I =1 I =1 I =1 N Nt N
零能模态
稳定化方案
δΠ s (ui ) = δΠ(ui ) +
2αபைடு நூலகம்slc2 E
∫
Ω
δσ ij , j (σ ij , j + fi )dΩ = 0
伽辽金型无网格法 — 数值积分
光滑应变稳定化方案
将节点xL处的应变取为节点xL的邻域ΩL 内应变的加权平均 ⎧1 / ΔΩ L x ∈Ω L ij = ∫ ε ijφ ( x; x − x L )dΩ ε φ ( x; x − x L ) = ⎨ Ω x ∉ ΩL ⎩0 ⎧ ∂u ∂u j ⎪ ⎫ 1 1 ⎪ i = + d Ω = ( u n + u n )d Γ ⎨ ⎬ j i 2 ΔΩ L ∫Ω L ⎪ 2 ΔΩ L ∫Γ L i j ⎩ ∂ x j ∂ xi ⎪ ⎭
( xL ) = ε
⎡ b (x ) 0 ⎢ I1 L (x ) ⎢ B I ( xL ) = 0 b I2 L ⎢ (x ) b (x ) ⎢ b I1 L ⎣ I2 L
I ∈GL
(x ∑B
I
L
) uI
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
ΩL xL
(x ) = b Ii L
1 ΔΩ L
加权最小二乘型无网格法
|
构造加权最小二乘泛函
Π = ∫ (σ ij , j + f i )(σ ik ,k + f i )dΩ
Ω
+ ∫ α u (ui − ui )(ui − ui )dΓ + ∫ α t (σ ij n j − ti )(σ ik nk − ti )dΓ
Γu Γt
δΠ = ∫ δσ ik ,k (σ ij , j + f i )dΩ
| |
伽辽金型无网格法 — 位移边界条件的处理
|
Nitsche’s方法 Ø 能否找到一种方法，结合上述几种方案的 优势，克服其不足？ Ø 增广拉格朗日乘子法：
Π′( u, λ ) = Π( u) + ∫ λ T ( u − u )d Γ +
Γu
β ( u − u )T ( u − u )d Γ 2 ∫Γu
2 ui ( xk ) = ui ( xk )
² 在自然边界点上引入域内微分方程的影响 ² 方程阶数被提高
配点型无网格法 — 最小二乘配点
σ ij , j ( xk ) + f i ( xk ) = 0 xk ∈Ω, i, j = 1,2; k = 1,2,, N +N a σ ij ( xk ) n j = ti ( xk )
Ω Γt
| | | | |
计算量大 精度高，稳定性好 系数矩阵对称 需要研究如何进行数值积分（最常用背景网格积分） 不易施加本质边界条件
伽辽金型无网格法 — 数值积分
∫
|
Ω
f ( x )d Ω = ∑ f ( xl ) wl
l =1
ng
背景网格（高斯）积分 Ø 背景网格节点不一定是近似函数节点，单元 不一定在求解区域里 Ø 有限元网格是很好的背景网格
ui ( xk ) = ui ( xk )
s xx (MPa)
5
xk ∈Γ t , i, j = 1,2; k = 1,2,, N t xk ∈Γ u , i = 1,2; k = 1,2,, N u
s xx (MPa)
5 0 -5
0
-5 解析解 最小二乘配点法 配点法：方案一 配点法：方案二 0 2 4 6 (a) 8 10 12 x(m)
配点型无网格法
Finite Point Method (FPM) Ø MLS + Collocation | SPH Ø 核近似 + Collocation | Hp clouds Ø 单位分解 + Collocation | 基本解方法（MFS） Ø 基本解作为形函数 + Collocation + 域外/边界 上布点
|
伽辽金型无网格法
等效积分弱形式（虚位移原理）
δΠ(u ) = ∫ (δ ε Tσ − δ u T f )d Ω − ∫ δ u T t d Γ = 0
Ω Γt
Kd = P
K = ∫ Β T DB d Ω
Ω
MLS近似：u( x ) = N ( x )d
P = ∫ Ν T f d Ω + ∫ N Tt d Γ
-10 -15 -20 -25 -30
-10 -15 -20 0 2 4 6 (b)
解析解 最小二乘配点法 配点法：方案一 配点法：方案二 8 10 12 x(m)
N = 48, Na = 21
