第11章线性反馈系统
习题
11.1 考虑图11-1所示的离散时间线性时不变系统的互联，试将总系统函数用H0（z），
H1（z）和G（z）表示。
图11-1
解：系统中H1（z）和G（z）构成闭环系统，用1
1
()
()
1()()
H z
Q z
G z H z
=
+
表示，然后与H0（z）相加，得到总系统函数如下
1
100
1
()
()()()()
1()()
H z
Q z Q z H z H z
G z H z
=+=+
+
11.2 考虑图
11-2
所示连续时间线性时不变系统的互联，试将总系统函数用H1（s），
H2（s），G1（s）和G2（s）表示。
图11-2
解：首先H1（s）和G1（s）构成闭环系统，用
）
s
（
G
）
s
（
H
1
）
s
（
H
)
(
Q
1
1
1
1+
=
s表示，再与H2（s）相乘，得到
）
s
（
G
）
s
（
H
1
）
s
（
H
）
s
（
H
)
(
)
(
)
(
1
1
2
1
2
1
2+
=
=s
H
s
Q
s
Q。
它们再与G2（S）构成闭环系统，则有
）
s
（
G
）
s
（
H
1
）
s
（
G
）
s
（
H
）
s
（
H
1
）
s
（
G
）
s
（
H
1
）
s
（
H
）
s
（
H
)
(
)
(
1
)
(
)
(
1
1
2
2
1
1
1
2
1
2
2
2
+
+
+
=
+
=
s
G
s
Q
s
Q
s
Q
化简得：
=
)
(s
Q
11.3 考虑图11-3（a）中的连续时间反馈系统，其
对于什么样的b值，该反馈系统是稳定的？
（a）连续时间系统（b）离散时间系统
图11-3 基本反馈系统的组成
解：系统函数为
2
b
1
-s
1
2
1
1-s
b-s
1
1-s
1
+
⋅
=
+
=
则只有一个极点
2
s=
则系统稳定的条件为0
2
b
1
<
+
，即b＜－1。
11.4 一个输入为x（t）和输出为y（t）的因果线性时不变系统S，其微分方程为
现在要用H（s）＝1/（s＋1）时的图11-3（a）的反馈互联来实现系统s，试求G（s）。
解：对微分方程两边进行拉氏变换，得到
则其系统函数为
s
1
s
1
1
s
Q
+
+
=
）
（
图11-3（a）中的系统函数为
）
（
）
（s
G
s
1
1
s
1
1
s
G
1
s
1
1
+
+
=
+
⋅
+
+
=
故
11.5 考虑图11-3（b）中的离散时间反馈系统，其
对于什么样的b值，该反馈系统是稳定的？
解：图11-3（b）中的系统函数为
4b 21-z z 21z 2
1-1bz -11z 21-11
1
-1-1
-+=+
=
其极点为4b 21z +=，故系统稳定的条件是1|4
b
21|<+
即
11.6 考虑图11-3（b ）中的离散时间反馈系统，其
这个系统是无限脉冲响应的，还是有限脉冲响应的？ 解：其系统函数为
1
--N
z
1z -1+= 利用终值定理：1
()=lim(z 1)X(z)z x →∞−
可得：1111q()=lim(z 1)Q(z)lim(z 1)0
1
N
z z
z z
−−→→−∞−=−=+ 则这个系统是有限脉冲响应FIR 。
11.7 假设一个反馈系统的闭环极点满足
利用根轨迹法确定保证该反馈系统是稳定的K 值范围。
解：1
()()(2)(3)
G s H s s s =
++
K 为正和K 为负的根轨迹开始于s ＝－2和s ＝－3这两个极点，均终止于无穷远。
K ＞0时的根轨迹如图11-4所示，两支分别始于s ＝－2和s ＝－3，在s ＝－5/2处分离，然后平行于虚轴，随着K 趋于＋∞，一直延伸至Re{s}＝－5/2，Im{s}＝±∞。
K ＜0时的根轨迹如图11-4所示，一支始于s ＝－3，随着K 趋于－∞，一直延伸至Re{s}＝－∞，另一支始于s ＝－2，随着K 趋于－∞，一直延伸至Re{s}＝＋∞。
根轨迹如图11-4所示
图11-4 根轨迹
由图11-4可见发生不稳定的K 值对应于根轨迹通过s ＝0这点。
此时K 值为
1
6|(0)(0)|
K G H =−
=−
故当K ＞－6时，该反馈系统是稳定的。
11.8 假设一个反馈系统的闭环极点满足
利用根轨迹法确定保证该反馈系统是稳定的K 的负值范围。
解：1
()()(1)(2)
s G s H s s s −=
++
系统的特征方程为2(1)(2)(1)0(3)(2)0s s K s s K s K +++−=⇒+++−= 对于K ＜0，位于根轨迹上的实轴部分是和。
根轨迹从s ＝
－2和s ＝－1开始，移入
的区域。
在某一点上，根轨迹分裂为两支而进入
复平面，并沿着某一条轨迹回到s ＞1的实轴上。
一旦回到实轴上之后，一支向左移直到s ＝1为止，另一支一直向右移直到s ＝∞，如图11-5所示。
图11-5 K ＜0的根轨迹
由图11-5可见发生不稳定的K 值对应于根轨迹通过虚轴上的某一点。
即上述系统特征方程解的实部为0，即303K K +=⇒=−。
故该反馈系统是稳定的K 的负值范围为：－3＜K ＜0。
11.9 假设一个反馈系统的闭环极点满足
利用根轨迹法确定：是否存在可调节增益K 的任何值，使得该系统的单位冲激响应含有
形式的振荡分量？这里ω0≠0。
解：开环传递函数为(s+1)(3)
(s)(s 2)(s 4)
K s G +=
++，
其中m ＝2，n ＝2，故应该有2条根轨迹；
系统根轨迹的起始点为12p 2p 4=−=−，；根轨迹的终点为12z 1z 3=−=−，；。