又 lim u n lim
n
n n1
n
0,
所以级数收敛.
5
用Leibnitz 定理判别下列级数的敛散性:
1)2)13) ( 1) 收敛 n 1 2 3 4 u n 1 n (n 1) ! 1 1n 1 10 n 1 1 1 u n n 1 1 1 10 收敛 n n 1 1 ( 1) n 2! 3! 4! n ! 10! n 1 2 3 4 n 1 n ( 1) 收敛 n 10 102 103 104 10
n
n
u n l 上述结论仍然成立。 10
1 1 例4 判定 ( 1 ) n 1 3 n n1
n

n
2
的绝对收敛,条件
收敛或发散性.
解
n
un
1 3
(1
1 n
) n
n
1 3
e 1 ， 绝对收敛.
11
例5 解
设 p 0, 0 , 讨 论
而
S 2m 1 S 2m u2m 1 , 由 条 件 (2)可 知 ,
m
lim S 2 m 1 S ,
得
lim S n S ,
n
2
即 原 级 数 收 敛 , 且 其 和 S u1 .
( 1)
n1

n1
un
( 其中 u n 0 )
定理(莱布尼茨定理) 如果交错级数满足条件
0,
4
所以级数收敛。
例2
判别级数
设 f (x)

( 1)
n
n
n2
n1
的敛散性.
(1 x ) 2 x ( x 1)
2
解
x x1
, 则 f ( x )
0,
( x 2)
故函数
x x1
在 x 2时 单调递减 ,
n 所以数列 单调递减, n1
n1

n1
u n 收敛,
且 其 和 S u1 .
1
证
S 2 m ( u1 u 2 ) ( u 3 u 4 ) ( u 2 m 1 u 2 m ) ,
由 条 件 ( 1 ) 可 知 , u2k 1 u2k ,
所以 { S 2 m } 单调递增；
另一方面,
p
n
,
n1
因 此 当 p 1 时 绝 对 收 敛 ；当 0 p 1 时 条 件 收 敛 .
12
例6 讨论级数
解
lim un1 un
n

x
n
的敛散性.
x
n1
n1
n
n1 n x
n
lim
n
lim
n n1
n
x x
若 x 1 , 级数绝对收敛； 若 x 1 ,级数发散；
r 1
不定
根值判别法
r 1
lim
n
n
un r
用它法判别
比较判别法 部分和极限 积分判别法
r 1
收 敛
发 散
15
3. 任意项级数收敛法
概念: 为收敛级数 绝对收敛
条件收敛 Leibniz定理: (1)
n 1 n 1
un
un un 1 0
第三节 任意项级数,绝对收敛与条件收敛
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.

( 1)
n1
n1
un
( 其中 u n 0 )
定理(莱布尼茨定理)
如果交错级数满足条件
（1） u n u n 1 ,即 { u n } 单调递减；
（ 2 ） lim u n 0 ,
n
则交错级数 ( 1 )

p

( ) n

p
n
的 收 敛性.
n1 n
n1
lim
u n1 un
n
lim
n
p
( )
n
( n 1)
( )
,
若 1 ,则 原 级 数 绝 对 收 敛 ；
若 1 ,则 原 级 数 发 散 ；
若 1 ,原 级 数 为


( 1) n

n

sin n n
2
的绝对收敛,条件收敛或发散性.
n1
因为
sin n
2

1 n
2
,而


1 n
2
收敛,
n1
故原级数绝对收敛.
9
定理：如果任意项级数
u
n1

n
u1 u 2 u n
满足条件
lim un1 un

n
l , 则当 l 1 时级数绝对收敛， 1 时级数发散。 l
证明
即
令



un , un 0 u (| u n | u n ) ，n 1 , 2 , 2 un 0 0,
1
un 为

n1
u
n1

n
的 所 有 非 负 项 组 成 的级数,
显然
u n | u n | , 由正项级数的比较判别法可知,


由

un 收 敛 , 而 un 2un | un | ,
n
lim u n 0
则交错级数
(1)
n 1

n 1
u n 收敛
16
思考题
设正项级数
un
n1

收 敛 , 能 否推得

n1

2 un
收敛 ?
反之是否成立? 若是任意项级数呢?
17
解答

设
u n 是 正 项 级 数 ， lim
n1

un
2
n
un
un

lim u n 0 ，

若
un
n1

收 敛 ,但
|u
n1

n
| 发 散 ,则 称 u n 条 件 收 敛 .
n1

例如, ( 1 )
n1
n1
1 n
2
绝对收敛,
而 ( 1)
n1

n1
1 n
条件收敛.
7
定理： 若 | un | 收敛,则 un 收敛.
n 1
n


n 1
n
1 n
) x x
若 x 1 , 级数绝对收敛； 若 x 1 ,级数发散；
若 x 1 , 该级数的通项不趋于 0， 级数发散；
14
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数收敛法
必要条件 lim u n 0
n
不满足
发 散
满足
u n 1 比值判别法 lim u r n n


n1
|u
n1
n
|的 收 敛 性可知,
u
n1

n
收敛.
8
说明:
(1) 定理不可逆, 如 ( 1 )


n1
1 n

收敛, 但
n


1 n
发散;
n1
n1
(2) 若 | u n | 发散, 不 能 推 出
n1
u
n1
发 散,
如上例；
(3)凡是用于判定正项级数敛散性的定理，都可以用来 判别级数是否绝对收敛； 例3 判定 解
n1

n1
1 n
1
1 2

1 3

1 4

这是交错级数,
1 单调递减, n
且
lim
1 n
n
0,
由莱布尼茨定理知，级数收敛。 一般地， ( 1 )
n1 n1
1 n
p
称为交错 p—级数.
lim 1 n
p n
1 当 p 0 时 ， p 单调递减且 n
19
n
若
u n 收 敛 ，由比较判别法知
n1

2
收敛.
1 n
n1
反之不成立. 例如：

1 n
2

n1
收敛,
发散.

n1
若为任意项级数,则由
如
un

收敛不能推出
n1
un
2
收敛.
n1


( 1) n
n
收敛, 但
n1

1 n
发散.
18
n1
作业 :
P310 311 7 ( 1 )( 3 ), 8 ( 1 )( 3 )( 5 )
若 x 1,



1 n
调和级数发散； 若 x 1 ,
n1
n1


( 1) n
n
n1

( 1) n
条件收敛。
n1
13
例7 讨论级数 nx
n1

n1
的敛散性.
n
解
lim
un1 un
n
lim
( n 1) x n x
n1
n
lim ( 1