33
例
1
1
x4 1dx 2
(
x2
1)(x2 x4 1
1)dx
1 2
1
1 x2
x2
1 x2
dx
1 2
1
1 x2
dx
x2
1 x2
1
1
1 2
d(x ) x
(x 1 )2
2
1 2
d( x (x
x
1 )2
)
2
x
x
1
x 1 arctan x
22
2
1 2
1 22
x 1
ln
x
x 1
x
2 2
又F( x)须处处连续，有
35
xl i1 m (xC 2)xl i1 m (1 2x2C 1)
,即1C2
1 2C1,
x l i1m (1 2x2C3)x l i1m (xC2),即12C3 1C2 ,
x1处可,导 确定a,b.
2.lx i m xx2ln1(1x)
3.求极限
ex sinxx(1 x)
(1)lim x0
x3
1
(2)lim(ex 1x)l nx x0
26
计算题解答
1.
由,连 有 lif( m x 续 ) lif性 m (x ) f( 1 )
x 1
x 1
a b 1
(1 )
24
渐近线的求法 (a) 水平渐近线 若函数 f(x)满足
lim f(x)a,
x ( , )
则函数 f(x)的曲线有水平y渐 a近 . 线 (b) 垂直渐近线 若函数 f(x)满足
limf(x),
x x0(x0,x0)
则函数 f(x)的曲线有垂直x渐x0.近线
25
计算题
1.设y f(x)12x2 x1, 已知函数在 axb x1
1 3
即 在 x1处 函 数 的 左 右在 极且 限相 都等 存，
所以 x1是函数的第一 ,且类 是间 可断 去点 . 间
10
例 设函数
a(1 cosx)
x2
f (x)
1,
ln(bx2),
x0 x0 x0
在x = 0连续,则a= 2 ,b= e .
提示:
f(0)xl i0 m a(1xc2 oxs)
11 1 62 3
30
1
(2) lim (ex1x)ln x (00) x 0
ex1
l i ml ne(x1x)
l i mex1x x0 1
ex0 l nx e
x
e e e x l i0 m e x x (e x 1 1 x )
x l i0 m ex e 1 x 1 x ex
对 数 法 求 导
分段函数在分段点求导
高 阶 (s导 x in c,o 数 xs,x,e1 )
1x
14
参 数 方程 xy ((tt))求 导 数 ：
dy
dy dx
dt dx
(t ) (t )
dt
dy
d2 y dx 2
d( dy ) dx dx
d( ) dx dt dx
dt
d( ( t ) ) (t )
a 2
f(0)lim ln (bx2)l nb x 0
a 1 lnb 2
1cosx ~ 1 x2 2
11
例 讨论 f(x)x2sin1x, x0 0, x0
在x 0处的连续性与可导. 性 例 如 果 f(x) eba (1x ,x2)x x , 0 0处 处,那 可么 导 () (A ) a b 1 ; (B ) a 2 ,b 1 ; (C ) a 1 ,b 0 ; (D ) a 0 ,b 1 .
x 1,
由于
lim f (
x 1
x)
1
lim
x1
1
e
x 1 x
0
lim f ( x )
x 1
1
lim
x1
1
e
x 1 x
1
所以 x1是函数的第一类间断点, 且是跳跃型. 7
例求 f(x) (1x)sinx 的间断点,并判别其类型. x(x1)(x1)
解 x1,x1,x0是间断点,
x 1,
lim (1x)sinx x1 x(x1)(x1)
C (x 304 )
例 求ma1,xx{}dx.
x, x1
解 设f(x)ma1,xx}{则 , f(x) 1, 1 x1,
x, x1
f(x)在 ( , )上连 , 则续 必存在原函数F( x),
1 2
x2
C1
,
x 1
F( x) x C2, 1 x 1.
