1、论文（设计）研究目标及主要任务研究目标：提高学生个人的调研能力和翻译英文的能力，锻炼语言组织能力，培养对物理学的研究兴趣，在实践中达到物理思想的熏陶。

主要任务：简单介绍混沌尤其是量子混沌的概念，重点解释其本质特征及研究现状和研究方法，提高对其的认识和了解，激发研究热情并加快其研究进度。

2、论文（设计）的主要内容物理规律及其自然现象一般都很复杂，需要用非线性方程来表示它们的运动规律，而在非线性理论中混沌理论是非常重要的。

人们普遍把由确定性方程描述的经典系统出现一种随机行为称为混沌现象。

而量子混沌是经典动力系统中的混沌现象在量子体系中的表现形式。

即是在微观层次上研究那些在经典极限下呈现混沌运动的量子不可积系统所具有的复杂行为。

这里将主要介绍一下非线性理论中混沌理论特别是量子混沌的的研究，通过与较为成熟的经典混沌研究的对照，说明与经典混沌对应的量子混沌的特征以及利用半经典近似理论探讨混沌的量子化。

重点介绍量子混沌在量子计算机、在低维超晶格的量子输运和核物理等领域的一些进展情况。

在最后指出了量子混沌研究的重要意义。

3、论文（设计）的基础条件及研究路线基础条件：已经搜集了大量的相关材料，学习了其中与论文题目相关的内容并加以理解。

认真整理材料和个人的学习体会，对论文相关内容有了统筹的把握。

研究路线：需在原有材料基础上进行总结归纳，介绍其研究方法并适时加入自己的观点和看法，对有关原理进行必要理论分析，并揭示其研究应用前景，突出混沌尤其是量子混沌的研究重要意义。

4、主要参考文献1、顾雁《量子混沌》上海科技教育出版社,1996.2、Ze’ev Rudnick 《What is Quangtum Chaos?》Notice of The AMS,55(1):32-34.3、[美]C.格里博格. 《混沌对科学和社会的冲击》湖南科学技术出版社.2001.4、郝柏林. 《（从抛物线谈起）混沌动力学引论》上海科技教育出版社,1992.河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章222t μ∂ψ=-∇ψ∂，其是拉普拉斯常量。

如果该方程解的振幅不随时间改变，则称其为定态薛定谔方程的解。

该方程的定态解具体形式为(itE n -ψ22n n n E μ∆ψ=ψ，其中n E 代表量子化的能级。

与经典力学处理不同，用量子力学处理得到的能级是分立的，不连续的。

为方便处理起见，我们定义标度能级。

简单的例子是令该矩形“台球桌”边长⎭⎬⎫ ，其中m222t μ∂ψ=-∇ψ∂，22222y x ∂∂+∂∂=∇change in time, that目录中文摘要、关键词 (1)1、绪论 (2)1.1混沌的引入 (2)1.2 混沌理论的介绍 (2)2、混沌及量子混沌的特征与联系 (3)2.1 混沌特征与量子混沌特征 (3)2.2有关可积系统与不可积系统的介绍 (4)2.3 经典混沌与量子混沌联系—半经典近似理论 (4)3、量子混沌本质的解释 (6)4、量子混沌的新进展 (7)4.1 量子计算机与量子混沌 (7)4.2 在低维超晶格的混沌输运 (10)4.3量子混沌与核物理 (11)5、结语 (12)参考文献 (13)英文摘要、关键词 (14)量子混沌新进展摘要：物理规律及其自然现象一般都很复杂，需要用非线性方程来表示它们的运动规律，而在非线性理论中混沌理论是非常重要的。

人们普遍把由确定性方程描述的经典系统出现一种随机行为称为混沌现象。

而量子混沌是经典动力系统中的混沌现象在量子体系中的表现形式。

即是在微观层次上研究那些在经典极限下呈现混沌运动的量子不可积系统所具有的复杂行为。

本文主要介绍非线性理论中混沌理论特别是量子混沌的研究，通过与较为成熟的经典混沌研究的对照，说明与经典混沌对应的量子混沌的特征，以及半经典近似理论探讨混沌的量子化的问题。

