Calculating the volume of tetrahedron with the mixed products of vectors
ZHENG Hui
（School of Mathematics and Computer Science，Aba Teacher′s University，Wenchuan 623000，China）
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r
b - a,
rr c - a,
r c
，
rr c - a,
rr c - b,
r b
，
rr c - a,
rr c - b,
r a
，
rr b - a,
rr c - b,
r b
，
rr b - a,
rr c - b,
r c
．由混合积的运
( ) 算规律可知，这 12 个混合积的绝对值都相等，且都等于
2
高师理科学刊
第 39 卷
( ) ( ) V = 16 P1-P2P3P4
uuuur P1P2 ,
uuuur P1P3 ,
uuuur P1P4
=1 6
r a,
r b,
r c
=
( ) ( ) 1
6
uuuur P2 P1,
uuuur P2 P3 ,
uuuur P2 P4
=1 6
r -a,
rr b - a,
r a,
r b,
r c
．故四面体的体积等于以其任意不共面
的三边（向量）为棱所作的平行六面体体积的六分之一.
P1 - P2 P3P4 为一四面体（见图１），设 P1P2
= a ，P1P3
= b ，P1P4
= c ，则 P2P4
= c - a ，P2P3
=b-a，
P3P4 = c - b ．由初等几何知识可知，四面体 P1 - P2P3P4 的体积等于以其共点的三边（向量）为棱所作的平行
六面体体积的六分之一．因为平行六面体的体积等于其三边的混合积的绝对值，所以
rrrr
( ) 四面体 P1 - P2P3P4 不共点、不共面的任意三边的组合共有 12 种，其混合积分别为 a, b, c - b ，
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r r r
rrrr
rrrr
rrrr
rrrr
rrrrr
a, b, c - a ， a, c, b - a ， a, c, c - b ， b, c, a - c ， b, c, b - a ， b - a, c - a, b ，
( ) r r r
Abstract：In analytical geometry，an important application of the mixed products of vectors a, b, c is to get the volume of parallelepiped and tetrahedron with its geometric meaning．Provided a more general method to get the volume of tetrahedron with the mixed products of vectors． Key words：analytical geometry；mixed product；tetrahedron；volume
体体积进行了研究．本文给出求四面体体积的一个更一般的方法． 定理 四面体的体积等于以其任意不共面的三边（向量）为棱所作
P３
图 1 四面体 P1 - P2 P3P4
的平行六面体体积的六分之一．
uuuur r uuuur r uuuur r uuuur r r uuuur r r
证明 uuuur r r
收稿日期：2018-12-10 基金项目：国家自然科学基金项目（11861001）；四川省应用基础研究项目（2018JY0458）；四川省高校科研创新团队建设计划项目（18TD0047）；
四川省教育厅自然科学基金项目（18ZB0001）；阿坝师范学院校级课题（ASB14-21）；阿坝师范学院教学改革研究项目（20171225， 20170816） 作者简介：郑惠（1977 -），女，四川南充人，副教授，从事几何以及数论研究．E-mail：zh_9203@
（阿坝师范学院 数学与计算机科学学院，四川 汶川 623000）
( ) 摘要：在解析几何中，向量混合积
r a,
r b,
r c
的一个重要应用就是利用其几何意义求平行六面体和
四面体的体积．利用向量混合积给出了求四面体体积的一个更一般的方法． 关键词：解析几何；混合积；四面体；体积 中图分类号：O182.2 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2019.03.001
r a,
r b,
r c
rr 为以 a ，b ，
( ) r
rrr
rrr
c 为棱所作的平行六面体的体积；当 a ，b ，c 共面时， a, b, c = 0 ．混
合积应用研究的热点除了用于证明向量共面，就是求平行六面体和四面 P2
P4
体的体积．教材[1-3]对四面体体积问题进行研究时，都只是利用四面体
其共点三边（向量）混合积计算四面体的体积，文献[4-10]分别对四面
rr c-a
=
( ) ( ) 1
6
uuuur P3 P1 ,
uuuur P3P2 ,
uuuur P3 P4
=1 6
rr a - b,
r - b,
rr c-b
=
1
( ) ( ) 6
uuuur P4 P1,
uuuur P4 P2 ,
uuuur P4 P3
=1 6
rr b - c,
rr a - c,
r -c
第 39 卷 第 3 期 2019 年 3 月
高师理科学刊 Journal of Science of Teachers′College and University
文章编号：1007-9831（2019）03-0001-02
Vol. 39 No.3 Mar. 2019
利用向ห้องสมุดไป่ตู้混合积求四面体体积
郑惠
rr
r
在解析几何中 2 个向量 a ， b 先作外积，再与另一向量 c 作内积，
P1
( ) ( ) ( ) r r r
rrr rrr
称 为 三 向 量 的 混 合 积 ， 记 为 a, b, c ， 即 a, b, c = a ´ b × c ．
( ) ( ) r
a,
r b,
r c
rrr 的几何意义为：当 a ，b ，c 不共面时，