第十二章 无穷级数一. 常数级数的审敛，常数级数的性质收敛：12.3下列级数中收敛的是( )； A ．()∑∞=-+11n n n B ．∑∞=+111n nC ．nn n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+123 D ．∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1211n n12(1)n =≥≥+，所以()∑∞=-+11n n n 发散；∑∞=+111n n 发散，因为11n ∞=∑发散，所以∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1211n n 发散，因此选C 。

12.7 下列级数中收敛的是( ) A.∑∞=+1121n n B.∑∞=+113n n nC.)1|(|1001<∑∞=q q n nD.∑∞=-1132n n n 解：121n ≥+，∑∞=+1121n n 发散；1lim 313n n n →∞=+，∑∞=+113n n n 发散；||1q <时，100lim n n q →∞=∞，)1|(|1001<∑∞=q qn n发散；213n =<，∑∞=-1132n n n 收敛，所以选D 。

12.11 下列级数中收敛的是( )；A ．∑∞=-1121n n B ．∑∞=122n n n C ．11ln(1)n n ∞=+∑ D ．∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1311n n解：1121lim 12n n n →∞-=，∑∞=-1121n n 发散；212(1)12lim 122n n nn n +→∞+=<，∑∞=122n n n 收敛；1ln(1)lim 11n n n →∞+=，11ln(1)n n ∞=+∑发散；11n ∞=∑发散，∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1311n n 发散。

所以选B 。

12.15 下列正项级数中收敛的是( )；A ．∑∞=-112n n n B ．∑∞=12n n n C ．)11ln(1∑∞=+n n D ．∑∞=+1)1(2n n n n解：1lim 212n n n →∞=-，∑∞=-112n n n发散；112n =<，∑∞=12n n n 收敛；)11ln(1∑∞=+n n 发散；12(2)(1)lim 212(1)n n n n n n n +→∞++=>+；∑∞=+1)1(2n n n n 发散。

所以选B 。

12.45 已知级数1nn ua ∞==∑，则级数∑-∞=+11)(n n n u u 的和s =解：因为1nn ua ∞==∑，所以1111111()()n n n n n n n u u u u a a u u ∞∞∞++===-=-=--=∑∑∑，填1u 。

绝对收敛：12.13 下列级数中满足绝对收敛的是( )； A ．∑∞=---1112)1(n n n n B ．∑∞=-11sin )1(n n n C ．∑∞=-13)1(n n n n D ．∑∞=-+-11)1(2)1(n n n n n 解：121n n n ∞=-∑、11sin n n ∞=∑、12(1)n n n n ∞=+∑发散，13n n n ∞=∑收敛，所以∑∞=-13)1(n n n n 绝对收敛，选C 。

12.17 下列级数中绝对收敛的是( ) (A)1nn ∞= (B)nn ∞= (C) 11(1)ln(1)n n n +∞=-+∑ (D)1(1)nn n ∞=-∑ 解：因为由正项级数审敛法，1n ∞=、11n n ∞=∑、11ln(1)n n ∞=+∑都发散，而1n ∞=收敛，所以1nn ∞=绝对收敛，选B 。

12.21 下列级数中满足绝对收敛的是( )；A ． 1(1)1nn n n ∞=-+∑ B ．11(1)sin n n n ∞=-∑ C．1(1)n n ∞=-∑ D ．1(1)2n n n n ∞=-∑ 解：选D 。

12.19 下列级数中条件收敛的是( )(A)11(1)n n ∞+=-∑ (B) 211(1)nn n∞=-∑ (C) 1(1)1nn nn ∞=-+∑ (D)11(1)(1)nn n n ∞=-+∑ 解：作为交错级数1(1)n n ∞+=-∑收敛，但不绝对收敛，因此，选A 。

12.23 下列级数中满足条件收敛的是( )；A ．∑∞=--112)1(n nn n B ．∑∞=--1211)1(n n n C ．∑∞=-13)1(n n n n D ．∑∞=-11)1(n n n 解：∑∞=--112)1(n nn n 不收敛，∑∞=--1211)1(n n n 、∑∞=-13)1(n n n n 绝对收敛，因此，选D 。

发散：12.2 下列级数级数中发散的是( ).(A) 11(1cos )∞=-∑n n (B)112sin3∞=∑n nn (C) 21(!)(2)!∞=∑n n n (D)2111n nn∞=++∑ 解：观察易知2111n nn ∞=++∑发散，选取D 。

12.10 下列级数中发散的是( ).(A) 11(1cos )∞=-∑n n (B)112sin3∞=∑n n n (C) 21(!)(2)!∞=∑n n n (D)1∞=n 解：观察易知∞=n 发散，选取D 。

12.5下列级数中发散的是( )A.∑∞=+-1)1()1(n nn n B.)1|(|)1(1>-∑∞=q qn n nC.∑∞=-1131n nD.∑∞=+1)1ln(n n解：观察易知∑∞=+1)1ln(n n 发散，选取D 。

性质： 12.1 若级数1nn u∞=∑收敛，则下列级数不收敛的是( )．(A)12∞=∑nn u(B)1(2)∞=+∑nn u (C) 12∞=+∑nn u(D)2nn u∞=∑解：由收敛性质易知1(2)∞=+∑nn u 不收敛，所以选B 。

