圆——垂径定理
讲师：XX老师
1、圆的对称性 圆既是轴对称图形也是中心对称图形。 它的对称轴就是过圆心的直线。 其对称中心为圆心。
A O
B
2、弦弧之间的关系性质
当直径平分弦时，就会平分弦对应弧。
如图，AB是圆O的一条弦，做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E, （1）圆是对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
O
A D
Байду номын сангаас
B 。
弓形的半径为6cm,弓形的高为2cm,则这弓形的弦长为 解：由已知得：ＯＡ＝OB=6cm OD=2cm 所以：AD=4√2cm, 又由勾股定理得：AD=BD=4√2cm 即：AB=8√2cm C A D O
B
32 AC 2 52
AC =4 所以 AB =8
2、如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上的一点，E是弧
AC的中点，OE交弧AC于D.若AC=8cm,DE=2cm,则OD的长为 cm.
解析：
因为E为弧AC的中点，即OE平分弧AC。 根据垂径定理逆定理可知:OE AC 且 OE平分AC. 因为AC=8cm 则AD=CD=4cm 则在直角三角形OAD中：设圆O的半径为R.
OD = 2 6 在直角三角形ODP中，有：
A
P D P
B
O
OD2 7 2 52 OP2 OD2 DP2 52 (2 6 )2 DP2 DP=1
所以 AP=AD-DP=4cm 当P在DB中时，AP=AD+DP=6cm
5.如图，AB是圆O的弦，AB长为8，P是圆O上一
动点,（不与A、B重合)，过点O作OC垂直AP于C， OD垂直PB于D.则CD的长为 。
A C O B
D P
解析：连接CD,因为OC垂直AP,OD垂直BP.
根据垂径定理：C为AP的中点，D是BP的中 点。 所以在三角形ABP中，CD为它的中位线。 因为AB=8
1 则 CD= 2
AB=4
6.如图，AB、CD是半径为5的圆O的两条弦，AB=8，
A C
CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F,P 为EF上任意一点，则PA+PC的最小值为多少？
圆
CD是圆O的直径 , AE=BD
AC=BC
CD
弦AB，垂足为E.
AD= BD
知二推三：已知其中的任意两种量相等，则其他三组量也会相等。
1.如图，已知圆O的半径OA=5，弦AB的弦心距OC=3， 那么AB= .
解析： 连OA, 因为OC AB 根据垂径定理AC=BC 在直角三角形OCA中， OC 2 AC2 OA2
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
C 解：（1）圆是对称图形，它的对称轴是过圆心的直线。 （2）相等的线段有：OA=OB=OC=OD 根据对称性：AE=BE 相等的弧有：弧CAD=弧CBD 弧AC=弧BC A 弧AD=弧BD
O E B
D
CD⊥AB,结论：过圆心的直线垂直于弦，则会平分这条弦，且这条弦所对应的弧。
M D G
F PO
E
N
B
解：因为AB=8cm CD =6 根据垂径定理得：AE=BE=4 CF =DF=3 连接OA、OC 可得：OF=4,OE=3. 所以：EF=7 P在EF上，要使PA+PC最小 又点A关于MN对称的点是点B 所以连接BC，与EF的交点则为条件所求的点Ｐ。 PA+PC=PC+PB=BC 即连BG //EF，延长CD到G BG=EF=7 CG=CD+1=7 得：BC=7√2 A C
根据勾股定理： R 2 42 ( R 2)2
R =5
3.如图，在圆O中， 弦AB=AC=5cm,BC=8cm,
则圆O的半径等于
cm
解析：
因为由已知得:AB=AC=5cm,所以三角形ABC 为 等腰三角形。 作辅助线 AD BC.根据等腰三角形三线合一 定理可知：AD平分BC. BC=8cm。 得：BD=CD=4cm ，连OD。 又由垂径定理可知：OD平分BC， OD BC 即O、A、D在同一直线上。 在直角三角形ABD中 有：AD=3 连接OB. 设圆O的半径为R 在直角形OBD中有：
OB2 BD2 OD2
R 2 42 ( R 3) 2
R =
25 6
D
4.已知，圆O的直径为14cm,弦AB=10cm, 点P为AB上一点，OP=5cm,则AP的长为 cm.
解析：作 OD AB ， 连OA. 根据垂径定理：AD=BD AB=10cm ， 所以AD=BD=5cm 当P在AD中时，在直角三角形OAD中， 由已知得：圆的直径为14cm,则OA=7cm. 所以 OD2 OA2 AD2
M
D G
F PO
E
N
B
作业： 如图：在直径是20cm的圆O中，两条半径的夹角是60◦，那么弦 AB= ,点O到弦AB的距离OD= . 解：因为OA=OB 且∠AOB=60°。 所以∆AOB为等边三角形。 即AB=10cm. 又OD ⊥AB 得：D为AB中点 所以：OD= 100 25 5 3