存在条件



f (t)dt
不满足
引入：衰减因子e-σt(σ为实常数）
σt 选择合适的 使得 : f ( t ) e dt



3
从傅里叶变换到拉普拉斯变换
F f(t)e
t


( j ) t f ( t ) e dt F ( j)
a 0 0
Re( s ) a 0
20
单边拉普拉斯变换的性质
3. 时移特性
若
L f ( t ) F ( s ) Re( s ) 0

st L 0 则 f ( t t ) u ( t t ) e F ( s ) t 0 0 0 0
t
为任意实数，则
e
t
收敛，于是满足 f (t). e
狄里赫利条件
cos t 1
u(t)et
e cos t 1
t
e. e
at t
( a )
2
从傅里叶变换到拉普拉斯变换
j t F ( )F[f ( t)] f ( t) e dt f( t) F ( ) 1 1 t f(t) F [F ( )] F ( ) ej d 2
从傅里叶变换到拉普拉斯变换
拉普拉斯变换符号表示及物理含义
符号表示：
F ( s ) L [f( t )] b
1 f( t ) L [ F ( s )]
L f( t ) F ( s )
物理意义： 信号f(t)可分解成复指数est的线性组合 F(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。

25
单边拉普拉斯变换的性质
8. 时域微分特性 重复应用微分性质，求得：
2 d f ( t ) L 2 s F ( s ) sf ( 0 ) f ' ( 0 ) 2 d t
Re( s ) 0
21
单边拉普拉斯变换的性质
4. 卷积特性
若
L f ( t ) F ( s ) Re( s ) 1 1 1
L f ( t ) F ( s ) 2 2
Re( s )
2
则
f ( t ) * f ( t ) F ( s ) F ( s ) 1 2 1 2
( n )
( n ) st n ( t )] ( t ) e d t ( 1 ) 0

15
常用信号的拉普拉斯变换
６. t 的正幂函数 t n，n为正整数
n t n n st st n n 1 st L [ t u ( t )] ( t ) e d t ( e ) t e d t 0 0 0
证明：
d f( t) d f( t) st L e d t d d t t 0
f( 0 ) s f( t) e d t sF ( s )f( 0 )
0
st st f( t ) e f ( t )( s e ) d t 0 0 st
或 :lim f( t)e
σ t
0 的σ值范围
6
记：ROC＝region of convergence
双边拉普拉斯变换的收敛域比较复杂，并且收敛
条件较为苛刻，这就使其应用受到限制。实际中的信
号都是有起始时刻的 (t ＜ t0 时 f(t)=0) ，若起始时刻
t0=0, 则f(t)为因果信号。因果信号的双边拉普拉斯变
Re( s ) max( , ) 1 2
19
L
单边拉普拉斯变换的性质
2. 展缩特性(尺度变换)
若 则
f ( t ) F ( s ) Re( s ) 0
L

f( at ) F ( s / a ) a a
1 L1 L f( at ) F ( s / a )
1. 线性特性
若
f ( t ) F ( s ) Re( s ) 1 1 1
L
f ( t ) F ( s ) 2 2
L
Re( s )
2
则
a f ( t ) a f ( t ) a F ( s ) a F ( s ) 1 1 2 2 1 1 2 2
L
Re( s ) max( , ) 1 2
收敛域至少是F1(s)的收敛域与F1(s)的收敛域的公共部分。
22
单边拉普拉斯变换的性质
5. 乘积特性
f ( t ) F ( s பைடு நூலகம் 2 2
L
L f ( t ) F ( s ) Re( s ) 1 1 若 1
关于积分下限的说明： 积分下限定义为零的左极限，目的在于分析
和计算时可以直接利用起始给定的0-状态。
8
拉普拉斯变换LT与ILT定义
L [ f( t )] F ( s ) B

f( t ) e
s t

st
j 1 1 st L [ F ( s )] F ( s ) e ds dt B j 2 j
2
Re( s )
则
1 f ( t ) f ( t ) [ F ( s ) * F ( s )] 1 2 1 2 2 πj
L
Re( s ) 1 2
23
单边拉普拉斯变换的性质
6、复频移性质
若
L
f ( t ) F ( s ) Re( s ) 0
1 若 s a , 则 : e u ( t ) 0 s a
at
1 d t s s 0

0
a
12
1 若 s j , 则 : e u ( t ) 0 0 s j
j t
常用信号的拉普拉斯变换
２. 正余弦型函数
j t j t 0 0 e e 11 1 s cos t u ( t ) u ( t ) ( ) 0 2 2 2 2 s j s j s 0 0 0
(n )
st L [( t )] t ) e d t ( 0

'

1
d s
Re( s )
(est) t0 s
n d n st s ( e ) t 0 n d s
L [
d st ( t )] ( t ) ed t ' 0

L [
F ( s ) L d tf ( t ) Re( s ) 0 d s
24
单边拉普拉斯变换的性质
8. 时域微分特性
L f ( t ) F ( s ) Re( s ) 0
d f ( t ) L sF ( s ) f ( 0 ) Re( s ) 0 d t
n ! tu ( t ) , Re( s ) 0 n 1 s
n L
16
表 4.１
17
4.1拉普拉斯变换
意义： • 拉普拉斯变换是求解常系数线性微分方程的 工具,使求解方程得到简化，且初始条件自 动包含在变换式里 • 利用系统函数零点、极点分布分析系统的 行为规律
18
4.2 单边拉普拉斯变换的性质


j t j t 0 0 e e 11 1 0 sin t u ( t ) u ( t ) ( ) 0 2 2 2 j 2 j s j s j s 0 0 0


0
13
常用信号的拉普拉斯变换
３. 阶跃函数 u(t)
1 若 s 0 , 则 : u ( t ) 0 s
单边拉普拉斯变换存在的条件
j 收 S平面
左半平面
敛
右半平面
0
区

0称收敛条件
0称绝对收敛轴
11
常用信号的拉普拉斯变换
1. 指数型函数
1 e u (t ) s s0
s0t
L e u ( t ) e e d t e
s t 0 0 0

s t st 0
( s s ) t 0
F ( s ) f ( t )estdt b 1 j st F ( s ) e ds f (t ) b j 2 j


( 2 )
(Bilateral LT) 双边拉普拉斯变换 记作：
4
f(t) F ( s ) b
0
４、双曲正弦／余弦信号
t t e e 11 1 sh t u ( t ) u ( t ) ( ) 2 2 2 2 s s s
s ch t u ( t ) 2 2 s
0
14
三、常用信号的拉普拉斯变换
５.(t), (t)
o b f ( t ) e F ( s s ) b
s t b

则
7、复频域微分与积分
d F ( s ) tf ( t ) Re( s ) 0 d s
L
n d F ( s ) f (t) n ( t) f ( t) n F()d ds t s

t t f(t) e e j dt

( 1 )
1 1 j t f ( t ) e F F ( j) F ( j) e d 2 t
1 ( j ) t f ( t ) F ( j) e d 2