1 2
x2
C3,
x1
函 数 的 极 值
驻点 极值存在的必要条件 极值存在的充分条件
函数的凹凸性 (拐点,凹凸性和判别法)
函数的最大最小值
函数的渐近线 (水平,垂直)
17
带Peano型余项的泰勒公式
设 f(x)在x0 含 的(区 a,b)内 间 n阶 有连 导数, 则对 x于 (a,b),有
21
定理(第一充分条件) 设f(x)在邻 U(x域 0)内 ,
(a) 当 xx0,有f(x)0;而当 xx0, 有 f(x)0,则f(x)在x0处取极大 . 值 (b) 当 xx0,有f(x)0;而当 xx0,有 f(x)0, 则f(x)在x0处取极小 . 值 (c)若 f(x)在邻 U(x域 0)内 符号,则相同 f(x)在x0处无极.值
(凑微分法)
(三角代换 ,倒代换)
有理函数的积分
四种基本形式的积分 可化为有理函数的积分
32
例
x2 1 x4 1 dx
分子分母同除以 x 2
解
1
原式 1 x 2 d x
x2
1 x2
d(x 1 ) x
(x 1 )2 2 x
1
x 1 arctan x C
2
2
12arctaxn22x1C
12
第二章 导数与微分
导数
定义
左导f(数 x0),右 导f(数 x0) 导数存在的充要条件
几何意义
切 线k斜 f率 (x0)
可导性与连续性的关系
可 导连 续
微分
求微分
dyf(x0)dx
可导与微分的关系
可 导 可 微
13
按定义求导
求导数方法 复合函数求导
隐函数, 参数方程求导
大一高数期末复习重点
常用等价无穷小
ex 1 ~ x sinx ~ x tanx ~ x ln1(x) ~ x 1coxs~ x 2
2
当x0,
ax 1 ~ xlna arcsinx ~ x arctaxn~ x (1x) 1 ~ x taxn sixn~ x 3
2
2
(1) 消去零因子法; (2) 同除最高次幂; (3) 通分;
22
定理(第二充分条件)
设f(x)在x0 处具有二阶, 导 且 数 f(x0)0, f(x0)0, 则 (a)当 f(x0)0, f(x)在x0 处取得极大, 值 (b)当 f(x0)0, f(x)在x0 处取得极小. 值
23
求极值的步骤:
a.求 导f数 (x); b .求(驻 方f点 程 (x)0的)及 根 f(x)不存在 的点. c.检查f(x)在b中所有点左右的, 正负号 或f(x) 在该点的符 , 判号断极值点 . d. 求极值.
dt dx
dt
15
第三章 微分中值定理及其应用
中值定理
罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理
泰勒定理 (泰勒公式 ,麦克劳林公式 )
洛必达法则
(计算 0,,,1等未定型 ) 极 0
证 明 不 等 式
中值定理的应用
讨论方程根的存在与个
数
16
函数的单调性
(利用导数判断)
函 数 性 态
洛必达法则+变上限积分求导
3
例
1taxn 1sinx
lim
x0
etan xes ixn
ta x n sixn lim
x 0(1 ta x n1 six) n(ta x e nesixn )
12lxi m 0teatan xnx essiinnxx1 2lx i0 m es itxna(etn xa n xss iixnn x1)
(4) 同乘共轭因式; (5) 利用无穷小运算性质
函 (6) 复合函数求极限法则
数 极
(7) 利用左、右极限求分段函数极限;
限 (8) 利用夹逼定理;
的 求
(9) 利用两类重要极限;
法 (10) 利用等价无穷小代换;
(11) 利用连续函数的性质(代入法);
(12) 利用洛必达法则.
洛必达法则+等价无穷小代换
1 x l i0 m e x x e x 1
x 0时ex， 1~x
1lim ex
上 式 e x 0 e2
31
第四章 不定积分
基本概念 (原函数,不定积 f(x分 )dx)
基本性质 (与求导,微分运算间关;线系性可加性)
积 分 法
换元积分法
分
部积
分
法
第一类换元 第二类换元
1 sin 1 , 2
x 1,
x = –1为第一类可去间断点
limf(x),
x1
x = 1为第二类无穷间断点
x 0, limf(x)1, limf(x)1.
x0
x0
x = 0为第一类跳跃间断点
8
1