a a a k 2 2 k1 1 r2 m1 gr 1 f 2 k1 r2 1 b b b 2 a 2 m r 2 mr 2 k r 2 f 3 m1 g m1r1 J k r 11 2 2 2 1 2 0
刚度阵
T L 2 1 1 2
1 x 2 0 T 2 1 x 1 0 0 1 2 m 2 L 1 2 x 2 0 x
Vibration equation of discrete system
c1 x 0 0 / n c2 x
无弹跳
m2 2gh m2 g k k t cos t m1 m 2 k m1 m 2
x (t )
( m1 m 2 ) k
sin
Free Vibration
3－7 图3－23所示带有库仑阻尼的系统中，质量 m = 9 kg，弹簧刚 0 0 度 k = 7 kN/m，摩擦系数 = 0.15，初始条件是 x0 25 mm, x 求：(a) 位移振幅每周衰减； (b) 最大速度； (c) 速度振幅每周衰减； (d) 物体 m 停止的位置。
n
n
cos n t
x ( x 0 ) cos n t
0 x
n
sin n t
0 x 0 x 0 x 0 x
Free Vibration
3－7 图3－23所示带有库仑阻尼的系统中，质量 m = 9 kg，弹簧刚 0 0 度 k = 7 kN/m，摩擦系数 = 0.15，初始条件是 x0 25 mm, x
1 x1 4k1
1/2 1 x2 x4 4k2
x1 x2 1 x3 2 k3 2 1 x4 2k4
Free Vibration
1 1 1 1 xe 16k1 16k2 4k3 4k4
1 x1 4k1
1/2 x3 1/4 x1 1/4 x2
1/2 1 x2 x4 4k2
机械动力学的理论基础及多体系统动力学分析 2－12 一质量为 m、长度为 L 的均匀刚性杆，在距左端O为 n L 处设一支承点，如图2－12所示。求杆对O点的等效质量。
1 2 J mL mnL2 mn 2 L2 3 nL x 1 2 1 1 2 2 J me x me n 2 L2 2 2 2 1 2 mL mnL2 mn 2 L2 J me 2 2 3 n L n 2 L2
2－14 图2－43是固定滑车力学模型。起吊物品质量为 m， 滑轮绕中心O的转动惯量为J0，假定绳索与滑轮间无滑动， 求系统的振动微分方程。
k2 R R k1 x R R J k Rx k k R2 0 J 1 2 1
f1 k2 R f2 k1 x R
fn 1 2π 4 m( 1 1 1 1 ) 4k 1 4k 2 k 3 k 4
详细推导
Free Vibration
1
k3 k1 k2
k4
?k
e
Free Vibration
1
1/2 1/4 k1 k3 1/4 k2 1/2
k4
Free Vibration
1
1/2 x3 1/4 x1 1/4 x2
3 k r2 , 1, { [ -1, 1 ] } J k 2 r 2 1 0 2 k2 k3 r 2 0
k k r 2 J1 0 1 1 2 0 J 2 k r 2 2 2
k 1 k 2 k 3 k 3 x 1 0 k k k x 3 3 4 2 0
Vibration equation of discrete system
2－16 如图2－45所示，绳索上有两个质量 m1 和 m2 (m1 = 2 m2 )， 各段绳索中的张力均为T ，用柔度法建立系统作微振动的微分 方程。
1
2
k r2 , 1, { [ -1, 1 ] } J
3 k r2 , 1, { [ 1, 1 ] } J
k k r 2 J1 0 1 1 2 0 J 2 k r 2 2 2
k 2 r 2 1 0 2 k2 k3 r 2 0
Vibration equation of discrete system
2－15 用视察法建立图2－44所示链式系统的振动微分方程。
1 c 1 c 1 x 1 x m 1 0 0 m x x c c 2 2 1 1 2
1 2 J mL mnL2 mn2 L2 or 3
1 m 1 m 2 2 J ( L nL ) L nL ( nL) nL 3 L 3 L 1 1 3 2 J (m 1 n ) L (mn3 ) L2 3 3