重点介绍了量子混沌在量子计算机、在低维超晶格的量子输运和核物理等领域的一些进展情况。

在最后指出了量子混沌研究的重要意义。

关键词：量子混沌；经典混沌；半经典近似；量子计算机；量子输运；核物理1 绪论1.1 混沌的引入1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学创始人之一洛伦兹（E.N.Lorenz）在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个陆龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。

直到今天，这一论断仍为人津津乐道，更重要的是，它掀起了对混沌学研究的热潮。

今天伴随计算机等技术的飞速进步，混沌学已发展成为一门影响深远、发展迅速的前沿科学。

在物理学中混沌有着专门的含义，与我们日常生活中的“混沌”大为不同。

混沌在物理学里并不意味着变化多么剧烈，一个混沌系统可以按照某种光滑或有序进行演化。

例如物理学中伟大的科学家牛顿发现了一系列简明的原理和定律（如牛顿三定律）。

它们为我们人类“精确”预测物体的运动提供了依据。

如可以测出行星运动轨道，有助于发射人造卫星；预测地上导弹发射路径、形状，从而击中目标等。

然而在牛顿物理规律描述中，初始条件不可能精确确定，而人们认为由初始条件的不精确导致以后任意时刻的不精确会逐渐减少，越来越接近精确。

但在二十世纪时，这种观念受到了质疑。

因为人们在某些系统发现由于初始值的微差会在反映物理规律的数学方程中产生极大的偏差。

人们也把由确定性方程描述的经典系统出现一种随机行为称为混沌现象。

同时初始值敏感性是混沌的一个显著的特征[1-6]。

1.2 混沌理论的介绍混沌理论作为一个科学理论，具有以下三个关键特征：1、对初始条件的敏感性：此即著名的“蝴蝶效应”。

理解它的一个很好的比喻就是在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一场暴风雨。

混沌系统对初始条件是非常敏感的，初始条件的轻微变化都可能导致不成比例的巨大后果。

2、分形：分形是著名数学家Mandelbrot创立的分形几何理论中的重要概念。

意为系统在不同标度下具有自相似性质。

自相似性是跨尺度的对称性，意味着递归，即在一个模式内部还有一个模式。

由于系统特征具有跨标度的重复性，故可产生出具有结构和规则的隐蔽的有序模式。

分形具有二个普通特征：第一，它们自始至终都是不规则的；第二，在不同的尺度上，不规则程度却是一个常量。

3、奇异吸引子：吸引子是系统被吸引并最终固定于某一状态的性态。

有三种不同的吸引子控制和限制物体的运动程度：点吸引子、极限环吸引子和奇异吸引子（即混沌吸引子）。

点吸引子与极限环吸引子都起着限制的作用，以便系统的性态呈现出静态的、平衡的特征，故它们也叫做收敛性吸引子。

而奇异吸引子则与前二者不同，它使系统偏离收敛性吸引子的区域而导向不同的性态。

它通过诱发系统的活力，使其变为非预设模式，从而创造了不可预测性。

与通常研究的线性科学不同，混沌学研究的是一种非线性科学，而非线性科学研究似乎总是把人们对“ 正常”事物“正常”现象的认识转向对“反常”事物“反常”现象的探索。

例如，孤波不是周期性振荡的规则传播；混沌打破了确定性方程由初始条件严格确定系统未来运动的“常规”，出现所谓各种“奇异吸引子”现象等. 因而对混沌运动现象的研究深化人们对自然界各种运动的认识。