N = 107, Na = 64
7
配点型无网格法 — SPH
无体力时的运动方程
∇ ⋅ σ = ρv
配点法
Ω
Ø 应变计算计入了其它节点的影响，可在一定
程度上近似处理非局部问题
伽辽金型无网格法 — 数值积分
|
单位分解积分 1. 函数ψk (x)只定义在子域Ωk上； 2. 子域Ωk相互重叠，且它们完全覆盖了域Ω； 3. 函数ψk (x)满足单位分解条件
∫
Ω
f ( x )dΩ = ∑ ∫
k =1
识别 λ = − t on Γ u
δΠ( u) − ∫ δ t T ( u − u )dΓ − ∫ δ u T tdΓ + β ∫ δ u T ( u − u )dΓ = 0
Γu Γu Γu
( K + K t + K p )d = P + Pt + Pp
|
Nitsche’s方法的罚系数不必取得太大即可获得很 准确的结果
节点
解析积分
数值积分
∑ ai Di ( ρ1 )
i =0
m
Ø 易于实现任意阶应力场
=
dN I (ξ1 ) m w1 ∑ aiξ1i dξ i=0
的精确积分
Ø 较少积分点即可达到较
积分点相对位置和权重
高精度
4
伽辽金型无网格法 — 位移边界条件的处理
N I ( x J ) ≠ δ IJ
|
u h ( xI ) ≠ uI
l
Ω∩Ω k
ψ k ( x ) f ( x )dΩ
伽辽金型无网格法 — 数值积分
|
P int = − ∫ Β Tσ d Ω 支持域积分 Ω Ø 被积函数原型：普通多项式 è 形函数/形函 数导数与多项式相乘 1 dN (ξ ) m i I
节点 I 的支持域
∫
0
dξ
∑aξ
i=0 i
dξ
积分点
T T G = ∫ Nλ NdΓ, Q = ∫ N λ udΓ Γu Γu
伽辽金型无网格法 — 位移边界条件的处理
|
修正变分原理
δΠλ ( u, λ ) = δΠ( u) + ∫ δλ T ( u − u )dΓ + ∫ δu T λ dΓ = 0
λ = − t on Γ u
Γu
Γu
Γu
= δΠ( u) − ∫ δ t T ( u − u )dΓ − ∫ δ u T tdΓ = 0
|
罚函数法
δΠ p ( u) = δΠ( u) + α ∫ δ u T ( u − u )dΓ = 0
Γu
( K + K p )d = P + Pp
K p = α ∫ N T NdΓ
Γu
Pp = α ∫ N T udΓ
Γu
5
伽辽金型无网格法 — 位移边界条件的处理
各种方法优劣的讨论： 拉格朗日乘子法 Ø 准确施加本质边界条件 Ø 系数矩阵不再正定，维数增加 | 修正变分原理 Ø 系数矩阵维数不变 Ø 边界条件施加不够准确 | 罚函数法 Ø 系数矩阵半正定、维数不变 Ø 罚数不当导致系数矩阵性态变差
|
6
配点型无网格法 — FPM
微分方程在域内节点处满足，边界条件在边界节点处满足
σ ij , j ( xk ) + f i ( xk ) = 0 xk ∈Ω, i, j = 1,2,3; k = 1,2,, N Ω σ ij ( xk ) n j = ti ( xk )
ui ( xk ) = ui ( xk )
无网格法
典型无网格法
无网格法总结
典型无网格法
伽辽金型无网格法 配点型无网格法 | 基于局部弱形式和边界积分方程的无网格法 | 最小二乘无网格法 | 物质点法
| |
1
伽辽金型无网格法
EFGM Ø MLS近似 + Galerkin格式 | RKPM Ø RK近似 + Galerkin格式 | PIM Ø 点插值近似 + Galerkin格式 | RPIM Ø 径向点插值近似 + Galerkin格式
∫
ΓL
N I ( x ) ni ( x )dΓ
3
伽辽金型无网格法 — 数值积分
|
光滑应变稳定化方案的进一步讨论 Ø 克服了零能模态，稳定性好于普通节点积分 Ø 积分得到了降阶，计算量减小 Ø 稳定化的本质是施加了线性一致性条件（常 应力可精确积分）
P int = − ∫ Β Tσ d Ω
配点型无网格法 — FPM
稳定化
σ ij , j ( xk ) + fi ( xk ) − 1 hl ∂ ⎡ σ ( x ) + f i ( xk ) ⎤ ⎦=0 2 ∂xl ⎣ ij , j k σ ij ( xk )n j − 1 hl nl ⎡ ⎣σ ij , j ( xk ) + fi ( xk ) ⎤ ⎦ = ti ( xk )