12.9 若级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数不收敛的是( )．(A)110∞=∑nn u(B)1(10)∞=+∑nn u (C) 110∞=+∑nn u(D)10∞=∑nn u解：由收敛性质易知1(10)∞=+∑nn u 不收敛，所以选B 。

12.20 若级数1nn u∞=∑收敛，则下列级数中发散的是( ).(A)110nn u∞=∑ (B)101n n u∞+=∑(C) 110nn u∞=+∑ (D)1(10)nn u ∞=+∑解：由收敛性质易知1(10)∞=+∑nn u 不收敛，所以选D 。

12.4 如果级数∑∞=1n nu条件收敛，则||1∑∞=n nu( ).A ．必收敛B. 必发散C. 不一定收敛D. 无法判断解：由定义，∑∞=1n nu条件收敛，则||1∑∞=n nu必发散。

所以选B 。

12.12 如果级数∑∞=1n nu收敛，则极限n n u ∞→lim ( ).A ．存在 B. 不存在 C. 等于零 D. 无法判断解：由性质，∑∞=1n nu收敛，则极限lim 0n n u →∞=，所以选C 。

12.16 如果任意项级数∑∞=1n nu绝对收敛，则下列说法正确的是 ( ).A ．∑∞=1n nu必发散 B.∑∞=1n nu必收敛 C.||1∑∞=n nu必发散 D.||1∑∞=n nu不一定收敛解：由概念，∑∞=1n nu绝对收敛，则∑∞=1n nu必收敛，所以选B 。

12.18 若级数1nn u∞=∑收敛，则lim(1)n n u →∞-= ( ).(A) 2 (B) 0 (C) 1 ( D) 1- 解：由收敛性质，lim(1)1n n u →∞-=-，所以选D 。

12.25 级数∑∞=1n nu的部分和数列{}n s 有界是该级数收敛的( )；(A) 充分非必要条件； (B) 必要非充分条件； (C) 充分必要条件； (D) 非充分非必要条件. 解：级数∑∞=1n nu的部分和数列{}n s 有界是该级数收敛的必要非充分条件，如；1(1)nn ∞=-∑不收敛，但部分和{}n s 有界。

所以选B 。

12.29 若级数1(1)∞=-∑nn u 收敛，则lim →∞=nn u解：由收敛必要条件：lim(1)0n n u →∞-=，所以填lim 1n n u →∞=。

12.36 若级数1∞=∑nn u收敛，则2lim(2013)→∞-+=n n n u u解：由收敛必要条件：lim 0n n u →∞=，所以填2013。

12.42 lim 0n n u →∞=是1nn u∞=∑收敛的 条件.解：lim 0n n u →∞=是1nn u∞=∑收敛的必要条件，所以填“必要”。

绝对收敛、条件收敛还是发散：12.50 下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散，并写出你的理由。

（1）1(1)21∞=-+∑nn n n （2）1(1)2∞=-∑n n n n （3）11(1)21n n n +∞=--∑解：1lim 212n n n →∞=+，1(1)21∞=-+∑n n n n 发散；12n n n ∞=∑收敛，1(1)2∞=-∑n n n n 绝对收敛；11(1)21n n n +∞=--∑ 收敛，但1121n n ∞=-∑发散，所以11(1)21n n n +∞=--∑条件收敛。

12.55 下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散，并写出你的理由。

（1）12(1)31∞=-+∑nn n n （2）1(1)2∞=-∑n n n n （3）11(1)∞=-∑n n n 解：12(1)31∞=-+∑nn n n 发散；1(1)2∞=-∑n n n n 绝对收敛；11(1)∞=-∑n n n 条件收敛。

二. 幂级数的收敛半径，收敛域，和函数12.30 幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径为解：11lim 11n n n→∞+=，1n n x n∞=∑的收敛半径为1，填1。

12.37 幂级数11(1)nn n x n∞-=-∑的收敛半径为 解：11lim 11n n n→∞+=，11(1)n n n x n ∞-=-∑的收敛半径为1，填1。

12.40 幂级数12nnn x n ∞=⋅∑的收敛半径R = 解：111(1)2lim 122n n n n n +→∞+⋅=⋅，12n n n x n ∞=⋅∑收敛半径2R =，所以填2。

12.22 幂级数1(1)nnn x n ∞=-∑的收敛域为( ).A ．[1,1]- B.(1,1]- C.[1,1)- D. (1,1)-解：11lim 11n n n→∞+=，1(1)n n n x n ∞=-∑的收敛半径为1，又1x =-时，111(1)n n n n x n n ∞∞==-=∑∑发散，1x =时，111(1)(1)n nn n n x n n ∞∞==-=-∑∑收敛 ，所以收敛域为(1,1]-，故选B 。

12.26 幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域为( )；(A) )1,1(-； (B) )1,1[-； (C) ]1,1(-； (D) ]1,1[-.解：11lim 11n n n→∞+=，∑∞=1n n n x 的收敛半径为1，1x =-，11(1)n n n n x n n ∞∞==-=∑∑收敛，1x =时，111n n n x n n ∞∞===∑∑发散，所以收敛域为)1,1[-，故选B 。