一方面，许多过去由于太混乱、太复杂而被忽视的“随机信息”得到人们的重视。

它们表面混乱无序，其实是“乱中有序”，有着与众不同的结构，可以用混沌理论来进行研究；另一方面，混沌运动的存在意味着经典系统在算法复杂性理论的意义上是不可计算的。

尽管经典轨道存在并且是唯一的，然而再这些轨道的某一时刻的精确测量无法预测下一时刻结果。

即人们对世界的认识能力受到根本限制，但这并不意味人们认识能力的某种终结，恰恰是人们对自然真实面貌的认识新起点。

可以说混沌理论的出现是继相对论、量子力学后的“第三次革命"。

几十年来,人们对混沌理论的研究不断深入,已包含耗散系统中的混沌,保守系统的混沌和时空混沌等。

2 混沌及量子混沌的特征与联系2.1 混沌特征和量子混沌的特征随着经典混沌研究的深入，量子混沌的研究也自然提上日程。

经典混沌的研究长足发展促使人门以巨大的热情去探讨量子混沌运动。

由于量子体系存在着测不准关系，对于经典混沌运动的一些基本特征很难找到它们的量子对应。

加上量子力学注重单个状态的性质，较少注意空间性质的研究。

迄今为止，对于量子混沌还没有为大家公认的定义，普遍承认的定义为量子混沌是经典动力系统中混沌现象在量子体系中的表现形式。

即在微观层次上研究那些在经典极限下呈现混沌运动的量子不可积系统具有的复杂行为，它们被广泛的称作“量子混沌”。

举个简单例子说明混沌与量子混沌的本质特征。

例如像地面上撒沙粒，沙粒的高度随着沙粒的数目增多而光滑的增加。

这时的系统是“线性”的。

但当沙堆高到一定程度后，再增加一粒沙粒，雪崩便会发生，沙堆的高度将会降低许多。

一粒微小沙粒的输入，输出的沙堆高度却发生巨大的变化。

输入与输出不成正比，这样的系统展现了初值敏感性，是非线性的，其轨道不能重复自己。

这就是混沌的本质特征。

[8]人们目前发现与经典混沌有关的量子现象主要有三类特征：(1）混沌动力学的本质特征就是轨迹对初始条件的敏感依赖性。

在量子力学中无法追踪相空间的每条轨迹。

适合量子力学描述的是相空间分布表示。

例如可以用维纳格分布来模拟相空间的轨道运动。

但由于受不确定原理的影响，加上在很短时间内有效，无法长时间的比较经典体系和量子系统的不同。

为此只有在维纳格分布运动和经典统计力学非平衡系综分布运动中来比较两者的不同，进而理解量子混沌的特征。

（2）混沌动力学演化特征之二是对于N 维量子守恒系统，其哈密顿算符H 对应的薛定锷方程可以约化为一个对能级E 的线性本征值问题，只要能级是分离的，则波函数随时间的演化表现出规则的行为。

但具有规则的经典极限和经典极限表现出混沌行为的量子系统的能谱表现不同，即泼西瓦提出的量子能谱分为规则谱和不规则谱两部分。

（3）定态波函数形态特征：一个保守的量子系统可以用能谱和波函数作完全描述。

本征态波函数更能详尽的描述动力学信息，因此可以细致的揭示混沌在量子力学中的表现。

然而，混沌特征只在高激发态中表现出来，而高激发态中波函数的测定和计算都十分困难，因此对定态波函数形态特征研究进展不像能谱那样取得显著的进展。

[1]2.2有关可积系统与不可积系统的介绍混沌系统和不可积系统是密切相联系的，因此为了更好理解混沌的情形，为了进一步了解混沌现象，我们有必要介绍下可积与不可积系统的概念。

以往我们在教科书讨论的均为用积分公式求解的例子，但是这种可积分系统是一种相当特殊的例子，绝大部分哈密顿系统是不可积分系统。

而且一般不可积分系统会出现混沌运动。

为简单起见，我们只引入可积系统的定义[1]。