4-6 试求下列函数的初值和终值(1) 112)(--=z z X(2) 211)1(10)(---=z z z X(3) 23(1)()(1)T z z X z z +=- (4) )2)(1(5)(2--=z z z z X 解 (1) 12(0)lim ()lim21z z x X z z -→∞→∞===-1112()lim(1)()lim(1)21z z x z X z z z -→→∞=-=-=-(2) 11210(0)lim ()lim0(1)z z z x X z z --→∞→∞===- 1121110()lim(1)()lim(1)(1)z z z x z X z z z --→→∞=-=-=∞-(3) 23(1)(0)lim ()lim0(1)z z T z z x X z z →∞→∞+===- 2311(1)()lim(1)()lim(1)(1)z z T z z x z X z z z →→+∞=-=-=∞-(4) 25(0)lim ()lim5(1)(2)z z z x X z z z →∞→∞===--2115()lim(1)()lim(1)5(1)(2)z z z x z X z z z z →→∞=-=-=---4-9 S 平面与Z 平面的映射关系sTT j T z e e e σω==解(1) S 平面的虚轴，映射到Z 平面为 单位圆周 。

(2) S 平面的虚轴，当ω由0趋向∞变化时，Z 平面上轨迹的变化。

从（1，0）绕单位圆逆时针旋转无穷圈(3) S 平面的左半平面，映射到Z 平面为 单位圆内 。

(4) S 平面的右半平面，映射到Z 平面为 单位圆外 。

(5) S 平面上σ由0趋向∞变化时，Z 平面上轨迹的变化。

若ω不变，则Z 平面上轨迹为从原点出发的一条射线，其角度由ω决定4-12已知闭环系统的特征方程，试判断系统的稳定性，并指出不稳定的极点数。

解 (2) 321.50.250.4=0 z z z --+11w z w +=- 321111.50.250.4=0 111w w w w w w +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭3223(1) 1.5(1)(1)0.25(1)(1)0.4(1)=0w w w w w w +-+--+-+-322232331 1.5[(21)(1)0.25[(1)(21)]0.4(331)=0w w w w w w w w w w w w +++-++--+-++-+-32323232331 1.5(1)0.25(1)0.4(331)=0w w w w w w w w w w w w +++-+-----++-+-320.350.55 5.95 2.65=0 w w w -+++ 不稳定(4) 20.632=0z z -+1,210.50.6182z j ==±稳定4-15设离散系统如图4-29所示，要求：(1) 当K=5时，分别在z 域和ω域中分析系统的稳定性； (2) 确定使系统稳定的K 值范围。

解 (1) 开环脉冲传递函数为12211()(1)(1)(0.21)(0.21)0.21Ts Ts e K a b c G z Z K Z e K z Z ss s s s s s s ---⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=⋅=-=-++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭g22(0.21)(0.21)(0.2)(0.2)110.20.04as s b s cs a c s a b s b b a c ++++=++++===-=，，图4-29 离散系统112212250.210.04()(1)(1)0.210.210.210.2 =(1)510.20.210.2(1)0.21(1)10.00670.2( T a b c G z K z Z K z Z s s s s s s K z Z s s s z z Tz z z K K z z z z e z z z K----⎛⎫⎛⎫=-++=--++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫--++ ⎪+⎝⎭⎛⎫--⎛⎫=-++=-++ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭--=21)(0.0067)(0.0067)0.2(1)(1)(0.0067)z z z z z -+-+---闭环传递函数为)(1)()(z G z G z G c +=2220.2(1)(0.0067)(0.0067)0.2(1)()(1)(0.0067)()0.2(1)(0.0067)(0.0067)0.2(1)1()1(1)(0.0067)[0.2(1)(0.0067)(0.0067)0.2(1)] (1)(0.0067)[c z z z z KG z z z G z z z z z G z Kz z K z z z z z z K ---+-+---==---+-+-++-----+-+-=--+222220.2(1)(0.0067)(0.0067)0.2(1)][0.2(1)(0.0067)(0.0067)0.2(1)](10.2)(1)(0.0067)(0.0067)0.2(1)[0.2(1)(0.0067)(0.0067)0.2(1)] (0.80134z z z z K z z z z K z z K z K z K z z z z z ---+-+----+-+-=---+-+----+-+-=+ 1.0067)0.1920.0067K z K -++闭环系统的特征方程为2(0.80134 1.0067)0.1920.00670z K z K +-++=K=5代入，即230.96670z z +-=因为方程是二阶，故直接解得极点为1,2120.29353.2935z z z ===- 一个极点不在单位圆内，所以系统不稳定。

