j
收
敛
轴
0 收 敛 域
0收
敛
坐
标
《 信号与系统》
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第四章 连续系统的复频域分析
例：求下列各单边函数拉氏变换的收敛域（即求收敛坐标 0）
1 f t t ;
2 f t ut;
3 f t e2tu t ; 4 f t e2tu t ;
5 f t cos0tu t
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f t
1
2 j
j
j
F (s)est ds
LT
1
F
s
原函数
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第四章 连续系统的复频域分析
傅氏变换建立了信号在时域和频域间的关系，而拉氏变换 则建立了在时域和复频域间的关系。同时我们发现，在拉氏变
换中，当变量s中的实部σ=0时，拉氏变换就变成了傅氏变换，
也就是说，傅氏变换是拉氏变换的一个特例。
由于s=σ+jω，因此上式中括号内第二项可写为
lim e-(s- )t lim e e -( - )t -jt
t
t
只要选择σ>α，随着时间t的增大，e-(σ-α)t将会衰减。故有
lim e-(s- )t 0
t
从而使f(t)的象函数为
F(s) 1
s
若σ<α，e-(σ-α)t将随着时间t的增大而增大。当t→∞时， 结果 将趋于无穷大， 从而使积分不收敛， f(t)的象函数不存在。
LT tn
tn est dt0ຫໍສະໝຸດ n! s n 1n
1时,
f
t
t,
LT
t
1 s2
7.单边衰减正弦信号e-t sin 0t u t
LT
e-t
sin
0t
u
t
LT
1 2j
e e - -j0 t
- j0 t
u t
1 1
1
2j
s
j0
s
j0
0
s 2 02
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第四章 连续系统的复频域分析
一般而言，若极限 lim f (t)et 在σ>σ0时取值为零
，则收敛条件为σ>σ0 。 t
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第四章 连续系统的复频域分析
在以σ为横轴，jω为纵轴的复平面（s平面）上，σ0在复平 面称为收敛坐标，通过σ0的垂直线是收敛区的边界，称为收敛 轴。 收敛轴将复平面划分为两个区域，σ> σ0的是一个区域，称 为象函数F(s)的收敛域，如下图所示。
8.单边衰减余弦信号e-t cos 0t u t
LT e-t cos
0t
u
t
1 2
e- -j0 t +e- j0 t
s
s
2
02
9.单边双曲正弦函数shtu t和余弦函数chtu t
(t<0) (t>0)
此处主要讨论单边拉普拉斯变换。这样，t<0时f(t)的取
值与变换结果无关。单边拉普拉斯变换的定义式的积分下限 从0-开始，本书中的拉普拉斯变换的积分下限0均指0-。不过， 为了书写简便常常写为0。
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第四章 连续系统的复频域分析
二、拉氏变换的收敛域
在引入拉氏变换时我们说过，当f(t)乘以衰减因子e-σt后， 就有可能找到合适的σ值使f(t)e-σt绝对可积，从而f(t)e-σt的傅氏 变换存在，继而得到f(t)的拉氏变换。那么，合适的σ值如何确 定呢？或者说，如果把合适的σ取值范围称为拉氏变换收敛域 的话，那么如何确定该收敛域？下面通过一个例题对拉氏变 换的收敛域给予说明。
在实际问题中，我们遇到的都是因果信号，信号总有发生 的起始时刻，如果将起始时刻定为时间原点，
f (t) 0 (t 0)
F(s) f (t)e-stdt 0
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第四章 连续系统的复频域分析
上式称为f(t)的单边拉普拉斯变换。所以有
0
f
(t)
1
2j
j
F
(
s)e
st
ds
j
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第四章 连续系统的复频域分析
从上述讨论中可以看到，f(t)乘以衰减因子e-σt后是否
一定满足绝对可积条件，还要看f(t)的性质和σ的相对关系
而定。
把使f(t) e-σt满足绝对可积条件的σ值的范围称为拉氏
变换的收敛域。在收敛域内，函数的拉氏变换存在，在收 敛域外，函数的拉氏变换不存在。
第四章 连续系统的复频域分析
4.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 傅里叶变换条件，信号在无限区间绝对可积
f (t) dt
f t 不满足绝对可积条件，是由于t 或t 时， f t 不趋于零。如果引入一个衰减因子e-t 去乘以f t ，
只要 选择得适当，就可以克服此困难。
《 信号与系统》
《 信号与系统》
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第四章 连续系统的复频域分析
f (t)et FT 1 F j
1 F ( j)ejt d
2
两边同乘以e t，可得
f (t) 1 F ( j)et ejt d
2
令s= j,则ds=jd,当= 时，s= j
象函数 于是得到：
F
s
f (t)est dt LT f (t)
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第四章 连续系统的复频域分析
【例】求指数函数
的象函数F(s)。
f (t) eαt (t)
(α>0, α∈R)
【解】根据定义
F (s) etestdt e(s )tdt e(s )t
0
0
(s )
0
1 [1 lim e(s )t ]
s t
《 信号与系统》
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第四章 连续系统的复频域分析
第四章 连续系统的复频域分析
三、典型信号的拉普拉斯变换
1. 单位阶跃信号u(t)
LT[u(t)] e-st dt e-st 1
0
ss
0
2.指数函数et
LT et
et est dt 1
0
s
0
《 信号与系统》
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第四章 连续系统的复频域分析
3.单边正弦信号sin0tu t
1
第四章 连续系统的复频域分析
例:
ft
ebt eat
,t ,t
0 0
ab0
选择a> >b，就能保证t 和t -时，f te-t均趋于零，
通常把e-t称为收敛因子。
FT f
t
et
f (t)et e jt dt
f (t)e（ j)t dt
F( j)
即：F ( j) f (t)e（ j)t dt
LT sin0tu t
0
sin0
te
st
dt
0 s2 02
4.单边余弦信号cos0tu t
LT cos0tu t
0
cos
0te
st
dt
s2
s
02
5.单位冲激信号 t
LT t
t est dt
1
0
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第四章 连续系统的复频域分析
6.t的正幂信号tn n为正整数