→
6 2 0 2 0 1 1 5 0 0 3 18
分别用 2 和 3 乘第1行和第3行
1
分别把第1个方程和第3个 1 1 方程乘以 和 3
1

x1
x3 3 x2 x3 5 x3 6
→
1 0 1 3 0 1 1 5 0 0 1 6
2 x1
2 x3 6 3 x3 18 x2 x3 5
→
6 2 0 2 0 0 3 18 0 1 1 5
把第2行与第3行互换位置
把第2个方程与第3个 方程互换位置
2 x1
2
2 x3 6 x2 x3 5 3 x3 18
用 a111 乘第一行得：
1 b12 0 b22 A1 A2 0 bm 2
b1n b2 n bmn
b22 b2 n A2 中的右下角矩阵 类似考虑，若其为0， 对 b bmn m2

c1n c2 n ctn 0 0 0
d1 d2 dr d r 1 0 0
以 C 为增广矩阵的线性方程组就是（2）。
A 由定理3.1.3知， 中的系数矩阵A经一系列行初等变换和列换法 变换可化为C，这相应的一系列行初等变换和列换法变换就把C 化为
c1n c2 n ctn 0 0
所谓阶梯形矩阵是指：从它们的任一行看，从第一个元素起至 该行的第一个非零元素止，它们所在位置的下方元素全为零； 若该行全为零，则它的下方元素也全为零。 证明：若A=0，则A已成阶梯形， 若 A 0 ，则A至少有一个元素不为0，不妨设 a11 0， （否则，设 aij 0 ，我们可经行、列变换，使 aij 位于
—（2）
其中 xi1 , xi2 ,, xin 是 x1 , x2 ,, xn 的一个排列。 只要证明线性方程组（1）的增广矩阵 A A b 经一系列 行初等变换及列换法变换（但最后常数列不能交换）可化为矩 阵：
第三章 线性方程组
1 0 0 c1r 1 0 1 0 c2 r 1 0 0 1 crr 1 C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
第三章 线性方程组
互换两行的位置。 这三种变换被称为矩阵的初等行变换。 从上面可以看出，解线性方程组的问题可以转化成对由方 程组的未知量系数和常数项所排成的一个“数表”进行相应的 “变换”，从而得到方程组的解。这个数表就称为矩阵。抛开 具体的背景，下面引进矩阵的定义和它的初等变换。 定义1（矩阵）：数域 F 上 m n 个元素排成形如下数表 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 称为数域 F 上的m行n列 am1 am 2 amn 矩阵，简称 m n 阶矩阵，记为 Amn 或 aij mn 。aij 称为矩阵的 元素，i称为元素 aij 所在行的行下标，j称为元素 aij 所在列的 n 列下标。 当m=n时， n 矩阵亦称为方阵。
第三章 线性方程组
1 0 0 c1r 1 0 1 0 c2 r 1 0 0 1 crr 1 C1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
c1n c2 n ctn 0 0 0

