第五节 隐函数的求导法则
一、一个方程的情形
隐函数存在定理1设函数F(X, y)在点P(X 0, y o )的某一邻域内具有连续偏 导数，F(x °,y °) 0，F y (X 0, y 。
) 0 ,则方程F(x,y) 0在点X 。
的某一邻域内恒 能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 y f(x)，它满足条件y o f(x o )， 并有
dy Fx dx
F y '
说明：1) 定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将
y f(x)代入
F(x,y) 0 ,得恒等式
F(x,f(x)) 0，
等式两边对X 求导得
F _Fdy X y dx
由于F y 0于是得
dy Fx dx F y
导数：
2
d y I
_ Fx . dy dx X F y y F y dx
FF 2 2F F F F F 2
XX y
XyXy
y y X
F
y
例1验证方程Siny e x Xy 1
0在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个
2)若F(x, y)的二阶偏导数也都连续
则按上述方法还可求隐函数的二阶
F
XX
F y
F
yX F X
F
Xy F y
F
y y F
X
FX
F y
解设 F(X l y) Siny e x
Xy 1，则 1) F X e X y ， F y CoSy X 连续； 2) F(Q I Q) 0 ； 3)
F y (Q I Q) 1 Q .
一个单值可导的隐函数y f(X).
隐函数存在定理还可以推广到多元函数.一般地一个二元方程
F(x, y) Q 可
以确定一个一元隐函数，而一个三元方程F(x,y,z) Q 可以确定一个二元隐函数.
隐函数存在定理2设函数F(x, y, z)在点P(X Q ) y o , Z Q )的某一邻域内具有连续 的偏导数，且 F(X Q ) y o ,Z o ) Q , F Z (X Q , y o ,Z o ) Q ,则方程 F(X ) y, Z) Q 在点(X Q l y Q ) 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 Z f (x, y),它
满足条件Z Q
f (X Q ,y o ),并有
Z F X Z F
y
X
F Z ， y
F Z .
说明：定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将Z f(x,y)代入
单值可导的隐函数y
f(X)
，并求 dy
x
d 2y 0 , dx 2 x
因此由定理1可知，方程Siny e X Xy 1
Q
在点(Q,Q)的某一邻域内能唯一确定
dy dx X F X F y X
cosy X X
Q,y
d 2y dx 2 X
dx cosy X X 0, y
Q,y
(e X y )(cos y X ) (e
y)( (cosy x )2
Sinyy 1)
F(x, y,Z) Q，得F(x,y, f (x, y)) Q，
将上式两端分别对X和y求导，得
F X F Z F Z-Z o .
y 因为F Z连续且F z(X o,y o,Z o) 0于是得
FX
F Z F Z
例2设X2 y2Z2 4Z 0
2 求一Z
X
解设 F (x, y, Z)Z2 4Z，则F
X2X
，F Z2z 4，
FX FI
2x 2z 4
(2
Z
X
__ X
(2 z)2
X)(2X)Z)
2 X (2 z)L
(2 X)2
二、方程组的情形
在一定条件下，由方程组
F(X,y,u,v)
G(X,y,u,v)
可以确定一对二元函数
U (X,
y)
v(X,y)
例如方程XU yV0和yu XV1可以确定两个二元函数U
X2 XU yv0 V -U y yu XfUI
y_ y
X
X2 y2.
F面讨论如何由组求U，V的导数.
隐函数存在定理3设F(x, y,u,v)，G(x, y,u,v)点P(x o, y o,U o,V o)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又F(x o, y o,U o, V o) 0，G(x o, y0,U0,V0) 0,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(JaCobi)行列式)
P(X0,y0,U0,V0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数
U u(x,y),
V v(x,y).
它们满足条件U0U(χ0, y0),V0V(X0, y0),且有
F X F V F U F X
U1(F,G)G X G V V1(F,G)G U G X
X J(x,v)F U F V X J(U,x)F U F V
G U G V G U G V
F y F V I F U F
yl U1(F,G)G y G V V1(F,G)G U G yI
y J(y,v)F U F V y J(U,y)F U F V
G U G
V
G
U
G
V
说明：方程组所确定的隐函数的偏导数可分别对方程组中各方程两边求偏导数，然后解关于各偏导数的方程组，其中偏导数丿，」由方程组
X X
F X F U U Fv^0,
X X
G X G U U C V
Gv-0 X X
确定；偏导数U, V由方程组
y y
F y F U U F v」0, y y
G y G U U0.
y y
确定.
F F
(F,G)U V
(u,v)G G
U V J
在点P(x o, y0,U0,V0)不等于零，则方程组F(x, y,u,v) 0，G(x, y,u,v) 0，在点
0 .
例 3 设 XU yv 0 , yu XV 1 ,求-U , — , -U 和—.
XXyy
U V U X ——y — 0,
X X
0.
XU yv V yu XV
~ 2
，
-
2 2
.
X
y XXy
两个方程两边分别对y 求偏导，得关于-U
和上的方程组
y y
U V
X ——V y — 0, y
y
U V U y ——X — 0.
y y
另解 将两个方程的两边微分得
UdX XdU Vdy ydv Q 即 XdU ydv Vdy udχ,
Udy ydu VdX XdV 0, ydu XdV Udy vd
χ.
解之得
于是
y(U,V)在点(U ,V )的某一领域内连续且有连续偏
导数，又
(χ,y) (U ,V )
1)证明方程组
XU yv I dχ
X
V y
U dy , dv
yu 2 XV XU
dX y
Vdy .
X y X y
X
y X
y
dU
XU yv
U XV yu
V yu XV
V XU yv
2
2 ，
2
2 ，
2
2 ，
2
2
X y y
X
y X X y y X y
U
X
解两个方程两边分别对
X 求偏导，得关于—和上的方程组
X X 当X 2 y 2
0时，解之得—
X
当X 2 y 2
0时，解之得— y XV yu V XU yv
2
2 ，
2
2
・
X y
y
X y 例 设函数X X (U ,V ), y
X x(u, V) y y(u,v)
在点(X) y,u,v)(的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数
U U(X l y) I V V(X l y).
2)求反函数U u(x,y),v v(x, y)对x, y的偏导数.
解1)将方程组改写成下面的形式
F(x, y,u,v) X x(u, v) 0,
G(x, y,u,v) y y(u,v) 0,
则按假设J -(F Q上山0 ,
(u,v) (u,v)
由隐函数存在定理3,即得所要证的结论.
2)将方程组所确定的反函数U u(x,y), v v(x, y)代入原方程组，即得
X x[u(x,y),v(x, y)],
y y[u(x,y),v(x,y)].
将上述恒等式两边分别对X求偏导数，得
X U X V
1
U X V X
0y U y V
U X V X
由于J 0 ,故可解得
U1y V丄」
X J V X J U
同理，可得
U 1 X V 1 X
y J V y J U
0 .。