dx
1 + y′2dx, x ∈ [a, b]
∫ ∫ ⇒ 弧= 长：s
b
d= s(x )
a
b 1 + y′2dx
a
工科数学分析（网课）
2、设L:
x = x(t) y = y(t)
,t ∈ [α,
β]
.
则
ds = (x ′(t) ⋅dt)2 + (y′(t) ⋅= dt)2 x′2(t) + y′2(t) dt
工科数学分析（网课） 2
2
2
例 5 求星形线 x 3 + y 3 = a 3 (a > 0) 的全长.
z = ω(t)
工科数学分析（网课）
F (ϕ(t),ψ (t),ω(t)) = 0两边求t的导数：
即 Fx (M ) ⋅ ϕ′(t0) + Fy (M ) ⋅ψ ′(t0) + Fz (M ) ⋅ ω′(t0) = 0
令T = (ϕ′(t0),ψ ′(t0), ω′(t0))， n = (Fx (M ), Fy (M ), Fz (M ))，
2 −
=0 y−1
=
0
,
法平面方程 x + 2( y + 1) = 0 ,即 x + 2 y + 2 = 0 。
工科数学分析（网课）
例 5：求曲线
x x
2 + y2 + y+
+ z
z2 = =0
6
，
在 (1,−2, 1) 处的切线及法平面方程。
解：设=x x= ,y y (x )、=z z (x ),
将方程的两边对x求导,
2x + 1 + y
2yy′ ′ + z′
+ 2zz =0
′
= 0 .
点(1,
−2,
1)处, y-′2+y
′+ z′
z′ =-1 =-1
⇒ y′=
0,z ′=
-1
⇒ 切向量 T = (1,y′,z′) = (1,0,-1)
工科数学分析（网课）
∴切向量T = (−1, 0 , 1),
{= x′(t0)dt,y′(t0)dt,z′(t0)dt} {dx,dy,dz}
工科数学分析（网课）
例1、设
Γ
：yz
= ϕ(x ) = ψ (x )
在 M (x0,y0,z0 ) = M (x0,ϕ (x0 ),ψ (x0 )) 处
T = (1,ϕ′(x0),ψ ′(x0))
例2、设
Γ
：GF((xx,,
z − z0 .
ω′(t0 )
法平面： ϕ′(t0)(x − x0) +ψ ′(t0)(y − y0) + ω′(t0)(z − z0) = 0.
4.注：1).空间曲线的切线的方向向量也称为切向量。 2).切向量的几种形式
(1)T {= x′(t0),y′(t0),z′(t0)} {ϕ′(t0),ψ ′(t0),ω′(t0)}; (2)T = {x′(t0),y′(t0),z′(t0)}dt
= [r′(θ )]2 − [r (θ )]2
弧微分= ：ds r2(θ ) + r′2(θ ) dθ , θ ∈ [α, β ]
∫ ⇒ = 弧长：s β r 2(θ ) + r ′2(θ ) dθ . α
工科数学分析（网课）
x = x(t)
4、设空间曲线= L: y y(t) ,t ∈ [α, β ] .则
工科数学分析（网课）
例4: 求 Γ ：= =yz
2x − 1 3x 2 − 2
在(0,− 1,− 2)处的切线方程和法平面方程.
解 y′ = 2, z′ = 6x,
∴ T = (1, y′(0), z′(0)) = (1,2,0),
∴ 切线方程
x−0 = 1
y+1 2
=
z
+ 0
2
,
即：2z
+ x
和 ( x + 1) + 4( y + 2) + 6(z + 2) = 0 即 x + 4 y + 6z = −21。
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注：利用切平面的交线求切线：
例5
求曲线
x
2
+
2 y2
+ 3z2
= 30在点(1, −1,3)处的切线
2x + 3 y − z =−4
解：x2 + 2 y2 + 3z=2 30在(1, −1,3)处的切平面为
该点处的切平面方程为：
2ax0 (x − x0 ) + 2by0 (y − y0 ) + 2cz0 (z − z0 ) = 0 .