d1 d2 dr d r 1 dr 2 dn
若 dr 1 ,, dn 中有一个不为零，不妨设 dr 1 0，否则可经行变换 换到第r+1行，然后对r+2，…，n行进行行消法变换，可使 dr 2 dn 0 。于是 C1 就化为 C 由定理3.1.4 可知： 1、当 dr 1 0 时，方程组无解； 2、当 dr 1 0 时，
第三章 线性方程组
则结论成立；若其不为0，不妨设 b22 0 ，用 b221bi 2 , i 3,, m 乘第2行加到第i（i=3，…，m）行，然后用 b221 乘第二行得：
1 b12 b13 0 1 c23 A2 A3 0 0 c33 0 0 c m3
第三章 线性方程组
a11 a12 a21 a22 若A an1 an 2
a1n a2 n ，则 ann
a11 a21 an1
a12
a1n
a22 a2 n an 2 ann
称为矩阵A的
行列式，记为 A 注意行列式与矩阵在形式上与本质上的区别。 定义2（矩阵的初等变换）：以下三种变换称为矩阵的初等变换： 用一个数乘矩阵的某一行（列）加到另一行（列）上； （消法变换） 用一个非零数乘矩阵的某一行（列）；（倍法变换） 交换矩阵中某两行（列）的位置。（换法变换） 为了利用矩阵的行初等变换解线性方程组，我们要解决以 下问题：一个线性方程组经初等变换后所得线性方程组是否与 原方程组同解。
左上角）。把第一行分别乘以 a111ai1 , i 2,3,, m 加到
第三章 线性方程组
第i行，则A化为
a11 a21 a m1 a12 a22 am 2 a1n a11 a12 a2 n 0 b22 A 0 b amn m2 a1n b2 n x2 3 x3 1 4 x2 x3 2 x2 x3 5
第三章 线性方程组
→
2 1 3 1 0 4 1 2 0 1 1 5
把第3个方程分别乘以（-4）、 1加到第2个、1个方程
把第3行分别乘以（-4）、 1加到第2、1行
第三章 线性方程组
定理3.1.1: 方程组的初等变换把一个线性方程组变为一个 与它同解的线性方程组。 证明：对第（1）种初等变换证明之。 由方程组未知量系数按原来的顺序组成的矩阵，称为方程 组的系数矩阵，记为A。由方程组未知量系数和常数组成的矩 阵称为方程组的增广矩阵，记为 A 对方程组进行初等变换，其实质就是对方程组中未知量系数和 常数项组成的矩阵 A （称为增广矩阵）进行相应的初等变换， 因此由定理3.1.1，我们有 定理3.1.2 : 对线性方程组（1）的增广矩阵 A 进行行初等 变换化为 B ，则以 B 为增广矩阵的线性方程组（2）与（1）同 解。 由前面的讨论知，对一个线性方程组施行初等变换，相当 于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，那么我们要问： 一个矩阵在行初等变换下可以化为怎样的简单形式？
—（1）
当m=n，且系数行列式 D 0 时，我们知方程组（1）有唯一解， 其解由Cramer法则给出。但是若此时D=0，我们无法知道此时 方程组是有解，还是无解。同时，当 m n 时，我们也没有解 此方程组（1）的有效方法。因此我们有必要对一般线性方程
第三章 线性方程组
组（1）进行研究。 在中学代数中，我们曾用加减消元法和代入消元法来解二 元、三元线性方程组。实际上用加减消元法比用行列式解方程 组更具有普遍性。下面考虑解线性方程组： 解方程组： 把未知量系数和常数按原顺序写成下表
第三章 线性方程组
定理3.1.3: 一个m n 矩阵A，通过行初等变换及列换法 变换可化为一下阶梯形
1 0 1 B 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 x1 x2 3 x3 1 4 x1 2 x2 5 x3 4 2x 2 x3 6 1
把第1个方程分别乘以（-2）、 （-1）加到第2个、3个方程
→
2 1 3 1 4 2 5 4 2 0 2 6
把第1行分别乘以（-2）、 （-1）加到第2、3行
给 xir1 ,, xin 一组值，就唯一定义出 xi1 ,, xir 的一组值从而得 方程组（1）的一个解。把 xi1 ,, xir 通过 xir1 ,, xin 表示出来， x 这样得到的解称为方程组（1）的一般解， ir1 ,, xin 称为 方程组的一组自由未知量。需要说明的是，在实际解线性方程 组时，一般不做增广矩阵的列互换，特别严禁把常数列与其他 列互换，以及对列进行其他变换。
xi1 c1,r 1 xir 1 c1n xin d1 xi2 c2,r 1 xir 1 c2 n xin d 2 xir cr ,r 1 xir 1 crn xin d r 0 d r 1 00 00
第三章 线性方程组
把第3个方程分别乘以 （-1）、1加到第1、2个方程
分别把把第3行乘以 （-1）、1加到第1、2行
9 x1 x2 1 x3 6
→
1 0 0 9 0 1 0 1 0 0 1 6
在用消元法解线性方程组时我们实际上是对方程组进行如下三 种变换： 用一个数乘某个方程的两边加到另一方程上； 用一个非零数乘一个方程的两边； 互换两个方程的位置。 这三种变换总称为线性方程组的初等变换。 如果把方程组写成 “数表” （矩阵）的形式,则解方程组就相 当于对“数表” （矩阵）进行以下三种变换： 用一个数乘矩阵的某一行加到另一行上； 用一个非零数乘矩阵的某一行；
第三章
§3.1
线性方程组
消 元 法
§3.1 消元法
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 2n n 2 对一般线性方程组 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm .