A
D
B
全等三角形的判定
全等三角形复习
[知识要点] 一、全等三角形 1．判定和性质 一般三角形
直角三角形
判定 边角边（SAS ）、角边角（ASA ） 角角边（AAS ）、边边边（SSS ） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL ） 性质
对应边相等，对应角相等
对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ② 全等三角形面积相等． 2．证题的思路：
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪
⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧⎪⎩⎪
⎨⎧⎪⎩⎪
⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）
找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 二、例题讲解
例1.（SSS ）如图，已知AB=AD ，CB=CD,那么∠B=∠D 吗？为什么？ 分析：要证明∠B=∠D ，可设法使它们分别在两个三角形中，再证它们所 在的两个三角形全等，本题中已有两组边分别对应相等，因此只要连接
AC 边即可构造全等三角形。

解：相等。

理由：连接AC ，在△ABC 和△ADC 中，⎪⎩⎪
⎨⎧===AC AC CD CB AD
AB
∴△ABC ≌△ADC （SSS ），∴∠B=∠D （全等三角形的对应角相等）
点评：证明两个角相等或两条线段相等，往往利用全等三角形的性质求解。

有时根据问题的需要添加适当的辅助线构造全等三角形。

例2.（SSS ）如图，△ABC 是一个风筝架，AB=AC,AD 是连接A 与BC 中点D 的支架，证明：AD ⊥BC.分析：要证AD ⊥BC ，根据垂直定义，需证∠ADB=∠ADC,而∠ADB=∠ADC 可由△ABD ≌△ACD 求得。

证明： D 是BC 的中点，∴BD=CD
C
D
A
A D
B E
C F
A E F B
D C
C
B
E
D
A
B D C
在△ABD 与△ACD 中，⎪⎩
⎪
⎨⎧===AD AD CD BD AC AB
∴△ABD ≌△ACD(SSS)，∴∠ADB=∠ADC （全等三角形的对应角相等） ∠ADB+∠ADC=︒180（平角的定义）
∴∠ADB=∠ADC=︒90，∴AD ⊥BC （垂直的定义）
例3.（SAS ）如图，AB=AC,AD=AE,求证：∠B=∠C. 分析：利用SAS 证明两个三角形全等，∠A 是公共角。

证明：在△ABE 与△ACD 中,⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=AD AE A
A AC AB
∴△ABE ≌△ACD(SAS),∴∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）
例4.（SAS ）如图，已知E,F 是线段AB 上的两点，且AE=BF,AD=BC,∠A=∠B,求证：DF=CE. 分析：先证明AF=BE ，再用SAS 证明两个三角形全等。

证明： AE=BF(已知)
∴AE+EF=BF+FE,即AF=BE
在△DAF 与△CBE 中,⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=BE AF B A BC
AD
∴△DAF ≌△CBE(SAS),∴DF=CE （全等三角形的对应角相等）
点评：本题直接给出了一边一角对应相等，因此根据SAS 再证出另一边（即AF=BE ）相等即可，进而推出对应边相等。

例5.（ ASA ）如图，已知点E,C 在线段BF 上，BE=CF,AB ∥DE,∠ACB=∠F,求证：AB=DE. 分析：要证AB=DE ，结合BE=CF ，即BC=EF ，∠ACB=∠F 逆推，即要找到证△ABC ≌△DEF 的条件。

证明: AB ∥DE,∴∠B=∠DEF. 又 BE=CF ，∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
在△ABC 与△DEF 中,⎪⎩⎪
⎨⎧∠=∠=∠=∠F ACB EF BC DEF
B
∴△ABC ≌△DEF(ASA),∴AB=DE.
例6.（AAS ）如图，已知B,C,E 三点在同一条直线上，AC ∥DE,AC=CE,∠ACD=∠B,求证：△ABC ≌△CDE.
分析：在△ABC 与△CDE 中，条件只有AC=CE,还需要再找另外两个条件，
A
C
B D
E
A
B D C
B C E
由AC∥DE，可知∠B=∠D,于是△ABC≌△CDE的条件就有了。

证明： AC∥DE，∴∠ACB=∠E,且∠ACD=∠D.
又 ∠ACD=∠B,∴∠B=∠D.
在△ABC与△CDE中,
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
∠
=
∠
∠
=
∠
CE
AC
E
ACB
D
B
,
∴△ABC≌△CDE(AAS).
解题规律：通过两直线平行，得角相等时一种常见的证角相等的方法，也是本题的解题关键。

例7.（HL）如图，在Rt△ABC中，∠A=︒
90,点D为斜边BC上一点，且BD=BA,过点D作BC
得垂线，交AC于点E，求证：AE=ED.
分析：要证AE=ED，可考虑通过证相应的三角形全等来解决，但图中没有现成的三角形，因
此要考虑添加辅助线构造出两线段所在的三角形，结合已知条件，运用“三点定形法”知，
连接BE即可。

证明：连接BE.
ED⊥BC于D,∴∠EDB=︒
90.
在Rt△ABE与Rt△DBE中，
⎩
⎨
⎧
=
=
BE
BE
BD
BA
∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL),∴AE=ED.
解题规律：连接BE构造两个直角三角形是本题的解题关键。

特别提醒：连公共边是常作得辅助线之一。

1．如图，已知AC＝DB，要使△ABC≌△DCB，利用SSS只需增加的一个条件是__ __。

2．如图，已知△ABC和△DBE，B为AD的中点，BE＝BC，请增加的一个条件____________使△ABC≌△DCB。

3．如图，点F、C在线段BE上，且AB=DF，AC＝DE，若要使△ABC≌△DEF，则还需补充一个条件___________。

4.如图：将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠A= 度；
三、课堂同步练习
1.如图，AB=AD,CB=CD,△ABC与△ADC全等吗？为什么？
2
1
F
E
（第13题）
D
C
B
A
B F
C E
A
D
A B
O
D C
C B A D
C D
B E
A
如图，已知AB=CD ，AC=BD ，求证：∠A=∠D ．
2.如图，C 是AB 的中点，AD=CE,CD=BE,求证△ACD ≌△CBE.
4.如图，AC ⊥CB,DB ⊥CB,AB=DC,求证∠ABD=∠ACD.
6.如图，AC 和BD 相交于点O ，OA=OC,OB=OD.求证DC ∥AB.
7.如图，点B,E,C,F 在一条直线上，FB=CE,AB ∥ED,AC ∥FD.求证AB=DE,AC=DF.
8.如图，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB 。

求证：AB=DC 。

A
B
C
D
12
9. 已知B E E D =∠=∠，12,求证：∆∆A B E C D E ≅
6．已知AC =BD ，AE =CF ，BE =DF ，问AE ∥CF 吗？
8、9 10、已知CD ∥AB ，DF ∥EB ，DF =EB ，问AF =CE 吗？说明理由。

11、已知ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，BD =EF ，问BM =ME 吗？说明理由。

已知AD =AE ，∠B =∠C ，问AC =AB 吗？说明理由。

15、点C 是AB 的中点，CD ∥BE ，且CD =BE ，问∠D =∠E 吗？说明理由。

A
C
B
D
E
F
A
D
C E
F B
A
C M E
F
B
D
A
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E
B
C
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2。