实例：采用该方法修正6-1模型的异方差性
22
（一）加权最小二乘法
OLS是加权最小二乘法的特例 显然，当满足同方差假定时， w1 = w2 = = wn = 1/ = 常数 即权数相等且等于常数，加权最小二乘法，就是OLS法。
23
纠正异方差性的一个可行程序
（1）将y对x1, x2,…xk做回归并得到残差u; （2）将残差进行平方，然后再取自然对数而得到log(u2); （3）做log(u2)对x1, x2,…xk的回归并得到拟合值g； （4）求拟合值的指数：h=exp(g) （5）以1/h为权数用WLS来估计方程。 在（3）中做log(u2)对 y, y2 的回归本质上是完全一样的
2000
0
-2000
-4000
-6000
-8000
5
10
15
20
25
30
RESID
38

2 1


2 2

Ω Varε Eεε







2 n

2
两变量线性回归模型的异方差
Y
0
Xi
X
Xj
3
1、异方差的定义
异方差主要出现在截面数据分析中，例如大公司的利 润变化幅度要比小公司的利润变化幅度大，即大公司利润 的方差比小公司利润的方差大。这取决于公司的规模、产 业特点和研究开发支出多少等因素。又如高收入家庭通常 比低收入家庭对某些商品的支出有更大的方差。 例6-1：人均家庭支出（cum)和可支配收入（in)的关系模型
Var(ui)=σ2 * xi 其中σ2为常数，这时可以令权序列
wi 1/ xi
（2）误差方差与xi2成比例 Var(ui)=σ2 * xi2
其中σ2为常数，这时可以令权序列 wi 1/ xi
19
（一）加权最小二乘法
方差已知的情形 实例：住房支出模型
给出由四组家庭住房支出和年收入组成的截面数据， 建立住房支出模型，并检验和修正异方差。

根据图形中的分布选择
l 1,1或 1 2
2、再检验零假设 ＝0（不存在异方差）。如果零假设
被拒绝，则表明可能存在异方差。
10
（四）怀特检验
假设有如下模型：
yi B0 B1x1i B2 x2i ui （3）
基本步骤： 1、首先用OLS方法估计回归方程（3）式。 2、然后作辅助回归：
16
（一）加权最小二乘法
方差已知的情形
假设已知随机误差项的方差为var(ui)= i2 , 设权数wi与异 方差的变异趋势相反, wi =1/i,, 将原模型两端同乘以wi。
wi使异方差经受了“压缩”和“扩张”变为同方差。
17
（一）加权最小二乘法
方差已知的情形
对于一元线性回归模型y=b0+b1x+u，加权最小化残差平方
price 0 1lotsize 2sqrft 3bdrms
发现：采用水平模型存在异方差性，但采用对数模型不 存在异方差性。
14
三、异方差的解决方法
加权最小二乘法 模型的重新设定
15
（一）加权最小二乘法
基本思路：赋予残差的每个观测值不同权数，从而 使模型的随机误差项具有同方差性。
X
32
异方差：残差随收入增大而增大
2000
1000
0
-1000
-2000
5
10
15
20
25
30
RESID
33
4、异方差模型的估计
加权最小二乘法 在分析收入对储蓄的影响的时候，权数变量可以
选取 hi=inci
于是基本模型savi=a0+a1 inci+ei变为
savi / inci a0 (1/ inci ) a1 inci
i

1 Var
r 0 r x1 i r 0 r1xi
i


2r0
r0
r1xi
r1xi


2
21
（一）加权最小二乘法
（4）用随机误差项的近似估计量求权重序列 首先利用OLS估计原模型得到残差序列 ui ，然后利
用残差序列的绝对值的倒数序列作为加权序列， 即令
wi 1/ ui
给出中国1998年各地区城镇居民平均每人全年家庭交 通及通讯支出（cum)和可支配收入（in)的数据，估计两者 之间的关系模型
4
2、异方差的影响
1、OLS估计量不再是BLUE，其是无偏和一致的，但并 非有效的，即不再具有方差最小性。
2、检验假设的统计量不再成立，建立在t分布和F分布之 上的置信区间和假设检验不可靠。
3、利用原始模型中的解释变量作形如上式(2)的回归，记
下这个回归的R平方Ru22 。
4、检验零假设是
H0 :1 2 k 0
对方程（2）进行F检验，或计算LM统计量进行检验。
LM