即：ax 0x
+ by0y
+ cz0z
−
(ax
2 0
+ by02
+
cz
2 0
)
= 0 .
ax
2 0
+ by02
+
cz
2 0
= d
切平面为：ax0x + by0y + cz0z = d .(要记住)
t ∈[α , β ] .
∫ ∫ ⇒ 弧= 长 s
β
= ds (t )
β x ′2(t) + y′2(t) dt
α
α
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3、= 设 L: r r(θ ), r ∈[α, β ] 则
{ L :
x = r (θ )cosθ y = r (θ )sinθ
, ,
θ ∈ [α,
β]
x′2(θ ) + y′2= (θ ) [r′(θ )cos θ − r(θ )sin θ ]2 + [r′(θ )sin θ + r(θ )cos θ ]2
y
称为弧长元素或弧微分
T
∴曲线的长度为
∫ ∫ b
=s = ds
b (dx )2 + (dy)2
a
a
y = f (x)
N
ds P
M
dy
dx
）α
o
x x + dx x
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1、设= L: y y(x ), x ∈[a,b] . 则:
= ds
=
(dx )2 + (dy= )2 1 + (dy )2 dx
即 4x + 2y − z − 6 =0 ；
法线方程为：x= − 2 y= − 1 z − 4
4
2 −1
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例 3 求曲面 ax 2 + by2 + cz 2 = d 在点 (x0,y0,z0) 处
的切平面方程.
解：设 ( x0 , y0 , z0 ) 为曲面上的切点,
法向量为n = {2ax0,2by0,2cz0 } .
法线 L:
= x − x0 = y − y0
z − z0 .
Fx (x0,y0,z0 ) Fy (x0,y0,z0 ) Fz (x0,y0,z0 )
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例1：设曲面Σ：z = f (x,y)，求Σ 在
点M0 (x0,y0,z0 )处的切平面和法线. 解：令 F (x= ,y,z) f (x,y) − z.
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例 2 求曲面z = x2 + y2 − 1在点(2,1,4)处的切平面
及法线方程.
解：令Σ : F (x,y,z) = f (x,y) − z = x 2 + y2 − 1 − z
= n (2x, 2y,− 1) = (4, 2,−1).
(2,1,4)
(2,1,4)
切平面方程为： 4(x − 2) + 2(y − 1) − (z − 4) =0
(x0,2y0,3z0 ) / / (1,4,6)，
⇒
= x0 1
2= y0 4
3z0 ，⇒
6
2x0 =y0
=z0
又
x
2 0
+
2y02
+
3z
2 0
= 21 ∴
x0 = ±1,
所求切点为：(1,2,2), (−1,−2,−2),
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所求切平面有两个：
方程分别为 ( x − 1) + 4( y − 2) + 6(z − 2) = 0 即 x + 4 y + 6z = 21；
设曲线Γ 参数方程：y = ψ (t) (1)
z = ω(t)
x
•M
o
y
M (x0 ,y0 ,z0 ) → 参数t0 ,
N (x0 + ∆x,y0 + ∆y,z0 + ∆z) → 参数t0 + ∆t,
割线方向向量={∆x,∆y,∆z} // 1 {∆x,∆y,∆z}={ ∆x , ∆y , ∆z }
⇒ n ⋅T (Fx (M ), Fy (M ), Fz (M )) ⋅ (ϕ= ′(t0),ψ ′(t0), ω′(t0)) 0，
∴n ⊥ T. 由于曲线在M处的切向量T的任意性， 所以 n 即为切平面的法向量.
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即Σ : F(x,y,z)=0上点M(x0,y0,z0) 处的法向量 :
N →M
2 .法平面定义：
x
M
o
Π
y
过M点且与切线MT垂直
的平面Π
确定切线与法平面的关键——切向量
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