∴∠EAF=52.5°﹣35°=17.5°=∠AEF=17.5°,∴AF=EF,∵∠AFC=∠C=35°,∴AF=AC=EF,∴BE﹣AB=BE﹣BF=EF=AC=AD+CD=AD+BD.(12分)28.如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D在BC所在的直线上,点E在射线AC 上,且AD=AE,连接DE.(1)如图①,若∠B=∠C=35°,∠BAD=80°,求∠CDE的度数;(2)如图②,若∠ABC=∠ACB=75°,∠CDE=18°,求∠BAD的度数;(3)当点D在直线BC上(不与点B、C重合)运动时,试探究∠BAD与∠CDE 的数量关系,并说明理由.【解答】解:(1)∵∠B=∠C=35°,∴∠BAC=110°,∵∠BAD=80°,∴∠DAE=30°,∴∠ADE=∠AED=75°,∴∠CDE=180°﹣35°﹣30°﹣75°=40°;(2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18°,∴∠E=75°﹣18°=57°,∴∠ADE=∠AED=57°,∴∠ADC=39°,∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°,∴∠BAD=36°;(3)设∠ABC=∠ACB=y°,∠ADE=∠AED=x°,∠CDE=α,∠BAD=β①如图1,当点D在点B的左侧时,∠ADC=x°﹣α,∴,(1)﹣(2)得2α﹣β=0,∴2α=β;②如图2,当点D在线段BC上时,∠ADC=y°+α,∴,(2)﹣(1)得α=β﹣α,∴2α=β;③如图3,当点D在点C右侧时,∠ADC=y°﹣α,∴,(2)﹣(1)得2α﹣β=0,∴2α=β.综上所述,∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD.。

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