11w z w +=- 21130.9667=0 11w w w w ++⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭22(1)3(1)(1)0.9667(1)=0 w w w w +++---23.0333 3.9334 2.9667=0 w w +-劳斯表为2w1w 0w系统不稳定，不稳定的极点数为1个。

(2) 闭环系统的特征方程为2(0.80134 1.0067)0.1920.00670z K z K +-++=11w z w +=- 211()(0.80134 1.0067)0.1920.0067011w w K K w w +++-++=-- 22(1)(0.80134 1.0067)(1)(1)(0.1920.0067)(1)0w K w w K w ++-+-++-=20.99334(1.98660.384)(2.01340.60934)0Kw K w K +-+-=劳斯表为2w0.99334K2.01340.60934K -1w 1.98660.384K - 0w2.01340.60934K -若系统要稳定，则应满足以下不等式方程组0.9933401.98660.38402.01340.609340K K K >⎧⎪->⎨⎪->⎩或 0.9933401.98660.38402.01340.609340K K K <⎧⎪-<⎨⎪-<⎩得0 3.3042K <<4-16设离散系统如图4-32所示，其中()r t t =，试求稳态误差系数p v a K K K 、、，并求系统的稳态误差()e ∞。

解 开环脉冲传递函数为图4-32 离散系统122212111111()(1)(1)(1)(1)1()(1)()(1)(1)(1)1(1)()Ts Ts T T T T e G z Z Z e z Z s s s s s s s s Tz z z T z e z z e z z z z z e z z e --------⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=⋅=-=--+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫----+-=--+= ⎪-----⎝⎭则2220.1220.1()(1)()(1)1()1(1)()(1)()()(1)()(1) (1)()()(1)0.1()(1) 1.90 (1)()(1)()T T T T T T T T T T z e z z e z G z z z e z z e T z e z z e z z z e T z e z z e z z z z z e z z e ---------------+-+=+----+----+-=---+--+--+===----2.90951.9050.905z z -+0.120.1221(1)() 1.9050.9051()0.1()(1) 1.90.9095z z e z z G z z e z z z -----+==+-+--+ 稳态误差系数0.120.1110.1()(1)lim[1()]lim (1)()p z z z e z K G z z z e --→→-+-=+==∞-- 稳态速度误差系数0.120.10.10.1110.1()(1)0.1()lim(1)()lim(1)0.1(1)()()v z z z e z z e K z G z z z z e z e ----→→-+--=-=-==--- 稳态加速度误差系数0.12220.1110.1()(1)lim(1)()lim(1)0(1)()a z z z e z K z G z z z z e --→→-+-=--=-- 稳态误差11lim ()lim(1)()1()sr t z e e t z R z G z →∞→==-+2) 单位速度输入时，220.1()(1)(1)Tz zR z z z ==-- 稳态误差0.10.10.1220.111(1)()0.1()lim(1)lim 10.1()(1)(1)()sr z z z z e z z e ze z z e z z z e ----→→---=-⋅==-+---或解 由例4-13知系统的开环脉冲传递函数2()(1)()(1)()(1)()T T T T z e z z e z G z z z e -------+-=--可见系统含有一个积分环节，所以是Ⅰ型系统。

由表4-2可知单位速度输入时，2111()(1)()(1)()lim(1)()lim(1)lim 0.1(1)()()T T T v T T z z z T z e z z e z T z e K z G z z T z z e z e -----→→→----+--=-=-===---，1sr vTe K ==。