1 2 3 J mL (1 n n3 ) 3
x ( x 0 )n cos n t n
2
2
0 x
n
sin n t 0 x sin n t
0 x 0 x
0 x x 0 ( x 0 )cos n t
( x 0 )n sin n t n x 0 x
k Rx k k R2 0 J 1 2 1
R k 1 x 0 k 1 m 0 x 0 J 2 0 R k 1 R ( k 1 k 2 ) 0
x1 0 x 2 0
Vibration equation of discrete system
2－17 如图2－46所示，系统中 k1 = k2 = k3 = k，m1 = m2 = m，r1 = r2 = r ，J1 = J2 = J。求系统的振动微分方程。
f2 k1 x R
Vibration equation of discrete system
2－14 图2－43是固定滑车力学模型。起吊物品质量为 m， 滑轮绕中心O的转动惯量为J0，假定绳索与滑轮间无滑动， 求系统的振动微分方程。
k1 x k1R 0 mx
2－16 如图2－45所示，绳索上有两个质量 m1 和 m2 (m1 = 2 m2 )， 各段绳索中的张力均为T ，用柔度法建立系统作微振动的微分 方程。
柔度阵 L 2 1 1 2 3T
x1 m2 L 2 1 2 0 3T 1 2 0 1 x 2
1 1 me (1 2 )m 3n n
Vibration equation of discrete system
2－14 图2－43是固定滑车力学模型。起吊物品质量为 m， 滑轮绕中心O的转动惯量为J0，假定绳索与滑轮间无滑动， 求系统的振动微分方程。 问题： • 自由度的判别 • 方法的选取 • m的处理
x1 x2 1 x3 2 k3 2 1 x4 2k4
Free Vibration
3－5 如图3－22所示，质量为 m1的重物悬挂在刚度为 k 的弹簧 上并处于静平衡位置，质量为 m2的重物从高度为 h 处自由降 落到 m1 上而无弹跳，求系统的运动规律。
x (t ) c 1 cos n t c 2 sin n t
b
机械动力学的理论基础及多体系统动力学分析 2－11 求图2－11所示系统对于广义坐标 x 的等效刚度。
问题 k2的等效
ke1和ke2是并联
k e k1cos
2 k1cos2
2 a2 k2 b 2 2 a k2 b
机械动力学的理论基础及多体系统动力学分析 2－12 一质量为 m、长度为 L 的均匀刚性杆，在距左端O为 n L 处设一支承点，如图2－12所示。求杆对O点的等效质量。
Vibration equation of discrete system
2－17 如图2－46所示，系统中 k1 = k2 = k3 = k，m1 = m2 = m，r1 = r2 = r ，J1 = J2 = J。求系统的振动微分方程。
1
问题： 坐标系的选择
2
k r2 , 1, { [ 1, 1 ] } J
Vibration equation of discrete system
2－14 图2－43是固定滑车力学模型。起吊物品质量为 m， 滑轮绕中心O的转动惯量为J0，假定绳索与滑轮间无滑动， 求系统的振动微分方程。
k1 x R mx
k1 x k1R 0 mx
Vibration equation of discrete system
2－6 图2－36所示系统垂直放置，L2杆处于铅垂位置时系统 静平衡，求系统作微振动的微分方程。
L 2c ( L3 L4 )2 k m2 gL2 0 [m1L12 m2 L22 m3 ( L3 L4 )2 ] 3
( x 0 )n sin n t n x
0 x
n
cos n t
7000 9
0 x 0 x
max ( x 0 )n 25 0.189 x
问题
mi的处理
Vibration equation of discrete system
2－7 求图2－37所示系统的振动微分方程。
f2
问题： m1的处理 f1
f1 k 2 r2 2
f3
m r f 3r1 f1 f 2 r2 J 2 r2