Hale Waihona Puke nR2 u2
~

2 k
9
（三）戈里瑟检验
1、通常拟合
e
和
X
之间的回归模型：
j
e

X
l j
24
实例： 采用Wooldridge中的数据Smoke.Raw中的数据来估计一 个对日香烟消费量的需求函数。 基本回归模型如下： cigs=a0+a1log(income)+a2log(cigpric)+a3educ +a4age+a5age2+a6restaurn 其中cigs为每天吸烟的数量； income为年收入； cigpric 为每包香烟的价格（以美分为单位）；educ为受教育年 数；age为年龄；restaurn为一个二值变量（若此人居住 的州禁止在餐馆吸烟，则取值1，否则取值0）。
12
等价的White检验
（1）用OLS估计模型（3），得到残差和拟合值，计算它 们的平方；
（2）做回归
u2 0 1 y 2 y2 v
记下这个回归的R平方
（3）构造F或LM统计量并计算p值（前者为 F2，n－3分布，
后者用

2 2
分布。
13
（五） 实例
使用Wooldridge中的数据HPRICE.RAW中的数据 来检验一个简单的住房价格方程中的异方差性。水平 变量模型为（分别采用水平变量和其对数项分别进行 回归分析）
5
二、异方差的发现和判断
（一）残差的图形检验 （二）帕克检验（Park test） （三）戈里瑟检验（Glejser test） （四）怀特检验（White test）
6
（一）残差的图形检验
这是一种最直观的方法，它以某一变量（通常取因变 量）作为横坐标，以随机项的估计量e或e2为纵坐标， 根据作出的散点图直观地判断是否存在相关性。如果 存在相关性，则存在异方差。通常的方法是先产生残 差序列，再把它和因变量一起绘制散点图。 例6-2：利用该方法绘制上一章关于美国机动车消费量 的模型中QMG与残差的散点图。
600 400 200
0 -200 -400 -600
0
10000 20000 30000 40000 X
30
3、异方差检验 图示法检验： 残差平方与自变量呈比较典型的喇叭型
31
250000
200000
150000
RESID2
100000
50000
0
0
10000 20000 30000 40000
34
同质性
权数序列名 Proce=>Equation=>Option=>选定异方差、给出权数名==>OK
35
加权最小二乘法估计结果
36
加权最小二乘法残差与X的散点图
RESID
600 400 200
0 -200 -400 -600
0
10000 20000 30000 40000 X
37
WLS处理后的残差图
第九章 多元线性回归的异方差问题
一、异方差及其影响 二、异方差的发现和判断 三、异方差的解决方法
1
一、异方差及其影响
1、异方差的定义：
对于多元线性回归模型，如果随机扰动项的方差并非是
不变的常数，则称为存在异方差（heteroscedasticity)。
异方差可以表示为
Var
i



2 i
。或

和为
2
wi2
2
i
wi2
yi b0b1xi
获得的估计量就是加权最小二乘估计量。对于多元线性回
归模型y=Xβ＋u，令权数序列wi =1/i ，W为N×N对角矩 阵，对角线上为wi ，其他元素为0。则变换后的模型为
Wy WX Wu
18
（一）加权最小二乘法
方差已知的情形 （1）误差方差与xi成比例
（3）其他的与自变量xi的加权形式f(xi)
f xi r0 r1xi
20
（一）加权最小二乘法
方差已知的情形
Var(
)
i


2 i


2

r
0

r
x1 i

y i

b0
b1xi
r0 r1xi r0 r1xi r0 r1xi
i
r0 r1xi

Var
7
（二）Breusch-Pagan检验
假设回归模型如下：
Y 0 1x1 2 x2 k xk u